江蘇省常州市市花園中學高三數(shù)學理測試題含解析

江蘇省常州市市花園中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位,若復數(shù)i，i，則

A．i

B.i

C.i

D．i參考答案：A略2.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.以點（2，0）為圓心且與直線相切的圓的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略4.已知拋物線C1：y2=8ax（a＞0），直線l傾斜角是45°且過拋物線C1的焦點，直線l被拋物線C1截得的線段長是16，雙曲線C2：﹣=1的一個焦點在拋物線C1的準線上，則直線l與y軸的交點P到雙曲線C2的一條漸近線的距離是（）A．2 B． C． D．1參考答案：D【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】利用弦長，求出拋物線中的a，可得雙曲線中的c，再利用點到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，設(shè)直線方程為y=x﹣2a，代入y2=8ax，整理可得x2﹣12ax+4a2=0，∵直線l被拋物線C1截得的線段長是16，∴=16，∵a＞0，∴a=1．∴拋物線C1的準線為x=﹣2，∵雙曲線C2：﹣=1的一個焦點在拋物線C1的準線上，∴c=2，b=直線l與y軸的交點P（0，﹣2）到漸近線bx﹣ay=0的距離d==1，故選D．5.已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則A．2

B．3

C．4

D．0參考答案：6.函數(shù)，則下列不等式一定成立的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C8.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），則λ=(

)A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1參考答案：B【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應用．【分析】利用向量的運算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故選B．【點評】熟練掌握向量的運算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9.已知雙曲線：﹣=1（），點為的左焦點，點為上位于第一象限內(nèi)的點，關(guān)于原點的對稱點為，且滿足，若，則的離心率為（）A.

B.

C.2

D.參考答案：B10.已知命題：

（

）A． B．C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為_____▲______.參考答案：略12.已知的展開式中第5項為常數(shù)項，則該式中所有項系數(shù)的和為_________.參考答案：-32【分析】先寫出二項式展開式中第5項，因為第5項為常數(shù)項解出，然后令得各項系數(shù)和.【詳解】解：因為，且第5項為常數(shù)項所以，即令，得所有項系數(shù)和故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理的展開通項式，以及各項系數(shù)和問題，屬于基礎(chǔ)題.13.對于函數(shù)若存在，使成立，則稱點為函數(shù)的不動點，對于任意實數(shù)，函數(shù)總有相異不動點，實數(shù)的取值范圍是________參考答案：14.已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項

．參考答案：∵∴，即∵∴數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列∴∴∴故答案為.點睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項．15.如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一支飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是．

參考答案：試題分析：由題可知，設(shè)大正方形的邊長為2，則大正方形的面積為4，由于直角三角形中的一角為，則兩條直角邊分別為1和，故小正方形的邊長為，則小正方形的面積為，因此飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為；考點：幾何概型概率模型16.已知向量滿足，與的夾角為，則=

．參考答案：2【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】由條件進行數(shù)量積的運算便可求出的值，從而得出的值．【解答】解：根據(jù)條件，===4；∴．故答案為：2．17.各大學在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則．一考生從某大學所給的個專業(yè)中，選擇個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有

種。參考答案：180三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在極坐標系中，射線與圓C：ρ=2交于點A，橢圓Γ的方程為：，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy．（Ⅰ）求點A的直角坐標和橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點，求的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（Ⅰ）求出點A極坐標，即可求點A的直角坐標，求出橢圓的直角坐標方程，即可求橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點，求出向量的坐標，即可求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）射線與圓C：ρ=2交于點，點A的直角坐標；橢圓Γ的方程為，直角坐標方程為，參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；（Ⅱ）設(shè)，∵E（0，﹣1），∴，，∴=，當sin（θ+α）=1時，的最大值為．【點評】本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查向量知識的運用，屬于中檔題．19.已知為實數(shù)，，為的導函數(shù).

(Ⅰ)若，求在上的最大值和最小值；

(Ⅱ)若在和上均單調(diào)遞增，求的取值范圍．參考答案：解：（1）.

（2），.

由，得，此時，，

由，得或.

又，，，

在上的最大值為，最小值為.

（3）解法一，

依題意：對恒成立,即

,所以

對恒成立,即

,所以

綜上:.

解法二，的圖像是開口向上且過點的拋物線，由條件得，，

，.解得.的取值范圍為．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實數(shù)的值；

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.參考答案：解:(1)

…………1分時,取得極值,

…………2分故解得經(jīng)檢驗符合題意.…………3分（2）由知

由,得

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.

當時,,于是在上單調(diào)遞增;

當時,,于是在上單調(diào)遞減.…………6分依題意有,解得,

…………8分(3)的定義域為,由(1)知,令得,或(舍去),

當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減.為在上的最大值.

,故(當且僅當時,等號成立)對任意正整數(shù),取得,

…………10分.故.…………12分（方法二）數(shù)學歸納法證明：當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.假設(shè)時，成立，則時，有.做差比較：構(gòu)建函數(shù)，則，單調(diào)遞減，.取，即，亦即，故時，有，不等式成立.綜上可知，對任意的正整數(shù),不等式都成立.

------12分21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在區(qū)間，使得當時函數(shù)的值域為，若存在求出，若不存在說明理由.參考答案：（ⅱ）若，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減…………6分綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：，

單調(diào)遞增區(qū)間為：；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：

單調(diào)遞增區(qū)間為：和；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為：.…………7分22.

徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規(guī)定速度不得超過100千米/小時．已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為a元(a>0)．（1）把全程運輸成本y（元）表示