2020年中考數(shù)學總復習：三角形及其全等課件

2020年中考數(shù)學總復習三角形及其全等2020年中考數(shù)學總復習1考點一三角形的相關(guān)概念與性質(zhì)中考真題1.(2019內(nèi)蒙古包頭,7,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AB、AC于

點D、E,再分別以點D、E為圓心,大于

DE的長為半徑畫弧,兩弧交于點F,作射線AF交邊BC于點G,若BG=1,AC=4,則△ACG的面積是

()A.1

B.

C.2

D.

答案

C由作圖可知AF是∠BAC的平分線,∵∠B=90°,BG=1,∴點G到AC的距離等于1,∴△ACG的面積是

×1×4=2.故選C.思路分析先判斷AF是∠BAC的平分線,再根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可求點G到AC的距

離,最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.考點一三角形的相關(guān)概念與性質(zhì)中考真題1.(2019內(nèi)蒙古包22.(2019河南,9,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分別以點A、C為圓心,大于

AC長為半徑作弧,兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點O.若點O是AC的中點,則CD的長為

()

A.2

B.4

C.3

D.

答案

A連接FC,由作圖方法及點O是AC的中點可知,BF垂直平分AC,∴AF=CF,AB=CB,易得∠1=∠2,∵

AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=AF,∴BC=CF=AF=3,∴FD=AD-AF=1.在Rt△DCF中,由勾股定理得

CD=

=2

,故選A.

2.(2019河南,9,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD33.(2019貴州貴陽,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點C為圓心,CB長為半徑畫弧,交AB于點B和點D,再分別

以點B,D為圓心,大于

BD長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,作射線CM交AB于點E,若AE=2,BE=1,則EC的長度是

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D由作圖敘述可知CE⊥AB,∵AE=2,BE=1,∴AB=AC=3,在Rt△ACE中,CE=

=

,故選D.3.(2019貴州貴陽,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=44.(2018內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,△ADE的頂點D,E分別在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=

AE.若∠C+∠BAC=145°,則∠EDC的度數(shù)為

()A.17.5°

B.12.5°

C.12°

D.10°答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=180°-(∠C+∠BAC)=35°,∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,∴∠EDC=∠AED-∠C=45°-35°=10°.故選D.4.(2018內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,在△ABC中,AB55.(2018貴州貴陽,2,3分)如圖,在△ABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是△ABC的中線,則該線

段是

()

A.線段DE

B.線段BE

C.線段EF

D.線段FG答案

B連接三角形一個頂點和它對邊中點,所得的線段叫做三角形這條邊上的中線,從圖形中看出,線

段DE、EF、FG都不經(jīng)過△ABC的頂點,僅有線段BE經(jīng)過△ABC的頂點B,所以線段BE是△ABC的中線,故

選B.5.(2018貴州貴陽,2,3分)如圖,在△ABC中有四條線66.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在△ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D和E,∠B=60°,

∠C=25°,則∠BAD為

()A.50°

B.70°

C.75°

D.80°答案

B因為直線DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因為∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故選B.6.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在△ABC中,直線D77.(2017吉林,5,2分)如圖,在△ABC中,以點B為圓心,以BA長為半徑畫弧交邊BC于點D,連接AD.若∠B=40°,∠C=36°,則∠DAC的度數(shù)是

()

A.70°

B.44°

C.34°

D.24°答案

C由作圖知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故

選C.7.(2017吉林,5,2分)如圖,在△ABC中,以點B為圓88.(2017河北,11,2分)如圖是邊長為10cm的正方形鐵片,過兩個頂點剪掉一個三角形,以下四種剪法中,裁剪

線長度所標的數(shù)據(jù)(單位:cm)不正確的是

()

答案

A由勾股定理得正方形的對角線的長是10

,因為10

<15,所以正方形內(nèi)部的每一個點到正方形的頂點的距離都小于15,故選A.8.(2017河北,11,2分)如圖是邊長為10cm的正方99.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個

頂點在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

D①如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,則△BCD就是等腰三角形;②如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點E,則△ACE就是等腰三角形;③如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于M,交AC于點F,則△BCM、△BCF是等腰三角形;④如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點H,則△ACH就是等腰三角形;⑤如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點G,則△AGB就是等腰三角形;⑥如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則△BCI就是等腰三角形.故選D.9.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在Rt△ABC中,1010.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊

三角形,則滿足上述條件的△PMN有

()A.1個

B.2個

C.3個

D.3個以上答案

D如圖所示,過點P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則△PCD為等邊三角形.在OC,

DB上分別取M,N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,則△PMN為等邊

三角形,因為滿足CM=DN的M,N有無數(shù)個,所以滿足題意的三角形有無數(shù)個.思路分析要尋找等邊三角形,可以利用圓規(guī)得到等腰三角形,根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形為等邊三

角形就可以判定其為等邊三角形.10.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,11解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要選擇恰當判斷等邊三角形的方法,另外,本題還可以借助對稱性發(fā)現(xiàn)等邊

三角形一定有無數(shù)多個.11.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取點C,使△ABC為等腰三角

形,則滿足條件的點C的個數(shù)是

()A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如圖,①當AB=AC時,以點A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩個交點(點B除外),即O(0,0),C0

(0,4),其中點C0與A、B兩點共線,不符合題意;②當AB=BC時,以點B為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標軸有兩

個交點,均符合題意;③當AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐標軸有兩個交點,均符合題意.所以滿足條件的

點C有5個,故選A.

解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要選擇恰當判斷等邊三角形的方法,另1212.(2016河北,10,3分)如圖,已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.步驟1:以C為圓心,CA為半徑畫?、?步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫?、?交弧①于點D;步驟3:連接AD,交BC延長線于點H.下列敘述正確的是

()A.BH垂直平分線段AD

B.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AH

D.AB=AD答案

A由作圖可知點B、C到線段AD的兩個端點的距離分別相等,∴點B、C都在線段AD的垂直平分線

上,即直線BC垂直平分線段AD.故選A.12.(2016河北,10,3分)如圖,已知鈍角△ABC,依1313.(2016安徽,10,4分)如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足∠PAB=∠

PBC.則線段CP長的最小值為

()

A.

B.2

C.

D.

答案

B∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.設(shè)AB的中點為O,則P在

以AB為直徑的圓上.當點O,P,C三點共線時,線段CP最短,∵OB=

AB=3,BC=4,∴OC=

=5,又OP=

AB=3,∴線段CP長的最小值為5-3=2,故選B.13.(2016安徽,10,4分)如圖,Rt△ABC中,AB1414.(2015四川綿陽,5,3分)如圖,在△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CD相交于點F,∠ABC=42°,∠A=60°,則

∠BFC=

()

A.118°

B.119°

C.120°

D.121°答案

C在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.∵BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB,∴∠FBC=

∠ABC=21°,∠FCB=

∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.故選C.評析本題主要考查三角形內(nèi)角和定理,角平分線的概念,屬容易題.14.(2015四川綿陽,5,3分)如圖,在△ABC中,∠B1515.(2015河北,15,2分)如圖,點A,B為定點,定直線l∥AB,P是l上一動點,點M,N分別為PA,PB的中點,對于下列

各值:①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大小.其中會隨點P的移動而變化的是

()A.②③

B.②⑤C.①③④

D.④⑤答案

B∵點M,N分別為PA,PB的中點,∴無論點P怎樣移動,總有MN=

AB,直線l與直線MN的距離及直線MN,AB之間的距離不變,所以①③④中的值不變.隨著點P的移動,點P與點A,B的距離及∠APB的大小發(fā)生變

化,故選B.15.(2015河北,15,2分)如圖,點A,B為定點,定直1616.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,則∠C的度數(shù)為

()

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°答案

A∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠C=

∠ADB=35°.故選A.16.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在△ABC中,AB1717.(2019遼寧大連,13,3分)如圖,△ABC是等邊三角形,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD.AB=2,則AD的長為

.答案2

解析∵△ABC是等邊三角形,AB=2,∴BC=CA=AB=2,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°.∵CA=CD=2,∴∠CAD=∠D,BD=CB+CD=4,∵∠ACB=∠CAD+∠D,∴2∠D=∠ACB=60°,∴∠D=60°×

=30°,∴∠BAD=180°-∠B-∠D=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABD中,AD=

=

=2

,故答案為2

.17.(2019遼寧大連,13,3分)如圖,△ABC是等邊三1818.(2019四川成都,25,4分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”.已

知點A的坐標為(5,0),點B在x軸的上方,△OAB的面積為

,則△OAB內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù)為

.答案4或5或6解析∵A(5,0),S△OAB=

,點B在x軸的上方,∴點B的縱坐標為3.設(shè)邊OB,AB分別與直線y=1交于點E,F,與直線y=2交于點C,D,則BC=CE=EO,CD∥EF∥OA,∴CD=

OA=

,EF=

OA=

,∴線段CD可以覆蓋1個或2個整點,線段EF可覆蓋3個或4個整點,∴△OAB內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù)為4或5或6.

18.(2019四川成都,25,4分)如圖,在平面直角坐標系1919.(2019河北,19,4分)勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面直角坐標系,并標示了A,B,C三地的坐標,數(shù)據(jù)如圖(單

位:km).筆直鐵路經(jīng)過A,B兩地.

(1)A,B間的距離為

km;(2)計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個維修站D,使D到A,C的距離相等,則C,D間的距離為

km.19.(2019河北,19,4分)勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面20答案(1)20(2)13解析(1)由點A和點B的坐標可知,AB∥x軸,A,B間的距離=12-(-8)=20km.(2)如圖,由點C的坐標可知點C在y軸的負半軸上且OC=17km,設(shè)y軸與直線AB的交點為E,易得AE=12km,

OE=1km,所以CE=18km,設(shè)CD=AD=xkm,則DE=(18-x)km,在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解

得x=13,所以C,D間的距離為13km.

思路分析(1)根據(jù)點A與點B的坐標特點求出A,B間的距離;(2)首先確定直角坐標系,設(shè)y軸與直線AB的交點

為E,易得AE=12km,CE=18km,設(shè)CD=AD=xkm,根據(jù)勾股定理列出含x的方程,求解即可.解題關(guān)鍵正確畫出平面直角坐標系,準確運用勾股定理得出方程是解決本題的關(guān)鍵.答案(1)20(2)13解析(1)由點A和點B的坐標可2120.(2019黑龍江齊齊哈爾,16,3分)等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足為點D,且BD=

AC,則等腰△ABC底角的度數(shù)為

.答案15°或45°或75°解析如圖,當BA=BC時,∵BD⊥AC,∴AD=CD=

AC,∵BD=

AC,∴AD=BD=CD,20.(2019黑龍江齊齊哈爾,16,3分)等腰△ABC中,22∴∠A=∠C=

×(180°-90°)=45°.如圖,當AB=AC且∠A為銳角時,∵BD=

AC=

AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°.如圖,當AB=AC且∠BAC為鈍角時,∵BD=

AC=

AB,∴∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ACB=

×30°=15°.同理,當BC=AC時,可求得∠CBA=∠CAB=75°或15°.故答案為15°或45°或75°.方法點撥等腰三角形中沒有指明頂角、底角或者沒有指明底邊、腰的都需要分類討論.∴∠A=∠C=?×(180°-90°)=45°.方法點撥等2321.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB=

,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為

.答案1或9解析分兩種情況討論:①BC邊上的高在△ABC內(nèi)時,如圖,過A作AD⊥BC于點D.在Rt△ABD中,∵AB=

,AD=3,∴BD=

=5.在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=3,∴CD=

=4.∴BC=BD+CD=9.②BC邊上的高位于△ABC外時,如圖,同①可求得BD=5,CD=4,∴BC=1.綜上,BC的長為1或9.21.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB=?,AC24思路分析根據(jù)題意畫圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形即可.易錯警示本題容易只考慮BC邊上的高在△ABC內(nèi)的情況而導致漏解.22.(2018湖北武漢,16,3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是邊AB的中點,E是邊BC上一點.若DE平分

△ABC的周長,則DE的長是

.

思路分析根據(jù)題意畫圖,要考慮全面,利用勾股定理解直角三角形25答案

解析延長BC至點F,使CF=AC,連接AF,∵D是AB的中點,∴AD=DB.∵DE平分△ABC的周長,∴AC+CE+AD

=DB+BE,∴AC+CE=BE,∴BE=CF+CE=EF,∴DE是△ABF的中位線,∴DE∥AF,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=12

0°,又AC=CF=1,∴∠FAC=∠AFC=30°,作CH⊥AF,則AH=

AC,所以AF=

AC=

,∴DE=

AF=

.思路分析延長BC至點F,使CF=AC,利用已知條件證明DE為△ABF的中位線,由已知條件求得AF的長,從

而求得DE的長.解題技巧對于求線段長度的問題,若條件涉及三角形邊的中點,可以考慮運用中位線性質(zhì)來解答.答案

?解析延長BC至點F,使CF=AC,連接AF2623.(2017陜西,12A,3分)如圖,在△ABC中,BD和CE是△ABC的兩條角平分線.若∠A=52°,則∠1+∠2的度數(shù)為

.

答案64°解析∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠1=

∠ABC,∠2=

∠ACB,又∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴2∠1+2∠2=180°-∠A=128°,∴∠1+∠2=64°.23.(2017陜西,12A,3分)如圖,在△ABC中,BD2724.(2017河北,17,3分)如圖,A,B兩點被池塘隔開,不能直接測量其距離.于是,小明在岸邊選一點C,連接CA,

CB,分別延長到點M,N,使AM=AC,BN=BC,測得MN=200m,則A,B間的距離為

m.

答案100解析∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位線,∴AB=

MN,∵MN=200m,∴AB=100m.24.(2017河北,17,3分)如圖,A,B兩點被池塘隔開2825.(2017河南,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=

+1,點M,N分別是邊BC,AB上的動點,沿MN所在的直線折疊∠B,使點B的對應點B'

落在邊AC上.若△MB'C為直角三角形,則BM的長為

.

答案

或1解析

在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)當∠MB'C=90°時,∠B'MC=∠C=45°.設(shè)BM=x,則B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=

x,∴

x+x=

+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如圖,當∠B'MC=90°時,點B'與點A重合,此時BM=B'M=

BC=

.綜上所述,BM的長為1或

.25.(2017河南,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠2926.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系;(2)求證:△ABC的內(nèi)角和等于180°;(3)若

=

,求證:△ABC是直角三角形.

26.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,在△ABC30解析(1)∠C>∠A+∠B.(2)證明:如圖,過點B作直線DE∥AC,∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBE,又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°,∴∠A+∠ABC+∠C=180°,∴△ABC的內(nèi)角和等于180°.(3)證明:原式可變形為

=

,∴(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是以∠B為直角的直角三角形.解析(1)∠C>∠A+∠B.(3)證明:原式可變形為?=?31考點二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是

()A.∠A=∠D

B.∠ACB=∠DBCC.AC=DB

D.AB=DC答案

C根據(jù)題中已有條件,分別添加∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,

ASA,SAS定理,能推出△ABC≌△DCB,故選項A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定

理,不能推出△ABC≌△DCB,選項C符合題意.故選C.考點二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已322.(2015浙江紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點A與∠PRQ

的頂點R重合,調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過點A,C畫一條射線AE,AE就是∠PRQ的平分線.

此角平分儀的畫圖原理是:根據(jù)儀器結(jié)構(gòu),可得△ABC≌△ADC,這樣就有∠QAE=∠PAE.則說明這兩個三角

形全等的依據(jù)是

()

A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案

D因為在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故選D.2.(2015浙江紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個角平分儀333.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,12,3分)下面三個命題:①底邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等;②兩邊及其

中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等;③斜邊和斜邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.其

中正確的命題的序號為

.答案①②解析等腰三角形的頂角相等,則它們的底角也相等,又因為底邊對應相等,所以由AAS或ASA判定兩等腰

三角形全等,命題①正確;先由SSS證明兩三角形中線同側(cè)的三角形全等,得兩邊的夾角對應相等,再由SAS

證得原兩三角形全等,命題②正確;直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,所以僅有斜邊相等不能證得

兩個直角三角形全等,命題③錯誤.故正確的命題是①②.3.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,12,3分)下面三個命題:①底344.(2019四川成都,12,4分)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E都在邊BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,則CE的長為

.

答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴CE=BD=9.4.(2019四川成都,12,4分)如圖,在△ABC中,AB355.(2017新疆,15,5分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,對角線AC,BD相交于點O.下列結(jié)論中:

①∠ABC=∠ADC;②AC與BD互相平分;③AC,BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角;④四邊形ABCD的面積S=

AC·BD.正確的是

.(填寫所有正確結(jié)論的序號)答案①④5.(2017新疆,15,5分)如圖,在四邊形ABCD中,A36解析①在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC,①正確.②∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,在△ABO和△ADO中,

∴△ABO≌△ADO.同理,△CBO≌△CDO.∴OB=OD,∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠DOC=90°,∴AC⊥BD,AO與OC不一定相等,∴②不正確.③∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,∵∠ABD和∠CBD不一定相等,∴③不正確.④∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=

BD·AO+

BD·CO=

BD·(AO+CO)=

AC·BD,④正確.解題關(guān)鍵掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解析①在△ABC和△ADC中,∵∠ABD和∠CBD不一定相376.(2019遼寧大連,19,9分)如圖,點E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求證:AF=DE.

證明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.6.(2019遼寧大連,19,9分)如圖,點E,F在BC上,387.(2019福建,18,8分)如圖,點E,F分別在矩形ABCD的邊AB,CD上,且DF=BE.求證:AF=CE.

證明本小題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查推理能力,滿分8分.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=CB.在△ADF和△CBE中,

∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE.7.(2019福建,18,8分)如圖,點E,F分別在矩形AB398.(2019河南,17(1),5分)如圖,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°.以AB為直徑的半圓O交AC于點D,點E是

上不與點B,D重合的任意一點,連接AE交BD于點F,連接BE并延長交AC于點G.求證:△ADF≌△BDG.

證明∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠C=45°.∵AB為半圓O的直徑,∴∠ADF=∠BDG=90°.∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.

(3分)∵∠DAF和∠DBG都是

所對的圓周角,∴∠DAF=∠DBG.∴△ADF≌△BDG.

(5分)8.(2019河南,17(1),5分)如圖,在△ABC中,B409.(2019河北,23,9分)如圖,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°.邊AD與邊BC交于點P(不與點

B,C重合),點B,E在AD異側(cè).I為△APC的內(nèi)心.(1)求證:∠BAD=∠CAE;(2)設(shè)AP=x,請用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)當AB⊥AC時,∠AIC的取值范圍為m°<∠AIC<n°,分別直接寫出m,n的值.

備用圖9.(2019河北,23,9分)如圖,△ABC和△ADE中,41解析(1)證明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△ABC≌△ADE.

(3分)∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.∴∠BAD=∠CAE.

(4分)(2)PD=6-x.

(5分)如圖,當AD⊥BC時,x最小,PD最大.∵∠B=30°,AB=6,∴x=

AB=

×6=3.∴PD的最大值為3.

(7分)(3)m=105,n=150.

(9分)提示:根據(jù)I為△APC的內(nèi)心可得∠IAC=

∠PAC,∠ACI=

∠ACP,所以∠AIC=180°-

∠PAC-

∠ACP=90°+

∠APC,所以∠AIC的大小取決于∠APC的大小.假設(shè)點P與點B重合,此時∠AIC=90°+

∠B=105°,隨著點P接近點C,∠APC的最大值接近于120°,假設(shè)∠APC=120°,此時∠AIC=90°+

×120°=150°,即105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.思路分析(1)根據(jù)SAS可證明△ABC≌△ADE,得出∠BAC=∠DAE,進而可得∠BAD=∠CAE;(2)易得PD=6-x,根據(jù)x的取值判斷當AP最短(AD⊥BC)時,PD取得最大值;(3)根據(jù)I為△APC的內(nèi)心易知∠AIC=90°+

∠APC,可得∠AIC的大小取決于∠APC的大小.根據(jù)30°<∠APC<120°進而確定105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.解析(1)證明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△4210.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求證:BC=DE.

證明∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,

(1分)在△ABC和△ADE中,

(3分)∴△ABC≌△ADE(ASA),

(5分)∴BC=DE.

(6分)(其他證法參照此標準給分)10.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在△ABC和△A4311.(2018陜西,18,5分)如圖,AB∥CD,E、F分別為AB、CD上的點,且EC∥BF,連接AD,分別與EC、BF相交于

點G、H.若AB=CD,求證:AG=DH.證明∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.

(2分)∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG,∴AH=DG,∴AG=DH.

(5分)思路分析首先利用平行線的性質(zhì)得出∠A=∠D,∠BHA=∠CGD,進而判定△ABH≌△DCG,最后根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)及等量減等量差相等,得出結(jié)果.歸納總結(jié)全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根據(jù)已知條件恰當選擇判定定理.①

當已知兩邊對應相等時,可考慮證夾角相等或第三邊相等.②當已知兩角對應相等時可考慮證夾邊相等或

一角對邊相等.③當已知角及鄰邊對應相等時可選用SAS、ASA或AAS.11.(2018陜西,18,5分)如圖,AB∥CD,E、F分4412.(2018吉林,16,5分)如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,且BE=CF.求證:△ABE≌△BCF.

證明在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C=90°.

(2分)又BE=CF,

(3分)∴△ABE≌△BCF.

(5分)12.(2018吉林,16,5分)如圖,在正方形ABCD中,4513.(2018河北,23,9分)如圖,∠A=∠B=50°,P為AB中點,點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一點,連接MP,

并使MP的延長線交射線BD于點N,設(shè)∠BPN=α.(1)求證:△APM≌△BPN;(2)當MN=2BN時,求α的度數(shù);(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍.

13.(2018河北,23,9分)如圖,∠A=∠B=50°,46解析(1)證明:∵P為AB中點,∴PA=PB.又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN,∵MN=2BN,∴PN=BN,∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.詳解:∵△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,∴△BPN是銳角三角形,∴∠BPN和∠BNP都為銳角,又∵∠B=50°,∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.思路分析(1)根據(jù)ASA可證明:△APM≌△BPN;(2)根據(jù)△APM≌△BPN得MN=2PN,結(jié)合MN=2BN得出PN=BN,由等邊對等角可得結(jié)果;(3)只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,根據(jù)∠BPN和∠BNP都為銳角及∠B=50°可得α的取值范圍.解析(1)證明:∵P為AB中點,∴PA=PB.思路分析(4714.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接AE、

BD交于點O.AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.(1)如圖1,求證:AE=BD;(2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.圖2圖1解析(1)證明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.14.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:△ACB和△4815.(2016河北,21,9分)如圖,點B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,

BF=EC.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.解析(1)證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

(3分)又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.

(5分)(2)AB∥DE,AC∥DF.

(7分)理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.

(9分)15.(2016河北,21,9分)如圖,點B,F,C,E在直49考點一三角形的相關(guān)概念與性質(zhì)1.(2018北京門頭溝一模,1)如圖所示,有一條線段是△ABC(AB>AC)的中線,該線段是

()A.線段GH

B.線段ADC.線段AE

D.線段AF答案

B通過觀察可知,點D為線段BC的中點,則線段AD符合題意.故選B.考點一三角形的相關(guān)概念與性質(zhì)1.(2018北京門頭溝一模,502.(2019北京西城一模,9)如圖,在線段AD,AE,AF中,△ABC的高是線段

.

答案

AF解析因為AF⊥BC,所以△ABC的高是線段AF.2.(2019北京西城一模,9)如圖,在線段AD,AE,AF513.(2019北京密云一模,9)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則線段AB和CD的長度關(guān)系為:AB

CD(填

“>”“<”或“=”).

答案<解析設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長為1,由勾股定理可得,AB=

,CD=

,

<

,即AB<CD.3.(2019北京密云一模,9)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,524.(2017北京豐臺一模,14)如圖,小量角器的0°刻度線在大量角器的0°刻度線上,且小量角器的中心在大量角

器的外緣邊上.如果它們外緣邊上的公共點P在大量角器上對應的度數(shù)為40°,那么在小量角器上對應的度

數(shù)為

.(只考慮小于90°的角度)

答案70°解析由題意可知,點P和兩個量角器的中心組成一個等腰三角形,所以小量角器上對應的度數(shù)為(180°-40°)÷2=70°.4.(2017北京豐臺一模,14)如圖,小量角器的0°刻度線535.(2018北京海淀一模,19)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,連接CD,過點B作CD的平行線EF,求證:

BC平分∠ABF.

證明∵∠ACB=90°,D為AB的中點,∴CD=

AB=BD,∴∠ABC=∠DCB.∵DC∥EF,∴∠CBF=∠DCB,∴∠CBF=∠ABC,∴BC平分∠ABF.5.(2018北京海淀一模,19)如圖,△ABC中,∠ACB546.(2018北京朝陽一模,19)如圖,在△ACB中,AC=BC,AD為△ACB的高線,CE為△ACB的中線.求證:∠DAB=∠ACE.

證明∵AC=BC,CE為△ACB的中線,∴∠CAB=∠B,CE⊥AB,∴∠CAB+∠ACE=90°,∴∠B+∠ACE=90°.∵AD為△ACB的高線,∴∠D=90°,∴∠DAB+∠B=90°,∴∠DAB=∠ACE.6.(2018北京朝陽一模,19)如圖,在△ACB中,AC=557.(2018北京平谷一模,19)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上一點,EF垂直平分CD,交AC于點E,交BC于

點F,連接DE,求證:DE∥AB.

證明∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵EF垂直平分CD,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴∠EDC=∠B,∴DE∥AB.7.(2018北京平谷一模,19)如圖,在△ABC中,AB=568.(2017北京西城一模,20)如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線交BC于點D,交AB的延長線于點E,連接CE.求證:∠BCE=∠A+∠ACB.證明∵DE垂直平分BC,∴BE=CE.∴∠BCE=∠CBE.∵∠CBE=∠A+∠ACB,∴∠BCE=∠A+∠ACB.8.(2017北京西城一模,20)如圖,在△ABC中,BC的579.(2017北京朝陽二模,20)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,過點C作CE∥AB交AD的延長線于點

E.求證:CE=AB.

證明∵AB=AC,AD是BC邊上的高,∴AD也是∠BAC的平分線,∴∠BAE=∠CAE.∵CE∥AB,∴∠E=∠BAE,∴∠E=∠CAE,∴CE=AC.∵AB=AC,∴CE=AB.9.(2017北京朝陽二模,20)如圖,在△ABC中,AB=58考點二全等三角形1.(2019北京平谷一模,12)如圖,在△ABC中,射線AD交BC于點D,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,請補充一個條件,

使△BED≌△CFD,你補充的條件是

(填出一個即可).

答案答案不唯一,如BD=DC解析由已知條件可知∠BDE=∠CDF,∠BED=∠CFD=90°,所以只需要添加一對邊相等的條件,如BD=CD,

答案不唯一.考點二全等三角形1.(2019北京平谷一模,12)如圖,在592.(2018北京豐臺二模,19)如圖,E,C是線段BF上的兩點,BE=FC,AB∥DE,∠A=∠D,AC=6,求DF的長.

解析∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.∵BE=FC,∴BE+EC=FC+EC,∴BC=EF.又∵∠A=∠D,∴△ABC≌△DEF,∴AC=DF.又∵AC=6,∴DF=6.2.(2018北京豐臺二模,19)如圖,E,C是線段BF上的603.(2018北京豐臺一模,19)如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊的中點,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.求證:DE

=DF.證明連接AD.∵AB=AC,D是BC邊的中點,∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADB=∠ADC=90°,又AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,即AD為∠BAC的平分線.∵DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,∴DE=DF.3.(2018北京豐臺一模,19)如圖,在△ABC中,AB=614.(2017北京海淀一模,19)如圖,在△ABC中,D,E是BC邊上兩點,AD=AE,∠BAD=∠CAE.求證:AB=AC.證明證法一:∵AD=AE,∴∠1=∠2.∵∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAE,∴∠B+∠BAD=∠C+∠CAE.∵∠BAD=∠CAE,∴∠B=∠C.∴AB=AC.證法二:∵AD=AE,∴∠1=∠2.∴180°-∠1=180°-∠2,即∠3=∠4.在△ABD與△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AB=AC.4.(2017北京海淀一模,19)如圖,在△ABC中,D,E625.(2017北京海淀二模,19)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD.請你添加一條線把它分成兩個全等的三

角形,并給出證明.

解析連接AC,則△ABC≌△ADC.證明如下:在△ABC與△ADC中,

∴△ABC≌△ADC.5.(2017北京海淀二模,19)如圖,在四邊形ABCD中,63一、選擇題(每小題2分,共6分)30分鐘40分1.(2019北京門頭溝一模,4)如圖,△ABC為等邊三角形,如果沿圖中虛線剪去∠B,那么∠1+∠2等于

()

A.120°

B.135°

C.240°

D.315°答案

C如圖,∠3+∠4=180°-∠B=120°.∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,∴∠1+∠2=360°-120°=240°.故選C.一、選擇題(每小題2分,共6分)30分鐘1.(2019北京門642.(2018北京海淀一模,1)用三角板作△ABC的邊BC上的高,下列三角板的擺放位置正確的是

()答案

A由高線的定義可知選項A符合題意.故選A.2.(2018北京海淀一模,1)用三角板作△ABC的邊BC上653.(2017北京石景山一模,9)用尺規(guī)作圖法作已知角∠AOB的平分線的步驟如下:①以點O為圓心,任意長為半徑作弧,交OB于點D,交OA于點E;②分別以點D,E為圓心,以大于

DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C;③作射線OC,則射線OC為∠AOB的平分線.由上述作法可得△OCD≌△OCE的依據(jù)是

()

A.SASB.AASC.ASAD.SSS答案

D由作圖可知,OE=OD,EC=DC,∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE(SSS).故選D.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要明確使用圓規(guī)的目的,同時要掌握全等三角形的判定方法.3.(2017北京石景山一模,9)用尺規(guī)作圖法作已知角∠AO66二、填空題(每小題2分,共6分)4.(2019北京順義一模,14)如圖,DE為△ABC的中位線,點F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,則EF的長為

.

答案1解析∵DE為△ABC的中位線,∴DE=

BC=4.∵AB=6,∠AFB=90°,∴DF=

AB=3.∴EF=DE-DF=1.二、填空題(每小題2分,共6分)答案1解析∵DE為△AB675.(2018北京東城一模,13)含30°角的直角三角板與直線l1,l2的位置關(guān)系如圖所示,已知l1∥l2,∠1=60°.以下三

個結(jié)論中正確的是

(只填序號).①AC=2BC;②△BCD為正三角形;③AD=BD.

答案②③解析由l1∥l2,∠1=60°,可得∠CDB=60°,又∠CBD=60°,所以△BCD為正三角形;∠ACD=∠A=30°,所以AD=

CD=BD.所以正確的結(jié)論是②③.5.(2018北京東城一模,13)含30°角的直角三角板與直686.(2018北京門頭溝一模,10)如圖,在5×5的正方形(每個小正方形的邊長均為1)網(wǎng)格中,格點上有A、B、C、D、E五個點,如果要求連接兩個點之后的線段的長度大于3且小于4,則可以連接

.(寫出一個答案即可)答案

AD(答案不唯一)解析根據(jù)勾股定理計算兩點之間的距離d,滿足3<d<4即可,如AD、BD等,答案不唯一.6.(2018北京門頭溝一模,10)如圖,在5×5的正方形(69三、解答題(共28分)7.(2018北京東城一模,19)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D.BF平分∠ABC,交AD于點E,交AC于

點F.求證:AE=AF.證明∵∠BAC=90°,∴∠FBA+∠AFB=90°.∵AD⊥BC,∴∠DBE+∠DEB=90°.∵BF平分∠ABC,∴∠DBE=∠FBA,∴∠AFB=∠DEB,又∵∠DEB=∠FEA,∴∠AFB=∠FEA,∴AE=AF.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要借助等角的余角相等,通過等量代換解決.三、解答題(共28分)證明∵∠BAC=90°,∴∠FBA+708.(2017北京東城一模,20)如圖,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分別以點A和點C為圓心,大于

AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點D,連接AD,求∠BAD的度數(shù).解析由題意可得:MN所在直線是AC的垂直平分線,則AD=DC.∴∠C=∠DAC.∵∠C=30°,∴∠DAC=30°.∵∠B=55°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=95°.∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°.8.(2017北京東城一模,20)如圖,在△ABC中,∠B=719.(2019北京石景山二模,21)如圖,AB平分∠CAD,∠ACB+∠ADB=180°.(1)求證:BC=BD;(2)若BD=10,cos∠ADB=

,求AD-AC的值.

解析(1)證明:在AD上截取AE,使得AE=AC,連接BE.∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠EAB.∵AB=AB,∴△ACB≌△AEB,∴BC=BE,∠ACB=∠AEB.∵∠ACB+∠ADB=180°,∠AEB+∠BED=180°,∴∠ADB=∠BED,∴BE=BD.∴BC=BD.(2)作BF⊥AD于點F,由(1)知BE=BD,∴EF=DF,在Rt△BFD中,∵BD=10,cos∠ADB=

,∴DF=4,∴DE=8,∴AD-AC=AD-AE=DE=8.9.(2019北京石景山二模,21)如圖,AB平分∠CAD,7210.(2017北京順義一模,23)已知:如圖,四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=AC=AD,∠DAC=∠ABC.(1)求證:BD平分∠ABC;(