第5多元函數(shù)微積分-課件

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程第5章多元函數(shù)微積分主要內(nèi)容:一、空間幾何簡介二、多元函數(shù)三、偏導(dǎo)數(shù)與全微分四、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、多元函數(shù)的極值六、二重積分一、空間幾何簡介1、空間直角坐標(biāo)系規(guī)定：如下圖：Ⅱ

Ⅲ

Ⅷ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅰ

Ⅳ

Ⅴ

坐標(biāo)面xOy坐標(biāo)面yOz坐標(biāo)面zOx點的坐標(biāo)反之，Ⅰ（+，+，+）Ⅱ（-，+，+）Ⅲ（-，-，+）Ⅳ（+，-，+）Ⅴ（+，+，-）Ⅵ（+，-，+）Ⅶ（-，-，-）Ⅷ（+，-，-）規(guī)律：2、空間任意兩點間的距離定義了空間點的坐標(biāo)，就可以利用坐標(biāo)計算空間任意兩點間的距離.

ABP1P2xyz由圖：根據(jù)平面上兩點間的距離公式可知：從而有：此即為空間任意兩點間的距離公式.特別地，任一點與原點的距離為：證明：例1解：例2定義：3、曲面與方程例3求與兩定點和等距離點的軌跡方程.和等距離的點為，由空間兩點間的距離公式得：解：設(shè)與點依題意有化簡得：可以證明，所有空間平面都可以用三元一次方程表示；反過來，任何一個三元一次方程的圖形都是空間的一個平面。由此稱三元一次方程：為平面的一般式方程。幾種常見的曲面方程：以點為球心，以R為半徑的球面方程為：1）球面方程：2）橢圓柱面：方程表示橢圓柱面，當(dāng)a=b=R時，中不含z，即z可任取，在空間直角坐標(biāo)系中該方程表示母線平行于z軸的圓柱面.

3）橢圓拋物面：4）圓錐面：5）雙曲拋物面：6）雙曲柱面：7）拋物柱面：二、多元函數(shù)1、多元函數(shù)的概念自變量的取值稱為定義域；對應(yīng)的函數(shù)值的集合稱為值域。類似地，由于三元及三元以上函數(shù)的許多性質(zhì)及其微分法與二元函數(shù)完全相似，所以，在此主要研究二元函數(shù).并先介紹一些相關(guān)概念.其定義域：★注意區(qū)域：由平面上一條曲線或多條曲線圍成的一部分平面稱為區(qū)域.邊界：圍成區(qū)域的曲線稱為邊界.鄰域：

把以點為圓心，為半徑的組成的區(qū)域稱為點的鄰域，記為圓內(nèi)所有的點內(nèi)點：若點p的某個鄰域內(nèi)的點都屬于區(qū)域D，則稱點p為區(qū)域D的內(nèi)點.外點：若點p的某個鄰域內(nèi)的點都不屬于區(qū)域

D，則稱點p為區(qū)域D的外點.邊界點：若點p的任一個鄰域內(nèi)的點，既有屬于區(qū)域D的點，又有不屬于區(qū)域D的點，則稱點p為區(qū)域D的邊界點.閉區(qū)域：由所有內(nèi)點和以閉曲線為邊界的所有邊界點組成的區(qū)域稱為閉區(qū)域.開區(qū)域：只有內(nèi)點組成的區(qū)域稱為開區(qū)域.求函數(shù)的定義域.例4解：欲使函數(shù)z有意義，自變量x，y必須滿足不等式：

即：所以，其定義域D為：例5求函數(shù)的定義域.解：欲使函數(shù)z有意義，自變量x，y必須滿足不等式組：

所以，其定義域D為：例6解：函數(shù)z在點處的函數(shù)值為：函數(shù)z在點處的函數(shù)值為：二元函數(shù)的幾何意義：2、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性1）二元函數(shù)的極限1）上述極限的定義實際上是一元函數(shù)極限定義的推廣，所以有關(guān)一元函數(shù)的極限運算法則同樣可以推廣到二元函數(shù).★注意3）上述極限定義不能用以求二元函數(shù)的極限，但可以用該定義判定二元函數(shù)的極限不存在，即：只要有兩條路徑極限不同，該函數(shù)極限就不存在.求

例7解：一元函數(shù)求極限的方法中有分子(母)有理化的方法，該方法也適用于二元函數(shù)求極限的運算.例8（待續(xù)）（續(xù)）2）二元函數(shù)的連續(xù)性二元連續(xù)函數(shù)也具有一元連續(xù)函數(shù)的相同性質(zhì)，如連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)；多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)等.因此，要求多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點處的極限值，只需要求出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.求極限例9解：三、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1、偏導(dǎo)數(shù)計算方法：一元函數(shù)的求導(dǎo)法則及其公式同樣適用于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).顯然，解：例10（待續(xù)）法二（續(xù)）解：例11★注意等為一整體記號，不象可視為分子分母之商．解：例12幾何意義★注意又如：如：定義：2、高偏導(dǎo)數(shù)解：例13例14求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解：

定理5.1：對于更多元或更高階仍然成立.由上例，兩個混合偏導(dǎo)數(shù)雖然求導(dǎo)次序不同，其結(jié)果卻相等，但是并非在所有情況下這個結(jié)論都成立。關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)，有以下定理：證明：例15全增量：3、全微分解：例17解：例16例18解：應(yīng)用全微分進(jìn)行近似計算：⑤⑥⑦這三個是常用的近似計算公式.解：例19四、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則定理1、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則——鏈法則有：同理推廣★注意答：練習(xí)答：練習(xí)：答：練習(xí)：★注意解：例20解：例21解：例22全微分形式的不變性即：解：例23多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)方法類似，其實質(zhì)都是應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

2、多元隱函數(shù)求導(dǎo)方法求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例24下面通過實例來求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).所以同理可得例25求由確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

求偏導(dǎo)數(shù)得：解：方程兩邊同時對所以：同理可得：五、多元函數(shù)極值函數(shù)的極值對于許多實際問題有著重要的意義，在一元函數(shù)微分學(xué)中，用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的極值.現(xiàn)在將借助于偏導(dǎo)數(shù)來討論多元函數(shù)的極值問題.由于三元以上的多元函數(shù)的極值與二元函數(shù)類似，為此只討論二元函數(shù)的極值問題.1、極值證明：定理5.3定理5.4(充分條件)從上述定理得求極值的步驟：解：例26續(xù)解：例27續(xù)解題的步驟和判定的方法★注意：2、最值解：例28續(xù)引例曲頂柱體的體積六、二重積分Ⅰ、分割（化整為零）Ⅱ、取近似（不變代變）Ⅲ、求和（積零為整）Ⅳ、取極限（無限逼近）定義5.10即：★理解幾何意義：二重積分的性質(zhì)：二重積分的計算：若如圖：由定積分的