廣東省湛江市嶺北中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省湛江市嶺北中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若sinα=﹣，則α為第四象限角，則tanα的值等于（） A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出cosα，然后求解即可． 【解答】解：sinα=﹣，則α為第四象限角，cosα==， tanα==﹣． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．2.如圖所示，設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且則△ABP與△ABC的面積之比等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.在函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)的周期性.4.設(shè)函數(shù)y=x2與y=的圖象交點(diǎn)為（x0，y0），則x0所在區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：B【考點(diǎn)】56：二分法求方程的近似解．【分析】利用方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)判定定理求解即可．【解答】解：函數(shù)y=x2與y=的圖象交點(diǎn)為（x0，y0），x0方程x2=的解，就是函數(shù)f（x）=x2﹣的零點(diǎn)．∵f（2）=22﹣1=3＞0，f（1）=1﹣2=﹣1＜0，∴f（1）?f（2）＜0．由零點(diǎn)判定定理可知：方程的解在（1，2）內(nèi)．故選：B．5.若i為虛數(shù)單位，圖1中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()

參考答案：C略6.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為A． B． C．

D．參考答案：D7.函數(shù)函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】首先對f（x）=（x﹣3）ex求導(dǎo)，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故選：D．8.下列命題中的假命題是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的一個(gè)周期為

B．的圖像關(guān)于直線對稱

C.的一個(gè)零點(diǎn)為

D．在區(qū)間上單調(diào)遞減參考答案：D10.已知集合，為集合到集合的一個(gè)函數(shù)，那么該函數(shù)的值域C的不同情況有(

)

A．7種 B．4種 C．8種 D．12種參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線過橢圓的左焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)B.則該橢圓的離心率____.參考答案：略12.設(shè)x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，則x+y+z的取值范圍是__________參考答案：略13.設(shè),則的最小值為

。參考答案：9本題考查基本不等式的應(yīng)用，難度中等。因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。14.在等差數(shù)列{an}中，若a2+a5=，則數(shù)列{an}的前6項(xiàng)的和S6=．參考答案：2【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a1+a6，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得S6．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，∵，∴S6==．故答案為：2．15.已知函數(shù)f（x）=（a是常數(shù)且a＞0）．給出下列命題：①函數(shù)f（x）的最小值是﹣1；②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；③函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上的零點(diǎn)是x=lg；④若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）；⑤對任意的x1，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正確命題的序號(hào)是．（寫出所有正確命題的序號(hào)）參考答案：①③⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出函數(shù)f（x）=（a是常數(shù)且a＞0）的圖象，①由圖只需說明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是﹣1；②只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；③函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）的零點(diǎn)是lg；④只需說明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；⑤已知函數(shù)f（x）的圖象在（﹣∞，0））上是下凹的，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方．【解答】解：對于①，由圖只需說明在點(diǎn)x=0處函數(shù)f（x）的最小值是﹣1；故正確；對于②，由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；故錯(cuò)；對于③，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）的零點(diǎn)是lg，故正確；對于④，只需說明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，則當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故錯(cuò)；對于⑤，已知函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上的圖象是下凹的，所以任取兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的上方，即f（）＜，故正確．故答案為：①③⑤．【點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關(guān)鍵是圖象法．16.在二面角中，且已知

,,則二面角的余弦值為

▲

參考答案：17.已知正四棱柱的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這個(gè)正四棱柱的體積是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)每年的三月十二日,是中國的植樹節(jié),林管部門在植樹前,為保證樹苗的質(zhì)量,都會(huì)在植樹前對樹苗進(jìn)行檢測.現(xiàn)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度,規(guī)定高于128厘米的樹苗為“良種樹苗”,測得高度如下(單位:厘米):

甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根據(jù)抽測結(jié)果,畫出甲、乙兩種樹苗高度的莖葉圖,并根據(jù)你填寫的莖葉圖,對甲、乙兩種樹苗的高度作比較,寫出對兩種樹苗高度的統(tǒng)計(jì)結(jié)論;(Ⅱ)設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為x,將這10株樹苗的高度依次輸入按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算(如圖),問輸出的S大小為多少？并說明S的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義;(Ⅲ)若小王在甲種樹苗中隨機(jī)領(lǐng)取了5株進(jìn)行種植,用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,求小王領(lǐng)取到的“良種樹苗”的株數(shù)X的分布列.參考答案：(1)莖葉圖如圖所示:(2分)甲

乙9013591237

111213140046704667

統(tǒng)計(jì)結(jié)論:①甲種樹苗的平均高度小于乙種樹苗的平均高度;②甲種樹苗比乙種樹苗長得更整齊;③甲種樹苗高度的中位數(shù)為127,乙種樹苗高度的中位數(shù)為128.5;④甲種樹苗的高度基本上是對稱的,而且大多數(shù)集中在均值附近,乙種樹苗的高度分布較為分散.………………4分(每寫出一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論得1分)(2)依題意,x＝127,S＝35.

(6分)S表示10株甲種樹苗高度的方差,是描述樹苗高度的離散程度的量.S值越小,表示樹苗長得越整齊,S值越大,表示樹苗長得越參差不齊.(3)由題意可知,領(lǐng)取一株甲種樹苗得到“良種樹苗”的概率為,則X～B,(10分)所以隨機(jī)變量X的分布列為

13分19.如圖，四邊形ABCD外接于圓，AC是圓周角∠BAD的角平分線，過點(diǎn)C的切線與AD延長線交于點(diǎn)E，AC交BD于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：BD∥CE；（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，求AD的長度．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)圓的切線性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可證明BD∥CE；（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求AD的長度．【解答】解：（Ⅰ）∵AC是圓周角∠BAD的角平分線，∴∠EAC=∠BAC，又∵CE是圓的切線，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，∴BD∥CE…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，∴，∴，∵∠EAC=∠DBC，由（Ⅰ）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，∴，則BC2=AB?DE=4，∴BC=2∴在Rt△ABC中，，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，所以．…10分．20.（本小題滿分14分）如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．（1）求證平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的余弦值．參考答案：（法一）（1）取中點(diǎn)為，連接、，且，，則且．…………2分

四邊形為矩形，且，且，，則．平面，平面，

平面．

……………………4分（2）過點(diǎn)作的平行線交的延長線于，連接，，，，

，，，四點(diǎn)共面．四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角．……7分，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．……9分（3）過點(diǎn)作于，連接，根據(jù)（2）知，，，四點(diǎn)共面，，，，又，平面，

，則．又，平面．直線與平面所成角為．

……………11分，，，，，．即直線與平面所成角的余弦值為．……………14分（法二）（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：，，，，，，則，．

………………2分，，為平面的一個(gè)法向量．又，平面．

…………4分（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，，

取，得．……………6分平面，平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．…9分（3）根據(jù)（2）知平面一個(gè)法向量為，，

，………12分設(shè)直線與平面所成角為，則．因此，直線與平面所成角的余弦值為．………14分21.已知函數(shù).(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.參考答案：解：.

（Ⅰ），解得.

（Ⅱ）.

①當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.③當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.④當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上，；在