控制理論第三章優(yōu)秀課件

控制理論第三章第三章控制系統(tǒng)的時域分析§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

§3-4高階系統(tǒng)的時間響應§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

§3-6誤差分析與計算第三章控制系統(tǒng)的時域分析第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

一、時間響應的概念

描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應的數(shù)學表達式。任一系統(tǒng)的時間響應都是由瞬態(tài)響應(TransientResponse)和穩(wěn)態(tài)響應(Steady-StateResponse)組成。瞬態(tài)響應

：系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程稱為瞬態(tài)(或稱暫態(tài))響應，也稱過渡過程。在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應。穩(wěn)態(tài)響應

：第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、典型實驗信號

系統(tǒng)的瞬態(tài)響應不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，總是預先規(guī)定一些特殊的實驗輸入信號，然后比較各種系統(tǒng)對這些實驗輸入信號的響應，并以此作為對各種控制系統(tǒng)性能進行比較的基礎(chǔ)。實驗信號的選取原則：1)具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況。2)形式盡可能簡單，便于分析處理。3)能使系統(tǒng)在最不利的情況下工作。

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

第三章控制系統(tǒng)的時域分析1.階躍信號

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

階躍信號相當于一個數(shù)值為一常值的信號，在時突然加到系統(tǒng)上。幅值A(chǔ)為1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：階躍函數(shù)如右圖所示，定義為圖3-1a階躍信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．斜坡信號當A＝1時稱為單位斜坡函數(shù)。這種實驗信號相當于控制系統(tǒng)中加入一個按恒速變化的信號，其速度為A。

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

斜坡函數(shù)如右圖所示，定義為拉氏變換為：圖3-1b斜坡信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析3．加速度信號該實驗信號相當于控制系統(tǒng)中加入一按恒加速度變化的信號，加速度為A。當A＝1時，稱為單位加速度函數(shù)。

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

加速度函數(shù)如右圖所示，定義為拉氏變換為：圖3-1c加速度信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析4．脈沖信號若對實用脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖，稱作單脈沖信號，記為拉氏變換為：

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

脈沖函數(shù)如右圖所示，定義為其中，脈沖寬度為h，脈沖面積為1。圖3-1d脈沖信號第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、瞬態(tài)響應指標通常，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，以系統(tǒng)對單位階躍輸入量的瞬態(tài)響應形式給出。

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

在工程實踐中，評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，多用時域的幾個特征量來表示。為了評價控制系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應特征，通常采用下列一些性能指標：延遲時間，上升時間，峰值時間，最大超調(diào)量以及調(diào)整時間。第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

圖3-2表示性能指標的階躍響應曲線：延遲時間：上升時間：峰值時間：最大超調(diào)量：調(diào)整時間第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

1.延遲時間

：響應曲線第一次達到穩(wěn)定值的一半所需的時間，叫做延遲時間。

響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，或從0上升到100%所需的時間都叫做上升時間。對于過阻尼和臨界系統(tǒng)(ζ≥1)，通常采用10%～90%的上升時間；對于欠阻尼系統(tǒng)(0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升時間。2.上升時間

：各性能指標定義如下:3．峰值時間

：響應曲線達到超調(diào)量的第一個峰值所需要的時間叫做峰值時間。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析最大峰值(即第一個峰值)與理想穩(wěn)態(tài)值1之間的差值叫做最大超調(diào)量值Mp。通常采用百分比表示最大相對超調(diào)量，定義為4．最大超調(diào)量：最大超調(diào)量的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

§3-1時間響應及系統(tǒng)性能指標

響應曲線第一次達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計要求，通常取5%或2%。5．調(diào)整時間：第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為描述一階系統(tǒng)的微分方程的通式為如圖3-3所示的不計質(zhì)量的彈簧-阻尼系統(tǒng)，若以油壓p為輸入，以位移x為輸出，則表現(xiàn)為一階系統(tǒng)。描述它的微分方程為圖3-3一階系統(tǒng)第三章控制系統(tǒng)的時域分析傳遞函數(shù)的一般形式為

(3-1)式中K——系統(tǒng)增益；T——時間常數(shù)，具有時間量綱。當K＝1時，典型系統(tǒng)的方塊圖及其簡化形式如圖3-4a、圖3-4b所示。a)

b)圖3-4一階系統(tǒng)方塊圖

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號，根據(jù)式(3-1)進行拉氏反變換，求出微分方程的解即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應。

為單位階躍函數(shù)(3-2)對上式進行拉氏反變換，得出(3-3)(t≥0)時間響應曲線見圖3-5a?！?-2一階系統(tǒng)的時間響應第三章控制系統(tǒng)的時域分析圖3-5a一階系統(tǒng)的時間響應時間響應從零值到終值呈指數(shù)曲線上升。曲線在t=0的初始斜率為可見，時間常數(shù)T是一階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。它表征了系統(tǒng)過渡過程的品質(zhì)，T越小，慣性越小，系統(tǒng)的響應越快。系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)值為

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析把t=T代入式(3-3)可得故時間常數(shù)T可定義為系統(tǒng)的時間響應達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時間。從圖3-5a可以看出，經(jīng)過三倍的時間常數(shù)，響應曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的95%，經(jīng)過四倍的時間常數(shù)，響應曲線達到穩(wěn)態(tài)值的98.2%。如果要求響應曲線保持在穩(wěn)態(tài)值的5%～2%的允許誤差范圍內(nèi)，那么系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3～4)T，以此作為評價響應時間長短的標準。時間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù)而與輸入函數(shù)無關(guān)。在圖3-3所示系統(tǒng)中，

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應圖3-5b一階系統(tǒng)的時間響應單位斜坡函數(shù)t的拉氏變換為，代入式(3-2)中可得取上式的拉氏反變換，可得(3-4)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應和輸入信號表示于圖3-5b中。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析誤差信號為即當t→∞時，→0，從圖中也可以看出，當t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

圖3-5b一階系統(tǒng)的時間響應第三章控制系統(tǒng)的時域分析四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應單位脈沖的拉氏變換，這時式(3-2)為取其拉式反變換得時間響應曲線如圖3-5c所示。圖3-5c一階系統(tǒng)的時間響應

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析五、線性定常系統(tǒng)的重要特征系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，可以通過把系統(tǒng)對輸入信號的響應進行微分來求出；系統(tǒng)對原信號積分的響應，等于系統(tǒng)對原信號響應的積分。這是線性定常系統(tǒng)的特點，線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特點。

§3-2一階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)是可以用二階微分方程描述的系統(tǒng)。圖2-13所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，外力F(t)為輸入，位移x為輸出，描述它的微分方程為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(3-6)上式可以寫成(3-7)圖2-13第三章控制系統(tǒng)的時域分析式中為系統(tǒng)增益，，，和ζ只決定于系統(tǒng)參數(shù)而與輸入無關(guān)。傳遞函數(shù)(3-9)微分方程(3-8)可以用兩個特征參數(shù)來普遍地描述各種二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，即無阻尼自然頻率和阻尼比ζ。借助這兩個參數(shù)，把二階系統(tǒng)的數(shù)學模型寫成如下標準形式

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析典型二階系統(tǒng)的方塊圖及其簡化形式示于圖3-6a，圖3-6b。a)

b)圖3-6二階系統(tǒng)框圖

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應對單位階躍輸入，，從式(3-9)可以求出系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換

(3-10)對上式進行拉式反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應。從式(3-9)可求得二階系統(tǒng)的特征方程(3-11)它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點：(3-12)

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析下面分別對二階系統(tǒng)在，，以及四種情況下的瞬態(tài)響應進行討論，假定初始狀態(tài)為零。1．，臨界阻尼情況由式(3-12)得：，系統(tǒng)有兩個相重的負實數(shù)極點，如圖3-7a所示。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

圖3-7第三章控制系統(tǒng)的時域分析這時式(3-10)變成對上式進行拉式反變換，得到

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

圖3-7a表示了二階系統(tǒng)在臨界阻尼狀態(tài)的單位階躍響應，它既無超調(diào)，也無振蕩。第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．，過阻尼情況由式(3-12)得，系統(tǒng)有兩個不相等的負實數(shù)極點，示于圖3-7b左圖。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

圖3-7二階系統(tǒng)極點分布與對應的階躍響應第三章控制系統(tǒng)的時域分析把式(3-10)寫成部分分式

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析求上式的拉式反變換，得到(3-14)它有兩個指數(shù)衰減項，當ζ較大時，一個極點遠離虛軸，它的影響很小，可以忽略不計。此時，二階系統(tǒng)就近似于一個慣性環(huán)節(jié)。圖3-7b表示過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應。從圖中可見，瞬態(tài)響應無超調(diào)，無振蕩，過渡過程比臨界阻尼時長。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析3．，欠阻尼情況由式(3-12)得式中，，稱為阻尼自然頻率。這時系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點，如圖3-7c所示。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

圖3-7二階系統(tǒng)極點分布與對應的階躍響應第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

這時式(3-10)可以寫成求上式的拉式反變換，由拉氏變換表中查出注意到，可得(3-15)第三章控制系統(tǒng)的時域分析其中由上式可以看出，在欠阻尼狀態(tài)下二階系統(tǒng)的單位階躍響應呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率，其振幅按指數(shù)曲線衰減，者均由系統(tǒng)參數(shù)ζ和決定。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

4.，零阻尼狀態(tài)

將代入式(3-15)可得(3-16)式(3-16)說明二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應是等幅振蕩，振蕩頻率為ωn。第三章控制系統(tǒng)的時域分析從上面的分析可以看出頻率和的物理意義。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

是無阻尼時()二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼()時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；相應地把稱為阻尼振蕩周期。顯然，<，且隨著ζ的增大，的值相應地減小。第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

根據(jù)式(3-13)、式(3-14)、式(3-15)和式(3-16)，對應不同的阻尼比ζ，可以畫出二階系統(tǒng)在單位階躍信號下的一簇瞬態(tài)響應曲線，如圖3-8所示。圖3-8二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線從圖中可以看出：

1)當，二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有單調(diào)上升的特性；

2)當，二階系統(tǒng)振蕩特性加強；當減小到時，呈現(xiàn)出等幅振蕩。第三章控制系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的調(diào)整時間ts，在單調(diào)上升的特性中，以時為最短；在欠阻尼特性中，對應時的瞬態(tài)響應，具有比時更短的調(diào)整時間，而且振蕩也不嚴重。因此，一般說來，希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應指標下面就二階系統(tǒng)，當時，推導瞬態(tài)響應各項特征指標的計算公式。1．上升時間tr

根據(jù)定義，當時，。由式(3-15)得即

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析由于，所以則所以(3-17)圖3-9角θ的定義角θ的幾何意義示于圖3-9。當時，當時，。由式(3-17)可知，當阻尼比ζ一定時，若要求上升時間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率ωn。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．峰值時間tp

根據(jù)式(3-15)可知，將對時間求導，并令其等于零，可求得峰值時間tp，即可得因為峰值時間對應于第一次峰值超調(diào)量，所以

(3-18)

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析阻尼振蕩周期，故峰值時間tp等于阻尼振蕩周期的一半。從式(3-18)可以看出，當ζ一定時，ωn越大，tp越小，反應越快；當ωn一定時，ζ越小，tp也越小。3．最大超調(diào)量Mp

由Mp的定義可知最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間處，根據(jù)式(3-15)，可以求出

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析上式表明，最大超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率ωn無關(guān)，ζ越小，Mp越大，當時，Mp＝1，即而當增大到時，Mp＝0。4．調(diào)整時間ts

圖3-10瞬態(tài)響應曲線的包絡線對于二階欠阻尼系統(tǒng)，瞬態(tài)響應為式(3-15)，瞬態(tài)響應曲線見圖3-10，曲線是該瞬態(tài)響應曲線的包絡線。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析包絡線的時間常數(shù)為。瞬態(tài)響應的衰減速度，取決于時間常數(shù)的數(shù)值。當采用2%的允許誤差范圍時，ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的四倍，即(3-20)當采用5%的允許誤差范圍時，ts近似等于系統(tǒng)時間常數(shù)的三倍，即(3-21)由此可見，大，ts就??；當ωn一定時，ts與ζ成反比。與、和ζ的關(guān)系正好相反。通常ζ值是根據(jù)允許最大超調(diào)量來確定，所以調(diào)整時間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率ωn來確定。這樣，在不改變最大超調(diào)量的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率ωn，可以改變瞬態(tài)響應的時間。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析綜合上述分析，可將二階系統(tǒng)的特征參量ζ、ωn與瞬態(tài)響應各項指標間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特性由系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ωn共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應指標，必須綜合考慮ζ和ωn的影響，選取合適的ζ和ωn。(2)若保持ζ不變而增大ωn，對超調(diào)量無影響，卻可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調(diào)整時間ts，即可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率對提高系統(tǒng)性能是有利的。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

(3)若保持ωn不變而增大ζ值，則會使超調(diào)量Mp減小，增加相對穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在時，隨著ζ的增大，ts減小；而在時，隨著ζ的增大，tr、ts均增大(式(3-20)和(3-21)為近似式，精確計算表明，在時，ts隨ζ的增大而增大)，系統(tǒng)的快速性變差。第三章控制系統(tǒng)的時域分析(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和快速性，通常取，這時系統(tǒng)的超調(diào)量在25%到1.5%之間。若，系統(tǒng)超調(diào)嚴重，相對穩(wěn)定性差；若，則系統(tǒng)反應遲鈍，靈敏性差。當時，超調(diào)量()和調(diào)整時間均較小，故稱為最佳阻尼比。

§3-3二階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析(1)試確定該系統(tǒng)的特征參量ωn和ζ；(2)試求出系統(tǒng)的最大超調(diào)量和調(diào)整時間；(3)若采用最佳阻尼比，試確定系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K值。某單位反饋的位置控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，開環(huán)放大倍數(shù)。

例3-1

解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

標準形式為

第三章控制系統(tǒng)的時域分析由此題可以看出，若采用最佳阻尼比，必須降低系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)。(1)比較上面兩式，由，可得由，可得

(2)最大超調(diào)量由式(3-19)確定調(diào)整時間由式(3-21)確定(允許誤差為5%)

(3)由于，，求出第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-2某系統(tǒng)如圖3-11所示，試求其無阻尼自然頻率ωn，阻尼比ζ，超調(diào)量Mp，峰值時間tp，調(diào)整時間ts(進入±5%的誤差帶)。解：對于圖3-11所示系統(tǒng)，首先應求出其傳遞函數(shù)，化成標準形式，然后可用公式求出各項特征量及瞬態(tài)響應指標。第三章控制系統(tǒng)的時域分析rad/sss第三章控制系統(tǒng)的時域分析設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求該系統(tǒng)的單位階躍響應和單位脈沖響應。例3-3欲求系統(tǒng)響應，可先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，然后求出輸出變量的象函數(shù)，再進行拉氏反變換即得相應的時域瞬態(tài)響應。解：1)當單位階躍輸入時，，則所以第三章控制系統(tǒng)的時域分析2)線性定常系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，可通過把系統(tǒng)對輸入信號的響應求導得出。

當單位脈沖輸入時，則第三章控制系統(tǒng)的時域分析由于求出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)不是典型的二階振蕩環(huán)節(jié)，其分子存在微分作用，因此采用公式求其上升時間和最大超調(diào)量將引起較大誤差，故宜按定義求其值。解：例3-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應，并求其上升時間和最大超調(diào)量。第三章控制系統(tǒng)的時域分析當時，，則進行拉氏反變換，得第三章控制系統(tǒng)的時域分析解之，得

最大超調(diào)量為最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差，而峰值處導數(shù)為零。

令，得

，則第三章控制系統(tǒng)的時域分析§3-4高階系統(tǒng)的時間響應

一、閉環(huán)主導極點高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(3-22)為確定系統(tǒng)的零、極點，把上式的分子分母因式分解為(3-23)第三章控制系統(tǒng)的時域分析瞬態(tài)響應分析的前提是系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，全部極點都在s平面的左半部。如果全部極點都不相同(實際系統(tǒng)通常皆如此)，對于單位階躍輸入，有(3-24)(3-25)上面諸式中，、分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點，為極點處的留數(shù)。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應的拉氏反變換為§3-4高階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析(3-26)由上式可知，每個閉環(huán)極點確定了一個瞬態(tài)響應分量，該分量的相對重要性，由該極點處的留數(shù)的大小和指數(shù)衰減系數(shù)決定。如果一個閉環(huán)極點靠近一個閉環(huán)零點，因而對應該極點的瞬態(tài)響應項的系數(shù)就會很小，一對靠得很近的極點和零點，彼此將會互相抵銷。對應于遙遠極點的瞬態(tài)響應項很小，并且衰減很快?！?-4高階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析閉環(huán)主導極點

：在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點，其周圍沒有零點，而且其他閉環(huán)極點與該極點的實部之比超過五倍以上，則這種極點稱為閉環(huán)主導極點。

距虛軸較近而周圍又沒有零點的極點所對應的瞬態(tài)響應項，幅度大而且衰減慢，因而在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應中起主導作用?！?-4高階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應形式因為高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，既有實數(shù)極點，又有共軛復數(shù)極點，而一對共軛復數(shù)極點可以形成一個s的二階項，所以可以把式(3-24)改寫成(3-27)式中。如果閉環(huán)極點是互不相同的，可將上式展成下面的部分分式：§3-4高階系統(tǒng)的時間響應

第三章控制系統(tǒng)的時域分析§3-4高階系統(tǒng)的時間響應

高階系統(tǒng)響應曲線的一些例子如圖3-12所示。圖3-12高階系統(tǒng)的階躍響應曲線取上式的拉氏反變換，可得高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應的一般形式：(3-28)第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

控制系統(tǒng)能實際應用的首要條件是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制理論的重要組成部分。

一、穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是指控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨著時間的推移，是否具有逐漸恢復原平衡狀態(tài)的性能。第三章控制系統(tǒng)的時域分析a)

b)

c)圖3-13系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、判別線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準則線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，它與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析研究穩(wěn)定性問題，就是研究系統(tǒng)去掉擾動后的運動情況，即研究式(3-29)的齊次微分方程式

(3-30)

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

式中——系統(tǒng)輸出；——系統(tǒng)輸入。描述線性系統(tǒng)的動態(tài)微分方程一般形式為(3-29)第三章控制系統(tǒng)的時域分析上式的特征方程為

(3-31)其解的一般式為(3-32)式中k1,k2,…,kn——由初始條件決定的積分常數(shù)；s1,s2,…,sn——特征方程的根。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

若式(3-31)中有q個實根、2r個復根，且，則式(3-31)可以改寫成(3-33)第三章控制系統(tǒng)的時域分析一個系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是其特征方程的根全部在s平面的左半平面（如圖3-14所示）。圖3-14復平面上的根考察控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式G(s)(nm)控制系統(tǒng)的特征方程式就是其傳遞函數(shù)的分母等于零的方程。因此在求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)后，取其分母等于零，便可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)方法是一種不需求解系統(tǒng)的特征方程，而是通過對特征方程的系數(shù)進行分析來判別系統(tǒng)是否有正實根或具有正實部的復數(shù)根，從而確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一種代數(shù)方法。第三章控制系統(tǒng)的時域分析1．勞斯穩(wěn)定判據(jù)

控制系統(tǒng)的特征方程如式(3-31)所示系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：系統(tǒng)特征方程(3-31)的各項系數(shù)皆大于零。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

檢驗系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件的步驟如下：（1）將系統(tǒng)特征方程式(3-31)的系數(shù)按下列形式排成兩行，即（2）列寫勞斯計算表

若系統(tǒng)的特征方程為第三章控制系統(tǒng)的時域分析（3）根據(jù)勞斯計算表第一列中各項的符號，確定特征方程根中具有正實部的個數(shù)。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-5解：設(shè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。如不穩(wěn)定，求出具有正實部的根數(shù)。系統(tǒng)的特征方程是上式各項系數(shù)均為正。列出勞斯計算表：s5114200

s4288800

s3-30-200

(改變符號一次)s274.7800

(改變符號一次)s1121

s0800

第三章控制系統(tǒng)的時域分析數(shù)表第一列有兩次符號變化，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個具有正實部的根，故不穩(wěn)定。如果將特征方程解出，可得其根為其中確有兩個帶正實部的根，與用勞斯判據(jù)的結(jié)果一致。運用勞斯判據(jù)時的兩種特殊情況。(1)在勞斯計算表第一列中出現(xiàn)零的情況

解決辦法：用一個小的正數(shù)代替0進行計算，再令0求極限來判別第一列系數(shù)的符號。(2)勞斯計算表中出現(xiàn)某一行各項全為零的情況

解決方法：將該零行上面的一行的各項組成一個“輔助方程式”。將該方程對s求導，用求得的各項系數(shù)代替原來為零的各項，然后按斯計算表的寫法繼續(xù)寫完以后各項。第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-6已知系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定并求不穩(wěn)定根的數(shù)目。解：特征方程各項系數(shù)為正。列出勞斯計算表：當0時，－，而。第一列有兩次變號，故特征方程有兩個正根。s5132

s4261

s30()2/3

(改變符號一次)s2(6-3)/1

(改變符號一次)s1

s01

第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-7解：已知控制系統(tǒng)的特征方程如下試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征方程各項系數(shù)為正。列出勞斯計算表如下：因s3行各項全為零，故以s4行的各項作系數(shù)，寫出輔助方程如下s6182016s5(21216)

s5168(約簡)s4(21216)

s4168(約簡)s300

第三章控制系統(tǒng)的時域分析將A(s)對s求導，得再將上式的系數(shù)代替s3行的各項系數(shù)，繼續(xù)寫出以下勞斯計算表：從勞斯計算表的第一列可以看出，各項并無符號變化，因此特征方程無正根。但因

s3行出現(xiàn)全為零的情況，可見必有共軛虛根存在，這可通過求解輔助方程A(s)得到：s6182016s5168

s4168

s3(412)

s313(約簡)

s238

第三章控制系統(tǒng)的時域分析此式的兩對共軛虛根為這兩對根，同時也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于所謂臨界穩(wěn)定狀態(tài)。若控制系統(tǒng)的特征方程缺項，或系數(shù)不全為正，則系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

一個系統(tǒng)穩(wěn)定，也就是系統(tǒng)特征方程式(3-31)全部根實部為負的必要和充分條件是：(1)系統(tǒng)特征方程式(3-31)各項系數(shù)全部為正值。(2)將系統(tǒng)特征方程式各項系數(shù)排成如下的行列式：(3-35)

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析當主行列式(3-35)及其主對角線上的各子行列式均大于零時，即則方程無正根，系統(tǒng)穩(wěn)定。

§3-5穩(wěn)定性及其代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-8解：若已知控制系統(tǒng)的特征方程為試判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。根據(jù)特征方程，列寫赫爾維茨行列式由△得各子行列式：因各子行列式都大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定。第三章控制系統(tǒng)的時域分析例3-9解：一個反饋控制系統(tǒng)的特征方程為試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值?？衫脛谒古袚?jù)求出K值范圍，勞斯表和計算過程如下：s312K+3

s25K10s1

s010

得K>0.5即為所求。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析

§3-6誤差分析與計算

本節(jié)目的掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。研究影響誤差的因素，指出提高系統(tǒng)精度的途徑。

建立閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的概念。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念1．誤差:

系統(tǒng)的誤差是指被控對象的希望輸出信號與實際輸出信號之差，即。

系統(tǒng)的偏差信號，即輸入信號與反饋信號之差，能夠直接或間接地反映系統(tǒng)的希望輸出值與實際輸出值之差，而且在實際工程系統(tǒng)中便于測量，因而，用系統(tǒng)的偏差信號來定義系統(tǒng)的誤差更有實際意義。

誤差信號的拉氏變換為圖3-15閉環(huán)系統(tǒng)的誤差

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析在一般情況下，兩種定義下誤差之間的關(guān)系為：或(3-39)

2．穩(wěn)態(tài)誤差:

誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，即

(3-40)

根據(jù)式(3-38)，可以用拉氏變換終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差(3-38)

對于單位反饋，兩種定義下的誤差表達式是一致的：

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析3.給定穩(wěn)態(tài)誤差：在給定輸入信號(以下簡稱輸入信號)作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，表征了系統(tǒng)的精度。如圖3-15所示系統(tǒng)，在輸入信號的作用下，誤差信號為據(jù)上式可求得給定穩(wěn)態(tài)誤差的傳遞函數(shù)為(3-42)

據(jù)式(3-41)，給定穩(wěn)態(tài)誤差為(3-43)

給定穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入信號的形式有關(guān)。

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4．外部擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差

圖3-16控制系統(tǒng)方塊圖圖3-16所示的系統(tǒng)。該系統(tǒng)同時受到輸入信號和擾動信號的作用

令(3-44)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析令

(3-45)

(3-46)輸入信號和擾動信號共同作用下的總誤差為總的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-47)(3-48)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析假定擾動量為階躍函數(shù)

則系統(tǒng)在擾動信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在一般情況下，

所以

擾動輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動量的大小成正比，增大擾動作用點以前的前向通道傳遞函數(shù)，可以減少擾動誤差。

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析5．內(nèi)部擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差

如圖3-15所示系統(tǒng)，假定輸入信號為恒值，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為(3-50)

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的變化

穩(wěn)態(tài)輸出的相對增量

(3-51)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析由于開環(huán)傳遞系數(shù)一般較大：，則(3-52)

分析上式可知(1)反饋系數(shù)變化，將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出發(fā)生同樣大小(相對值)的變化，因此，為保證系統(tǒng)的精度，檢測元件(包括反饋通道環(huán)節(jié))應該準確恒定。(2)前向通道環(huán)節(jié)變化引起的誤差，近似與開環(huán)傳遞系數(shù)成反比，由于一般較大，所以的變化對系統(tǒng)的精度影響不大，對它的準確度和恒定性要求可以降低，這是負反饋系統(tǒng)的特點。

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析二、誤差計算影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的主要因素是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號的性質(zhì)，為了計算穩(wěn)態(tài)誤差，需要引入系統(tǒng)的類型和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。1．系統(tǒng)的類型閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式

(3-53)

式中，——時間常數(shù)；

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析——開環(huán)放大倍數(shù)；——表示包括個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)，。將式(3-53)代入式(3-43)中，可得

(3-54)

分析上式可知，當系統(tǒng)的輸入信號一定時，穩(wěn)態(tài)誤差值和時間常數(shù)無關(guān)，和開環(huán)放大倍數(shù)及開環(huán)傳遞函數(shù)中包含的積分環(huán)節(jié)個數(shù)有關(guān)。特別是值決定了穩(wěn)態(tài)誤差為零、有限值和無窮大三種情況。因此，可以把系統(tǒng)按值分類為：1)=0，無積分環(huán)節(jié)，稱之為0型系統(tǒng)；2)=1，有一個積分環(huán)節(jié)，稱之為Ⅰ型系統(tǒng)；3)=2，有兩個積分環(huán)節(jié)，稱之為Ⅱ型系統(tǒng)；以此類推。

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析2．靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差計算系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K直接影響其穩(wěn)態(tài)誤差的大小，為了計算穩(wěn)態(tài)誤差，引入靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：

1)靜態(tài)位置誤差系數(shù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差稱為位置誤差，即

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析靜態(tài)位置誤差系數(shù)定義為位置誤差可用表示

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成對于0型系統(tǒng)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析對于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系統(tǒng)圖3-17所示為單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，其中圖3-17a為0型系統(tǒng)；圖3-17b為Ⅰ型或高于Ⅰ型的系統(tǒng)。圖3-17單位階躍響應曲線a)

b)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差，即靜態(tài)速度誤差系數(shù)定義為

則速度誤差為

(3-58)

(3-59)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析對于0型系統(tǒng)

對于Ⅰ型系統(tǒng)

對于Ⅱ型或高于Ⅱ型的系統(tǒng)

§3-6誤差分析與計算

第三章控制系統(tǒng)的時域分析圖