第05講空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（知識解讀真題演練課后鞏固）

第05講空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1.理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義，會用向量的坐標(biāo)表達空間向量的相關(guān)運算.2.會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明.1空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}，以點O為原點，分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.(2)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)2空間向量的直角坐標(biāo)運算律①若a=(則aλaa||b?a⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中，AB⑤兩點間的距離公式:若A(則|或d【題型1空間向量坐標(biāo)運算】【典題】（1）已知：a=(x,4,1)，b=(?2,y,?1)，c=(3,?2,z)，a(1)a,b,c；(2)【解析】(1)∵a//b，∴故a=(2,4,1),又因為b⊥c，所以b?c=0故c=(2)由(1)可得a+設(shè)向量a+c與b+則cos?θ=（2）已知空間四點A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面內(nèi)，則實數(shù)λ=．【解析】∵空間四點A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)∴AD即(－1,1,λ－1)=m(－1,3,2)+n(－2,3,0)=(－m－2n,3m+3n,2m)，∴?m?2n=?13m+3n=1鞏固練習(xí)1.空間點A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，則|AB|【答案】2【解析】∵空間點A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3∴A是以O(shè)為球心，1∵B(2，∴|AB|的最小值為：|OB|－||OA|=3－1=22.已知向量a=(2,?1,3),b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實數(shù)t【答案】(?【解析】∵向量a=(2,?1,3),∴&a?b=?8?2+3t<0∴實數(shù)t的取值范圍為(?∞3.若向量a=(7,λ,8),b=(1,?1,2),c=(2,3,1)，且【答案】3【解析】向量a=(7,λ,8),b=(1,?1,2),所以存在兩個實數(shù)x、y使得a=x即7=x+2yλ=?x+3y8=2x+y，解得x=3y=24.已知AB=(2,?1,3),AC=(?1,4,?2),AD=(5,?6,λ)，若A,B,C,D【答案】8【解析】∵A,B,C,D四點共面，∴存在實數(shù)m,n，使得AD=m∴&2m?n=5&?m+4n=?6&3m?2n=λ【題型2】建立空間坐標(biāo)系處理幾何問題【典題】（1）△ABC的三個頂點分別是A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3,?1)，則AC【解析】方法一要求高BD，則只需求點D坐標(biāo)，可采取待定系數(shù)法.設(shè)點D(x、y、z)，則BD=x?5,y+6,z?2，AD由垂足D滿足的條件BD?∴BD∴|BD方法二等積法(思考：因為三個點A、B、C確定了，則可求出?ABC的面積SABC，繼而可求高BD=∵A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3,?1)，∴cosA=AC∴S∵SABC=【點撥】我們利用空間向量的知識也是可以求出幾何中常見的量：線段長度(兩點距離公式)、角度(數(shù)量積)、面積等.（2）如圖，BC=4，原點O是BC的中點，點A(32,12,0)，點D在平面yOz上，且【解析】∵點D在平面yoz上，∴點D的橫坐標(biāo)為0過點D作DH⊥BC，依題意易得DH=4sin30°sin即點D的豎坐標(biāo)為z=3，縱坐標(biāo)為∴|AD|=(【點撥】①在空間坐標(biāo)系中確定點的坐標(biāo)是個硬骨頭，基本方法是：(1)根據(jù)題意求出各線段長度，比如CD、BD；(2)確定空間點坐標(biāo)的意義，比如點D的豎坐標(biāo)與點D到平面xOy的距離有關(guān)；(3)把空間問題平面化；(4)留意D坐標(biāo)的正負(fù).②兩點間的距離公式:若A(x則|AB（3）如圖，直角三角形OAC所在平面與平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC為直角，OC=4，B為OC的中點，且∠ABC=2π3，平面α內(nèi)一動點P滿足∠PAB=π3【解析】(題中垂直關(guān)系較多，較容易建系描出各點坐標(biāo)，進而數(shù)量積OP?CP∵平面OAC⊥平面α，∴作AO'⊥OC，則AO'⊥平面α，過O'在平面α內(nèi)作OC的垂線O'X，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O'－XYZ，∵∠OAC為直角，OC=4，B為OC的中點，且∴BC=AB=OB=2，∠ABO=O'A=3，O'B=1，OO'=1，O'C=3則O(0,?1,0)，A(0,0,3)，B(0,1,0)，設(shè)P(x,y,0)，(點P是動點，在坐標(biāo)系中引入變量x，y，再由限制條件∠PAB=π3得到x，則AP=(x,y,?3)∴AP∵∠PAB=∴AP∴y+3=x2+∴OP又∵x∴y≥?1，(點P是有固定軌跡的，即y是有范圍的，討論函數(shù)性質(zhì)也要優(yōu)先討論定義域)∴當(dāng)y=?1時，OP?CP的最小值為∴OP故答案為[0,+∞)．【點撥】①由平面OAC⊥平面α可想到建立空間直角坐標(biāo)系的方法，根據(jù)?OAC已知條件可求其他角、邊的大小，從而得到各點的坐標(biāo)；②而OP?CP由點③從數(shù)量積坐標(biāo)運算的角度得AP?AB=y+3，從數(shù)量積的定義AP?AB④由坐標(biāo)運算易求OP?CP最小值化為⑤本題若想用非坐標(biāo)的方法解答：OP?而得不到點P的軌跡，較難求出BP2鞏固練習(xí)1.如圖三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1=60°，BC1【答案】(?3【解析】三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BBC1交B1C于點O，AO⊥側(cè)面如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，過A1作A1E⊥平面BCC1B1則B1E∥OC1，∴點A1的坐標(biāo)為(?故選：B．2.已知點A(1,?2,11)、B(4,2,3)，C(6,?1,4)，則△ABC中角C的大小是．【答案】90°【解析】∵A(1,－2,11)、B(4,2,3)，C(6,－1,4)，∴|AC→|BC又∵∴CA可得cos∵∠ACB∈(0°,180°)∴∠ACB=90°故答案為90°3.已知空間三點A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(?2,3,6)，則以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【答案】65【解析】AB∴AB|AB|=2∴cos∴sin∠BAC=1?co∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=|AB故答案為：654.已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在點P，使得I1=I2 C．對任意的點P，有I1>I2 【答案】C【解析】如圖所示建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，以B1A1為x軸，B1C1為y軸，B1B為z軸，B1為坐標(biāo)原點，由題意則B(0,0,2)所以AB=(?4,0,0)，AP=(x?4,y,z?2)，AC1=(?4,3,?2)因為滿足B1P=1，所以x2+y2∴I∴I∴II1－I2=－4(x－4)－3y=16－4x－3y>0I1－II2－I故選：C．5.如圖，已知點P在正方體ABCD－A'B'C'D'的對角線BD'上，∠PDC=60°．設(shè)D'P=λD'B，則λ的值為【答案】2【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD'為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點P在正方體ABCD－A'B'C'D'的對角線BD'上，且∠PDA=60°，∵D'P→=λ則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D'(0,0,1)，B(1,1,0)，P(λ,λ,1－λ)，∴DP→=(λ,λ,1－λ)∴cos<DC由0<λ<1，解得λ=2故選：C．6.三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點P，Q分別是線段BC和OA上移動，且滿足BP≤【答案】[【解析】如圖所示，不妨取OA=2．則B(0,2,0)，C(0,0,2)．設(shè)P(0，y，z)，BP→=λBC則(0,y?2,z)=λ(0,?2,2)=(0,?2λ,2λ)，∴y?2=?2λz=2λ解得設(shè)Q(m,0,0)，(12≤m≤1)又OB→=(0,2,0)，①當(dāng)點P取B(0,1,0)時，取Q(12,0,0)時，m=則cos＜取Q(1,0,0)時，m=1，λ=0，cos＜②當(dāng)點P取B(0,12,12)時，取則cos＜取Q(1,0,0)時，m=1，λ=12，綜上可得：PQ和OB所成角余弦值的取值范圍是[6一、單選題1．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點、，當(dāng)時，截面的面積為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共面確定點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.【詳解】由題意，平面，四邊形為正方形，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，設(shè)，，則，又，，所以，則，由題意，四點共面，所以，所以，解得，所以，，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以截面的面積為.故選：A二、多選題2．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，點，分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號是（

）

A．的最小值為2B．四面體的體積為C．有且僅有一條直線與垂直D．存在點，使為等邊三角形【答案】ABD【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A；由線面平行的性質(zhì)判斷B；舉反例判斷C；設(shè)，，由等邊三角形三邊相等，判斷D．【詳解】對于A：因為是正方體，所以平面，平面，又因為平面，平面，所以，，即是與的公垂線段，因為公垂線段是異面直線上兩點間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時，最短為2，故A正確；對于B：因為是正方體，所以平面平面，且平面，所以平面，可知，當(dāng)點在上運動時，點到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點在上運動時，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以B正確；對于C：當(dāng)分別與重合時，；當(dāng)為中點，與重合時，，所以錯誤；對于D：如圖以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，因為為等邊三角形，由，得，得，即，由，得，則，即，解得或，即或，故D正確；故選：ABD．

三、解答題3．（2005·湖北·高考真題）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．（1）求cos，的值；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距離．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出的值．（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，利用向量法列方程組求出N（，0，1），由此能求了N到AB和AP的距離．【詳解】（1）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形側(cè)棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，2），B（，0，0），（），（），∴．（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，D（0，1，0），E（0，，1），（﹣a，，1﹣c），（0，0，2），（），∴，解得a，c＝1，∴N（，0，1），∴N到AB的距離為1，N到AP的距離為．4．（2000·上?！じ呖颊骖}）如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的模長公式計算即可；（2）利用坐標(biāo)運算計算cos〈，〉的值；（3）通過計算·＝0可得答案.【詳解】（1）如圖，以點C作為坐標(biāo)原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由題意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由題意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.5．（2008·江蘇·高考真題）記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當(dāng)為鈍角時，求的取值范圍．【答案】【詳解】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則相關(guān)點的坐標(biāo)分別為：???，則.由，得，而；又.由，化簡得，解得.四、填空題6．（2010·廣東·高考真題）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積表示求解.【詳解】解：，解得故答案為：7．（2008·海南·高考真題）已知向量，且，則____________．【答案】3【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.8．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）空間向量的單位向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】單位向量只需根據(jù)即可求出.【詳解】，，.故答案為：9．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知向量，向量，則與的夾角的大小為__________.【答案】【分析】利用向量夾角的坐標(biāo)表示來求解.【詳解】因為，，所以，因為，所以.故答案為：.10．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知空間向量，，，若，則______．【答案】【詳解】，，，，解得，故答案為：.11．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┤忮F中，平面，，，點在三棱錐外接球的球面上，且，則的最小值為___________.【答案】/【分析】本題距離最小時，點的位置不好確定，可考慮用空間直角坐標(biāo)系來解決問題.【詳解】如圖所示：分別取、的中點、，連接、,則，由題意知平面,所以，.因為,所以，即、、兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，斜邊，易知為三棱錐外接球球心，且半徑.設(shè)點，則.，由題意，得，可設(shè).故答案為：.【點睛】思路點睛：直角模型找外接球球心可考慮斜邊中點.空間中的角可以轉(zhuǎn)化為向量夾角進而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系.位置關(guān)系中的最值問題的常見思路之一為轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)或基本不等式求最值.一、單選題1．（2022秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）已知點，，，若，則的值為（

）A．2 B． C．0或 D．0或2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0即可.【詳解】由題知，因為，所以，解得或2.故選：D.2．（2022秋·黑龍江伊春·高二?？茧A段練習(xí)）向量，，已知，則m的值是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)關(guān)系求解即可.【詳解】解：向量，，已知，則，所以，解得.故選：D.3．（2022秋·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量與向量垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量垂直數(shù)量積為0及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為向量與向量垂直，所以解得，故選：A4．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，設(shè)，連接，由線面平行的性質(zhì)可得出，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得出點的坐標(biāo).【詳解】如圖，設(shè)點的坐標(biāo)為，設(shè)，連接，則，又，，則，，平面，平面，平面平面，則，即，所以，，解得，所以，點的坐標(biāo)為，故選：B.5．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量坐標(biāo)運算法則直接求解．【詳解】向量，，故錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確．故選：D．6．（2022·高二課時練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，向量，點Q在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出點Q坐標(biāo)，再求出，的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因點Q在直線上運動，則，有，于是有，因此，，，于是得，則當(dāng)時，，此時，點Q，所以當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為.故選：C二、多選題7．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)進行運算，求向量的模長，判斷關(guān)系.【詳解】，A項正確；設(shè)，即，解得，，即，所以，，共面，B項正確；，所以，C項正確；，D項錯誤.故選：ABC.8．（2021·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體中，點為棱的中點，點是線段上的動點，，則下列選項正確的是（

）A．直線與是異面直線B．三棱錐的體積為C．過點作平面的垂線，與平面交與點，若，則D．點到平面的距離是一個常數(shù)【答案】ACD【分析】選項A.取的中點,可得平面，求出其體積可判斷；選項C.取的中點，設(shè)，可得，建立空間坐標(biāo)系，證明平面平面，從而可判斷；選項D.由選項A的解答可知，平面，點到平面的距離等于直線上任意一點到平面的距離，從而可判斷.【詳解】選項A.取的中點，連接,則又，所以,所以四點共面.又平面,平面,則平面由,所以平面，又平面所以直線與是異面直線，故A正確選項B.,故B不正確.選項C.在正方體中，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.取的中點，連接,則,設(shè)平面的法向量,則,即取設(shè)平面的法向量,則,即取由，可得，即平面平面，設(shè),連接,且平面平面此時由與相似，由，可得，即此時點滿足.過點在平面內(nèi)作,則平面由,則與不平行，所以與一定相交，設(shè)為.又平面，則平面.所以過點作平面的垂線，與平面交與點，若，則所以選項C正確.選項D.設(shè)點到平面的距離為.由選項A的解答可知，平面所以點到平面的距離等于直線上任意一點到平面的距離.則點到平面的距離等于點到平面的距離.,即,所以由在正方體中，由題意，為給定三角形，所以，為定值，故點到平面的距離為常數(shù).故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查異面直線的判斷，點到面的距離的求解和體積的求解，線面和面面垂直的判斷和證明，解答本題的關(guān)鍵是取的中點，設(shè)，可得，建立空間坐標(biāo)系，證明平面平面，從而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可判斷選項C，屬于中檔題.三、填空題9．（2021秋·北京昌平·高二?？计谥校┮阎蛄?若，則實數(shù)______;【答案】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示計算．【詳解】因為，所以，．故答案為：10．（2022秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期中）已知向量，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】由題意可得，則，解得.故答案為：.11．（2022·高二課時練習(xí)）已知平面平面，且，在l上有兩點A，B，線段，線段，并且，，，，，則______．【答案】26【分析】推導(dǎo)出=，從而=（）2=，由此能出CD．【詳解】∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有兩點A，B，線段AC?α，線段BD?β，AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案為26．【點睛】本題考查兩點間距離的求法，考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在長方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點E，使得，則實數(shù)t的取值范