勾股定理教案

動態(tài)教案模板學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級八年級學(xué)校教師姓名章課題第十八章勾股定理總課時5第課時1節(jié)課題18．1勾股定理（1）課型新授課授課時間3月19日教學(xué)三維目標(biāo)知識及技能：1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2．培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。3．介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。過程及方法：經(jīng)歷觀察及發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過程，感受勾股定理的應(yīng)用意識。情感、態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，體會勾股定理的應(yīng)用價值。教學(xué)用具教學(xué)重點勾股定理的內(nèi)容及證明。教學(xué)難點勾股定理的證明。教學(xué)過程師生雙邊活動動態(tài)調(diào)整升級一、引入新課：目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，則他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。讓學(xué)生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長。以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的長是4，則斜邊（弦）的長是5。再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長。你是否發(fā)現(xiàn)32+42及52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，即32+42=52，52+122=132，則就有勾2+股2=弦2。對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？二、講授新課：方法一；如圖，讓學(xué)生剪4個全等的直角三角形，拼成如圖的圖形，利用面積證明。S正方形＝CS正方形＝4ab＋（a－b）方法二；已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：a2＋b2=c2。分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。左邊S=4×ab＋c2右邊S=（a+b）2左邊和右邊面積相等，即4×ab＋c2=（a+b）2化簡可得。方法三：以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一個直角梯形，它的面積等于.∴.∴.勾股定理的證明方法，達(dá)300余種。請學(xué)生利用業(yè)余時間探究。三、課堂練習(xí)：1．勾股定理的具體內(nèi)容是：。2．如圖，直角△ABC的主要性質(zhì)是：∠C=90°，（用幾何語言表示）⑴兩銳角之間的關(guān)系：；⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線；⑶若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊：；⑷三邊之間的關(guān)系：3．△ABC的三邊a、b、c，若滿足b2=a2＋c2，則=90°；若滿足b2＞c2＋a2，則∠B是角；若滿足b2＜c2＋a2，則∠B是角。4．根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。參考答案四、小結(jié)：請同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課里你有哪些收獲？學(xué)生說出結(jié)論，教師補充。例1（補充）通過對定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進(jìn)一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。板書設(shè)計18．1勾股定理（1）例1例2作業(yè)布置教材第69頁1、2題。教學(xué)反思及學(xué)情反饋對于分式的值不理解學(xué)生思維的定勢是分?jǐn)?shù)它是固定的值而分式的值它是變量既然是變量則就可能出現(xiàn)值為零的情況的，則這個值是如何出現(xiàn)的就得取定變量X的值的。在例題講解的當(dāng)中還可以擴充當(dāng)a為何值時，分式的值為正？值為負(fù)這樣對于學(xué)生知識一整個理解是非常的必要的學(xué)生就知道分式的值會有三大種不同的情況：值為0值為正值動態(tài)教案模板學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級八年級學(xué)校教師姓名章課題第十八章勾股定理總課時5第課時2節(jié)課題18．1勾股定理（2）課型新授課授課時間3月20日教學(xué)三維目標(biāo)知識及技能：1．會用勾股定理進(jìn)行簡單的計算。2．樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。過程及方法：經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應(yīng)用過程，感受勾股定理的應(yīng)用方法。情感、態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學(xué)生思維意識，發(fā)展數(shù)學(xué)理念，體會勾股定理的應(yīng)用價值。教學(xué)用具教學(xué)重點勾股定理的簡單計算。教學(xué)難點勾股定理的靈活運用教學(xué)過程師生雙邊活動動態(tài)調(diào)整升級一．復(fù)習(xí)引入。復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹?；勾股定理的符號語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。二．講授新課：例1（補充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。⑷已知a：b=1：2,c=5,求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。例2（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)形計算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）已知：如圖，等邊△ABC的邊長是6cm。⑴求等邊△ABC的高。⑵求S△ABC。分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。欲求高CD，可將其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD=AB=3cm，則此題可解。三、練習(xí)1．填空題⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=。⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，則c=。⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，則a=，b=。⑷一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為。⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm，，則第三邊長為。⑹已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高為，面積為。2．已知：如圖，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。3．已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。參考答案1．17；；6，8；6，8，10；4或；，；2．8；3．48。分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。欲求高CD，可將其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD=AB=3cm，則此題可解。板書設(shè)計18．1勾股定理（二）例3例4作業(yè)布置教材第70頁3，4題教學(xué)反思及學(xué)情反饋這一課學(xué)生能用類比的方法很快從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)得到分式的基本性質(zhì)。但在實際運用中還有些同學(xué)對用字母表示的式子不習(xí)慣。動態(tài)教案模板學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級八年級學(xué)校教師姓名章課題第十八章勾股定理總課時5第課時3節(jié)課題18．1勾股定理（三）課型新授課授課時間3月21日教學(xué)三維目標(biāo)知識及技能：1．會用勾股定理解決簡單的實際問題。2．樹立數(shù)形結(jié)合的思想。過程及方法：經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應(yīng)用過程，感受勾股定理的應(yīng)用方法情感、態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學(xué)生思維意識，發(fā)展數(shù)學(xué)理念，體會勾股定理的應(yīng)用價值。教學(xué)用具教學(xué)重點勾股定理的應(yīng)用。教學(xué)難點實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。教學(xué)過程師生雙邊活動動態(tài)調(diào)整升級一、引入新課例：（1）求出下列直角三角形中未知的邊．二、講授新課：例：①在解決問題時，每個直角三角形需知曉幾個條件？②直角三角形中哪條邊最長？（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關(guān)系？（2）一個門框的尺寸如圖1所示．①若有一塊長3米，寬0.②若薄木板長3米，寬1.③若薄木板長3米，寬2.圖1例：（3）教材第76頁練習(xí)1．例：（4）如圖2，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5①球梯子的底端B距墻角O多少米？②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C，猜一猜，底端也將滑動0.5米嗎？算一算，底端滑動的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．圖2例：（1）教材第76頁練習(xí)第2題．（2）變式：以教材第76頁練習(xí)第2題為背景，請同學(xué)們再設(shè)計其他方案構(gòu)造直角三角形（或其他幾何圖形），測量池塘的長AB．（3）如圖3，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式．三、課堂練習(xí)：1．小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是米。2．如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是米，水平距離是米。2題圖3題圖4題圖3．如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是。4．如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少？四、小結(jié)：通過探究性的實際問題的解釋和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生從身邊的事物中抽象出幾何模型的能力，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)來源于生活，并服務(wù)于生活．例1（教材P66頁探究1）明確如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學(xué)會如何利用數(shù)學(xué)知識、思想、方法解決實際問題。分析：⑴在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理的計算，采用多種方法。⑸注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。例2（教材P67頁探究2）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。板書設(shè)計18．1勾股定理（三）例作業(yè)布置教材第70頁6、7題。教學(xué)反思及學(xué)情反饋這一課學(xué)生對通分和約分的基本步驟掌握的比較好，但約分的時候也有忘了遇到多項式要進(jìn)行因式分解的，通分的時候找最簡公分母找不準(zhǔn)的。動態(tài)教案模板學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級八年級學(xué)校教師姓名章課題第十八章勾股定理總課時5第課時4節(jié)課題18．2勾股定理的逆定理（一）課型新授課授課時間3月22日教學(xué)三維目標(biāo)知識及技能：探索并掌握直角三角形判別思想，會應(yīng)用勾股逆定理解決實際問題．過程及方法：經(jīng)歷直角三角形判別條件的探究過程，體會命題、定理的互逆性，掌握情理數(shù)學(xué)意識．情感、態(tài)度價值觀：培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維以及合情推理意識，感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價值教學(xué)用具教學(xué)重點理解并掌握勾股定理的逆定性，并會應(yīng)用．教學(xué)難點理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo)教學(xué)過程師生雙邊活動動態(tài)調(diào)整升級一、引入新課創(chuàng)設(shè)情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形？⑵怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對比，從勾股定理的逆命題進(jìn)行猜想。二、講授新課：例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？⑴同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，則兩個實數(shù)平方相等。⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。解略。例2（P74探究）證明：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形。證明略。例3（補充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求證：∠C=90°。分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。⑵要證∠C=90°，只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可。⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，從而a2+b2=c2，故命題獲證。課堂練習(xí)1．判斷題。⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，則這條邊所對的角是直角。⑵命題：“在一個三角形中，有一個角是30°，則它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命題。⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，則這個三角形是直角三角形。⑷△ABC的三邊之比是1：1：，則△ABC是直角三角形。2．△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（）A．如果∠C－∠B=∠A，則△ABC是直角三角形。B．如果c2=b2—a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C．如果（c＋a）（c－a）=b2，則△ABC是直角三角形。D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形。3．下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=8，b=15，c=17B．a(chǎn)=9，b=12，c=15C．a(chǎn)=，b=，c=D．a(chǎn)：b：c=2：3：44．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？⑴a=，b=，c=；⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=，c=；⑷a=5，b=，c=1。練習(xí)，1．?dāng)⑹鱿铝忻}的逆命題，并判斷逆命題是否正確。⑴如果a3＞0，則a2＞0；⑵如果三角形有一個角小于90°，則這個三角形是銳角三角形；⑶如果兩個三角形全等，則它們的對應(yīng)角相等；⑷關(guān)于某條直線對稱的兩條線段一定相等。2．填空題。⑴任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有。⑵“兩直線平行，內(nèi)錯角相等。”的逆定理是。思路點撥：要證AF⊥EF，需證△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要證出AF2+EF2=AF2就可以了．小結(jié)：1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2=c2，則這個三角形是直角三角形．（問：勾股定理是什么呢？）2．該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．3．應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解．分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用。⑵理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假。分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫已知求證。⑵如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個角是直角。⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可證。⑸先讓學(xué)生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動手操作能力，由實踐到理論學(xué)生更容易接受。板書設(shè)計勾股定理的逆定理（一）例作業(yè)布置教材第76頁1、2題。教學(xué)反思及學(xué)情反饋選取學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)的乘除運算問題，用類比的思想方法學(xué)習(xí)歸納出分式乘除法的運算法則，學(xué)生感到輕松容易的掌握了分式乘除法的運算，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但有些學(xué)生遇到分子、分母是多項式時沒有去因式分解。動態(tài)教案模板學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級八年級學(xué)校教師姓名章課題第十八章勾股定理總課時5第課時5節(jié)課題18．2勾股定理的逆定理（二）課型新授課授課時間3月23日教學(xué)三維目標(biāo)知識及技能：1．靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。2．進(jìn)一步加深性質(zhì)定理及判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。過程及方法：在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運用的程度。情感、態(tài)度價值觀：培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維以及合情推理意識，感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價值教學(xué)用具教學(xué)重點靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。教學(xué)難點靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決