《互斥事件》 全市一等獎

互斥事件情景切入

1．理解互斥事件、對立事件的定義．2．掌握對立事件的概率計算公式．1．_______________兩個事件稱為互斥事件．如果事件A1，A2，…，An中任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，…，An________．2．設A，B為互斥事件，當事件A，B中至少有一個發(fā)生，我們把這個事件記作________．它是由事件A或B所包含的所有基本事件組成的集合．事件A＋B發(fā)生的概率等于事件A，B分別發(fā)生的概率的______，即__________________．一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝_______________．不能同時發(fā)生的彼此互斥A＋B

和P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)3．兩個互斥事件_______________，則稱這兩個事件為________．事件A的對立事件記為________．4．對立事件A與A必有一個發(fā)生．故A＋A為________．從而P(A＋A)＝________．由此我們得到一個重要公式P(A)＝________．5．對立事件一定是________，互斥事件未必是________．必有一個發(fā)生對立事件A必然事件11－P(A)互斥事件對立事件一、互斥事件

1．互斥事件的定義及理解：(1)定義：事件A與事件B不可能同時發(fā)生．這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件(或稱為互不相容事件)．若A∩B為不可能事件，即為A∩B＝?，那么事件A與事件B互斥．(2)對互斥事件的理解：①A、B互斥是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生．②如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時發(fā)生的概率為0.③與集合類比，可用下圖表示．④推廣：如果事件A1，A2，…，An．中的任何兩個都互斥，就稱事件A1，A2，…，An彼此互斥，從集合角度看，n個事件彼此互斥是指各個事件所含結果的集合彼此不相交．在一次投骰子的試驗中，若C1＝{出現1點}，C2＝{出現2點}，C3＝{出現3點}，C4＝{出現4點}，C5＝{出現5點}，C6＝{出現6點}．則事件C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥2．事件A＋B：(1)事件A＋B表示事件A和B至少有一個發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構成的事件．(2)用集合表示兩個事件A和B的A＋B，如下圖陰影部分所示：

(3)事件A＋B發(fā)生具有三層意思：①事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；③事件A和B同時發(fā)生．(4)性質：A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)．二、對立事件及概率公式1．定義：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫作互為對立事件，事件A的對立事件記作A.2．對對立事件的理解：①事件A與B對立是指事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生．②對立事件是一種特殊的互斥事件，若A與B是對立事件，則A與B互斥且A＋B為必然事件．③從集合角度看，事件A的對立事件是全集中由事件A所含結果組成的集合的補集．如上圖所示．④在一次試驗中，事件A與A只能發(fā)生其中之一，并且也必然發(fā)生其中之一．

3．對立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．

4．對立事件公式使用的前提條件是對立事件，否則不能使用此公式．當一事件的概率直接求解困難時，可考慮求其對立事件的概率，即運用間接法求概率．

5．互斥事件與對立事件的關系：互斥事件和對立事件有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生；而兩個對立的事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生．所以，兩個事件互斥，它們未必對立；反之，兩個事件對立，它們一定互斥．

例1某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.題型一互斥事件與對立事件的判斷

(1)由于事件C“至多訂一種報”中有可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．

(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件．由于事件B發(fā)生可導致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會導致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件．解析：分析：利用互斥事件、對立事件的定義．(3)事件B“至少訂一種報”中可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不互斥．(4)事件B“至少訂一種報”中有這些可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C“至多訂一種報”中有這些可能：“什么也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一種報紙也不訂”只是事件C的一種可能，事件C與事件E有可能同時發(fā)生，故C與E不互斥．規(guī)律總結：

(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，而對立事件不僅不能同時發(fā)生而且必須有一個發(fā)生，故對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件．(2)只要找出各個事件包含的所有的結果，它們之間能不能同時發(fā)生便很容易知道，這樣便可判定兩事件是否互斥．(3)在互斥的前提下，看兩事件中是否必有一個發(fā)生，可判斷是否為對立事件．變式訓練

1．從裝有6個紅球，3個白球的袋中任意取出3個球，判斷下列事件是否為互斥事件，是否為對立事件．(1)“取出2個紅球和1個白球”與“取出1個紅球和2個白球”．(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”．(3)“取出3個紅球”與“取出3個球中至少有1個白球”．(4)“取出3個白球”與“取出3個球中至少有1個白球”．

(1)“取出2個紅球和1個白球”與“取出1個紅球和2個白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能都不發(fā)生，故不是對立事件．(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能都不發(fā)生，故不是對立事件．(3)“取出3個紅球”與“取出3個球中至少1個白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，又必有一個發(fā)生，故是對立事件．解析：

(4)“取出3個白球”與“取出3個球中至少有1個白球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也就不可能是對立事件．

例2向假設的三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，其余兩個各為0.1，只要炸中一個，另兩個也要發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．題型二互斥事件的概率計算分析：軍火庫要發(fā)生爆炸，只要炸彈炸中一個軍火庫即可，因為只投擲了一個炸彈，故炸中第一、第二、第三軍火庫的事件是彼此互斥的．解析：設以A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設D表示軍火庫爆炸這個事件，則有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因為只投擲了一個炸彈，不會同時炸中兩個以上軍火庫，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.解析：設以A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設D表示軍火庫爆炸這個事件，則有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因為只投擲了一個炸彈，不會同時炸中兩個以上軍火庫，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.規(guī)律總結：對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些事件的概率的和．關鍵是確定事件是否互斥、是否對立．變式訓練解析：題型三生活中幾何概型解析：分析：兩互斥事件并的概率，等于兩事件的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；兩對立事件的概率的和為1，即P(A)＋P(A)＝1，故P(A)＝1－P(A)．規(guī)律總結：

(1)“互斥”和“對立”事件很容易搞混．互斥事件是指兩事件不可能同時發(fā)生，對立事件是指互斥的兩事件中必有一個發(fā)生．(2)求復雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對立事件的概率，進而再求所求事件的概率．變式訓練

3．(2014·長沙調研)某商店月收入(單位：元)在下列范圍內的概率如下表所示：月收入[1000，1500)[1500，2000)[2000，2500)[2500，3000)概率0.120.250.160.14(1)求月收入在[1000，2000)(元)范圍內的概率；(2)求月收入在[1500，3000)(元)范圍內的概率；(3)求月收入不在[1000，3000)(元)范圍內的概率．解析：記這個商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)(元)范圍內的事件分別為A，B，C，D，則這4個事件彼此互斥．(1)月收入在[1000，2000)(元)范圍內的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)月收入在[1500，3000)(元)范圍內的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.

(3)P(A＋B＋C＋D)＝1－P(A＋B＋C＋D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.12＋0.25＋0.16＋0.14)＝1－0.67＝0.33.所以，(1)月收入在[1000，2000)(元)范圍內的概率是0.37.(2)月收入在[1500，3000)(元)范圍內的概率是0.55.(3)月收入在[1000，3