高考數(shù)學(xué)天津卷3年（2023-2023）真題分類匯編-三角函數(shù)與解三角形、等式與不等式、數(shù)列 (含解析)

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高考數(shù)學(xué)天津卷3年（2023-2023）真題分類匯編-三角函數(shù)與解三角形、等式與不等式、數(shù)列

一、單選題

1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（）

A．B．

C．D．

2．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

A．B．

C．D．

3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①的最小正周期為；

②在上單調(diào)遞增；

③當時，的取值范圍為；

④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（）

A．3B．18C．54D．152

二、雙空題

5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為；若，則的最大值為．

三、解答題

6．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求．

7．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．

（I）求a的值；

（II）求的值；

（III）求的值．

9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是等差數(shù)列，．

(1)求的通項公式和．

(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．

10．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．

（I）求和的通項公式；

（II）記，

（i）證明是等比數(shù)列；

（ii）證明

11．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．

(1)求與的通項公式；

(2)設(shè)的前n項和為，求證：；

(3)求．

四、填空題

12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為．

參考答案：

1．B

【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.

【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：

A選項中，B選項中，

C選項中，D選項中，

排除選項CD，

對于A選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，

對于B選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，

故選：B.

2．D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，

由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；

故選：D

3．A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．

【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；

令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；

由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．

故選：A．

4．C

【分析】由題意對所給的遞推關(guān)系式進行賦值，得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組確定首項和公比的值，然后結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得的值.

【詳解】由題意可得：當時，，即，①

當時，，即，②

聯(lián)立①②可得，則.

故選：C.

5．

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，

兩式相加，可得到，

即，則；

空2：因為，則，可得，

得到，

即，即.

于是.

記，

則，

在中，根據(jù)余弦定理：，

于是，

由和基本不等式，，

故，當且僅當取得等號，

則時，有最大值.

故答案為：；.

6．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；

（2）根據(jù)余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．

【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；

（2）由余弦定理可得，，即，

解得：或（舍去）．

（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，

所以都為銳角，因此，，

故．

7．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；

（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．

【詳解】（1）因為，即，而，代入得，解得：．

（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，

故．

8．（I）；（II）；（III）

【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；

（II）由余弦定理即可計算；

（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，

，；

（II）由余弦定理可得；

（III），，

，，

所以.

9．(1)，；

(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.

【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.

(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當時，，

取，當時，，取，即可證得題中的不等式；

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.

【詳解】（1）由題意可得，解得，

則數(shù)列的通項公式為，

求和得

.

（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，

取，則，即，

當時，，

取，此時，

據(jù)此可得，

綜上可得：.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，

則數(shù)列的公比滿足，

當時，，所以，

所以，即，

當時，，所以，

所以數(shù)列的通項公式為，

其前項和為：.

【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.

10．（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；

（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.

【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．

所以，所以，

所以；

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

所以，解得（負值舍去），

所以；

（II）（i）由題意，，

所以，

所以，且，

所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（ii）由題意知，，

所以，

所以，

設(shè)，

則，

兩式相減得，

所以，

所以.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.

11．(1)

(2)證明見解析

(3)

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

（3）先求得，進而由并項求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.

【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，

由可得（舍去），

所以；

（2）證明：因為所以要證，