上海市東中學(xué)高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

上海市東中學(xué)高一數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線分別為AC，BD，且，點(diǎn)F是BD上靠近D的四等分點(diǎn)，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由題意，，，又由，，代入化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】由題意，因?yàn)椋尹c(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理、向量的三角形法則，其中解答中熟記平面向量的基本定理和向量的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.如果不等式解集為?，那么

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿(mǎn)液體，經(jīng)過(guò)3分鐘漏完．已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的高度，則H與下落時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】利用特殊值法，圓柱液面上升速度是常量，表示圓錐漏斗中液體單位時(shí)間內(nèi)落下的體積相同，當(dāng)時(shí)間取1.5分鐘時(shí)，液面下降高度與漏斗高度的比較．【解答】解：由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當(dāng)時(shí)間取t時(shí)，漏斗中液面下落的高度不會(huì)達(dá)到漏斗高度的，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)的圖象可得結(jié)果．故選B4.四個(gè)物體沿同一方向同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，假設(shè)其經(jīng)過(guò)的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式分別是，，，，如果運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，則運(yùn)動(dòng)在最前面的物體一定是 A.

B.

C.

D. 參考答案：D5.函數(shù)在區(qū)間(，)上的圖象為

(

)(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略6.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，判斷出函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】由于函數(shù)定義域?yàn)?，在定義域上是增函數(shù)，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知f(x)在有唯一零點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7.若函數(shù)f（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）內(nèi)，那么下列命題中正確的是(

)A．f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn) B．f（x）在區(qū)間（3，4）內(nèi)有零點(diǎn)C．f（x）在區(qū)間（3，16）內(nèi)有零點(diǎn) D．f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)沒(méi)零點(diǎn)參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由已知函數(shù)f（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）內(nèi)，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）和（4，16）必然無(wú)零點(diǎn)，據(jù)此可用反證法證明．解答：解：下面用反證法證明f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)沒(méi)零點(diǎn)．假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)，由已知函數(shù)f（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）內(nèi)，這也就是說(shuō)函數(shù)f（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)也在區(qū)間（2，4）內(nèi)，再由假設(shè)得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）和（2，4）內(nèi)分別各有一個(gè)零點(diǎn)，由此得到函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)．這與已知函數(shù)f（x）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）內(nèi)矛盾．故假設(shè)不成立，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)沒(méi)零點(diǎn)．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解已知條件和使用反證法是解題的關(guān)鍵8.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（

）．－101230．3712．727．3920．0912345A．（－1，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）參考答案：C9.如圖，位于A處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營(yíng)救．在A處南偏西30°且相距20海里的C處有一救援船，其速度為海里小時(shí)，則該船到求助處B的時(shí)間為（）分鐘．A.24 B.36 C.48 D.60參考答案：A【分析】利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出時(shí)間即可.【詳解】由題意可知：，運(yùn)用余弦定理可知：該船到求助處的時(shí)間，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10.等比數(shù)列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，則a99＋a100等于（

）

A．

B．()9

C．

D．()10參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以點(diǎn)C(-1，2)為圓心且與x軸相切的圓的方程為_(kāi)__________.參考答案：略12.若函數(shù)，則_________；參考答案：略13.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程是 ．參考答案：14.

已知向量夾角為

，且；則參考答案：15.P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α交線段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，則△A′B′C′與△ABC的面積比等于

．參考答案：4：25或4：1【考點(diǎn)】L@：組合幾何體的面積、體積問(wèn)題．【分析】由題意推出PA′：PA的值，得到A′B′：AB的值，求出△A′B′C′與△ABC的面積比即可．【解答】解：由題意畫(huà)出圖形如圖：因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，α交線段PA．PB．PC于A′．B′．C′，若PA′：AA′=2：3，所以A′B′∥AB，∴△PA′B′∽△PABPA′：PA=2：5，A′B′：AB=2：5，同理A′C′∥AC，A′C′：AC=2：5，∠B′A′C′=∠BAC．===．同理如圖（2）=4故答案為：4：25．或4：116.函數(shù)f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定義在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函數(shù)，則=．參考答案：3【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可求a及b的值，然后把a(bǔ)及b的值代入函數(shù)f（x）進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax2+（a﹣2b）x+a﹣1是定義在（﹣a，0）∪（0，2a﹣2）上的偶函數(shù)，∴a=2a﹣2，解得a=2，由f（x）=f（﹣x）得，a﹣2b=0，即b=1，則f（x）=2x2+1．故=．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題中不要漏掉對(duì)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的考慮17.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的一紅消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件12元，周銷(xiāo)售量p（件）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）的關(guān)系，如圖中折線所示，每周各項(xiàng)開(kāi)支合計(jì)為20元． （1）寫(xiě)出周銷(xiāo)售量p（件）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）元的函數(shù)關(guān)系式； （2）寫(xiě)出利潤(rùn)周利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)該消費(fèi)品銷(xiāo)售價(jià)格為多少元時(shí)，周利潤(rùn)最大？并求出最大周利潤(rùn)． 參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的圖象． 【專(zhuān)題】應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象為分段函的圖象，所以應(yīng)求12≤x≤20，與20＜x≤28兩部分的解析式，由圖象上的點(diǎn)分別代入p=ax+b，求出即可； （2）利用周銷(xiāo)售量與利潤(rùn)的積，可得利潤(rùn)周利潤(rùn)y（元）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （3）根據(jù)（2）分段求最值，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)12≤x≤20時(shí)，設(shè)p=ax+b， 則，∴a=﹣2，b=50 ∴p=﹣2x+50， 同理得，當(dāng)20＜x≤28時(shí)，p=﹣x+30， 所以p=； （2）當(dāng)12≤x≤20時(shí)，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620； 當(dāng)20＜x≤28時(shí)，y=（x﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x2+42x﹣380； ∴y=； （3）當(dāng)12≤x≤20時(shí)，y=（x﹣12）（﹣2x+50）=﹣2x2+74x﹣620， ∴x=時(shí)，y取得最大值； 當(dāng)20＜x≤28時(shí)，y=（x﹣12）（﹣x+30）﹣20=﹣x2+42x﹣380， ∴x=21時(shí)，y取得最大值61； ∵＞61， ∴該消費(fèi)品銷(xiāo)售價(jià)格為時(shí)，周利潤(rùn)最大，最大周利潤(rùn)為． 【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合題，難度較大．重點(diǎn)考查了一次函數(shù)圖象和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的問(wèn)題，能夠從圖象上準(zhǔn)確地獲取信息，本題中p與x的關(guān)系是分段的，要注意對(duì)應(yīng)，這是做本題的關(guān)鍵． 19.

.(1).(2),(Ⅰ),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ),實(shí)數(shù)的取值范圍又是多少?

參考答案：20、(1)……(得2分)∴最小正周期……………(得1分)當(dāng)

……(得2分)(2)……………(得1分),∴…………(得2分)(Ⅰ),即

…………………(得2分)(Ⅱ),即

………………(得2分)

20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．(1)若方程f(x)=0在[－1，1]上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若對(duì)任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域?yàn)閰^(qū)間D，是否存在常數(shù)t，使區(qū)間D的長(zhǎng)度為7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：區(qū)間[p，q]的長(zhǎng)度為q－p）．參考答案：(1)：因?yàn)楹瘮?shù)＝x2－4x＋a＋3的對(duì)稱(chēng)軸是x＝2，所以在區(qū)間[－1，1]上是減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[－1，1]上存在零點(diǎn)，則必有：即，解得，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－8，0]．(2)若對(duì)任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)的值域的子集．＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域?yàn)閇－1，3]，下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．①當(dāng)m＝0時(shí)，g(x)＝5－2m為常數(shù)，不符合題意舍去；②當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇5－m，5＋2m]，要使[－1，3][5－m，5＋2m]，需，解得m≥6；③當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇5＋2m，5－m]，要使[－1，3][5＋2m，5－m]，需，解得m≤－3；綜上，m的取值范圍為．(3)由題意知，可得．①當(dāng)t≤0時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，所以f(t)－f(2)＝7－2t即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，所以f(4)－f(2)＝7－2t即4＝7－2t，解得t＝；③當(dāng)2＜t＜時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，所以f(4)－f(t)＝7－2t即t2－6t＋7＝0，解得t＝（舍去）綜上所述，存在常數(shù)t滿(mǎn)足題意，t＝－1或．21.（附加題）（本小題滿(mǎn)分15分）如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).

（1）證明AD⊥D1F;

（2）求AE與D1F所成的角;

（3）證明面AED⊥面A1FD1;

（4）．

參考答案：解法一:（1）∵AC1是正方體，∴AD⊥面DC1.

又D1F面DC1，

∴AD⊥D1F.

（2）取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G，F(xiàn)G.因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F.設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H,則∠AHA1是AE與D1F所成的角，因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，

∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90°,即直線AE與D1F所成角為直角.（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因?yàn)镈1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.

（4）連結(jié)GE，GD1.

∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，∵AA1=2,面積S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=又

解法二：利用用向量求解解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）∵,，得，∴AD⊥D1F;（2）又，得

∴AE與D1F所成的角為90°（3）由題意：，設(shè)平面AED的法向量為，設(shè)平面A1FD1