新教材數(shù)學(xué)蘇教版課件933向量平行的坐標(biāo)表示

向量平行的坐標(biāo)表示必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思兩個平行向量的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系?向量平行的坐標(biāo)表示(1)坐標(biāo)表示條件a=

,b=

,其中b≠0結(jié)論向量a,b(b≠0)平行的充要條件是________=0x1y2-x2y1(2)本質(zhì):平面向量平行的坐標(biāo)表示反映的是平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系,定量描述了共線向量之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①已知兩個向量的坐標(biāo)判定兩向量共線;②已知兩個向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo).【思考】若a=

,b=

,且x2y2≠0,則向量a,b共線時,它們的坐標(biāo)之間的關(guān)系如何用比例形式表示?提示:可以表示為【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),則a=-2b. ()(2)已知a=

,b=

,其中b≠0,且x1x2-y1y2=0,則a∥b. ()(3)已知A(-6,10),B(0,2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,6). ()提示:(1)√.因?yàn)閎=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.(2)×.平面向量共線的坐標(biāo)表示的特點(diǎn)是兩個向量的坐標(biāo)“縱橫交錯積相減”.(3)√.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

即(-3,6).2.(教材二次開發(fā):例題改編)已知向量a=(4,2),b=(x,3)且a∥b,則x= ()

【解析】選B.因?yàn)閍∥b,所以4×3-2x=0,解得x=6.3.已知A(1,2),B(4,5),若=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)P(x,y),則=(x-1,y-2),=(4-x,5-y),又=2,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即

解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4).答案:(3,4)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.(2020·長春高一檢測)下列四組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.a=(1,2),b=(-2,-4)B.a=(3,4),b=(4,3)C.a=(2,-1),b=(-2,1)D.a=(3,5),b=(6,10)2.(2020·衢州高一檢測)已知平面向量a=(sinθ,2019),b=(cosθ,2020),若a∥b,則tanθ= ()3.已知向量a=(1,λ),b=(λ,2),若

則λ=________.

【思路導(dǎo)引】1.可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的兩個向量必是不共線的,由此關(guān)系對四個選項作出判斷,得出正確選項.2.利用向量共線的充要條件列出等量關(guān)系,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求值.3.利用向量共線的充要條件列出關(guān)于λ的方程,求λ.【解析】1.選B.對于A,因?yàn)?×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于B,因?yàn)?×3-4×4=-7≠0,所以可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于C,因?yàn)?×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對于D,因?yàn)?×10-5×6=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.2.選A.因?yàn)槠矫嫦蛄縜=(sinθ,2019),b=(cosθ,2020),a∥b,所以2020sinθ-2019cosθ=0,所以

所以tanθ=

3.a+b=(λ+1,λ+2),a-b=(1-λ,λ-2),因?yàn)?/p>

所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±

.答案:±【解題策略】1.向量共線的判定方法2.利用向量共線求參數(shù)值的方法【跟蹤訓(xùn)練】(2020·黃山高一檢測)已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量共線的單位向量是 ()A.(3,-4) B.

C.(-6,8) D.【解析】選B.因?yàn)?(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共線的條件可知,A,B,C選項中的向量均與共線,但A,C中向量不是單位向量,所以B選項正確.類型二向量平行在平面幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1三點(diǎn)共線問題

【典例】(2020·玉溪高一檢測)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系.(2)若=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】(1)由題意利用兩個向量共線的性質(zhì),兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,求得a,b的關(guān)系.(2)由題意利用兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)橐阎?(1,1),=(3,-1),=(a,b),若A,B,C三點(diǎn)共線,則∥,即=λ·,即(a-1,b-1)=λ(2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),所以a=5,b=-3,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-3).【變式探究】把本例條件改為“向量=(k,12),=(4,5),=(10,k)”,求當(dāng)k為何值時,A,B,C三點(diǎn)共線.【解析】方法一:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,即與共線,所以存在實(shí)數(shù)λ(λ∈R),使得=λ.因?yàn)?=(4-k,-7), =(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即

解得k=-2或k=11.所以當(dāng)k=-2或k=11時,A,B,C三點(diǎn)共線.方法二:由已知得與共線,因?yàn)?(4-k,-7),=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以當(dāng)k=-2或k=11時,A,B,C三點(diǎn)共線.角度2求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例】如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】利用 列方程組求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】因?yàn)?0,5)=

所以C

因?yàn)樗訢

設(shè)M(x,y),則=(x,y-5),因?yàn)樗?

x-2(y-5)=0,即7x+4y=20①.又因?yàn)樗?/p>

即7x-16y=-20②,聯(lián)立①②解得x=

,y=2,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【解題策略】應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟【題組訓(xùn)練】1.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三點(diǎn)在一條直線上,則C點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)【解析】選C.設(shè)C(x,y),則=(x-3,y+6),=(-8,8).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)在同一條直線上,所以

即x+y+3=0,將四個選項分別代入x+y+3=0驗(yàn)證可知,不可能的是C.2.設(shè)=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)當(dāng)m=8時,將用和表示;(2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【解析】(1)當(dāng)m=8時,=(8,3),設(shè)=x+y,則x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以所以所以=-3+

(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,所以不共線,又=(1,1),=(m-2,4),所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.【拓展延伸】如圖所示,若點(diǎn)P是線段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的點(diǎn),且滿足=λ,即證明點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【證明】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由 ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即又λ∈(0,+∞),所以則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

特別地,當(dāng)λ=1時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

這就是線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.【拓展訓(xùn)練】已知A(2,1),B(3,-1),點(diǎn)P(x,y)在直線AB上,且滿足4x-y-5=0,求P點(diǎn)分的比λ.【解析】由=λ及定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得:(x,y)=

又因?yàn)镻點(diǎn)滿足4x-y-5=0,所以4×

所以λ=-

.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】方法一:設(shè) =t(4,4)=(4t,4t),則 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =(2,6)-(4,0)=(-2,6).由共線知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=

.所以=(4t,4t)=(3,3).所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3).方法二:設(shè)P(x,y),則=(x,y),=(4,4).因?yàn)?共線,所以4x-4y=0.①又=(x-2,y-6),=(2,-6),且向量,共線,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②組成的方程組,得x=3,y=3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).1.下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.a=(0,0),b=(1,-2)B.a=(-1,2),b=(5,7)C.a=(-1,5),b=(2,-10)D.a=(2,-3),b=(4,-6)課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)【解析】選中,a=(0,0)與b=(1,-2)共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;C中a=(-1,5)與b=(2,-10)=-2a共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;D中a=(2,-3)與b=(4,-6)=2a共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.2.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,則m等于 ()或3或-2【解析】選C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.3.已知點(diǎn)A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)?(-1,-5),=3a=(6,9),故 =(5,4),故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,4).答案:(5,4)4.向量a=(n,1)與b=(4,n)共線且方向相同,則n=________.

【解析】因?yàn)閍∥b,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又a與b方向相同,所以n=2.答案:25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且共線,求非零實(shí)數(shù)m的值.【解析】因?yàn)锳(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),D(m,2m),所以=(3,5),=(m+2,2m+1),又因?yàn)榕c共線,即∥,所以3(2m+1)=5(m+2),解得m=7,所以非零實(shí)數(shù)m的值為7.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時,ka+b與a-3b平行?平行時它們是同向還是反向?【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),當(dāng)ka+b與a-3b平行時,存在唯一實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a-3b).即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以

解得k=λ=-

.當(dāng)k