新教材人教A版4.2指數(shù)函數(shù)課件（41張）

4.2指數(shù)函數(shù)第四章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).(直觀想象)3.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]當(dāng)有機(jī)體生存時(shí),會(huì)因呼吸、進(jìn)食等不斷地從外界攝入碳14,最終體內(nèi)碳14與碳12的比值會(huì)達(dá)到與環(huán)境一致(該比值基本不變),當(dāng)有機(jī)體死亡后,碳14的攝入停止,之后體中碳14因衰變會(huì)逐漸減少,通過測(cè)定碳14與碳12的比值就可以測(cè)定該生物的死亡年代.問題:已知碳14的半衰期(消耗一半所花費(fèi)的時(shí)間)為5730年,你能用函數(shù)表示出有機(jī)體內(nèi)的碳14與其死亡時(shí)間之間的關(guān)系嗎?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn)一:指數(shù)函數(shù)的概念1.一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù).其中指數(shù)x是自變量,定義域?yàn)镽.2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)指數(shù)冪的系數(shù)是1.名師點(diǎn)析

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),如y=(a2+2)都不是指數(shù)函數(shù),它們的函數(shù)表達(dá)式含有指數(shù)式,應(yīng)將它們看作復(fù)合函數(shù).微思考指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對(duì)某些x值沒有意義,如

無意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二:指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象

a>10<a<1性質(zhì)(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1(4)當(dāng)x<0時(shí),0<y<1;當(dāng)x>0時(shí),y>1(4)當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1(5)在R上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0(5)在R上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大微判斷(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微思考指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>1時(shí),圖象具有上升趨勢(shì),當(dāng)x>0時(shí)底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象“越陡”,函數(shù)值增長(zhǎng)得越快;當(dāng)0<a<1時(shí),圖象具有下降趨勢(shì),且x<0時(shí),底數(shù)a的值越小,函數(shù)減少得越快.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一指數(shù)函數(shù)的概念反思感悟

指數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義,其特征如下:變式訓(xùn)練1下列以x為自變量的函數(shù)中,是指數(shù)函數(shù)的為(

)A.y=(π-1)x

B.y=(1-π)xC.y=3x+1

D.y=x2答案

A解析

π-1為正實(shí)數(shù),A是指數(shù)函數(shù);B式中,1-π<0,B不是指數(shù)函數(shù);C式中,指數(shù)位置不是x,C不是指數(shù)函數(shù);D式中,自變量不在指數(shù)上,D不是指數(shù)函數(shù).探究二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例2已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

答案

(-1,4)解析

∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).要點(diǎn)筆記

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),所以對(duì)于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,y,則點(diǎn)(x,y)為所求點(diǎn).延伸探究

本例中的函數(shù)改為f(x)=5a3x-2+3呢?2.指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別例3函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0答案

D解析

由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故選D.反思感悟

指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn),如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)的值的符號(hào)等;(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對(duì)稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢(shì).變式訓(xùn)練2已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù)①y=mx,②y=nx的圖象為(

)答案

C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是減函數(shù),故排除A,B;作直線x=1與兩個(gè)圖象相交,交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y=mx的圖象.C符合題意.3.畫指數(shù)函數(shù)的圖象例4畫出函數(shù)

的圖象,這個(gè)圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出它的值域和單調(diào)區(qū)間嗎?要點(diǎn)筆記

指數(shù)函數(shù)y=ax與

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點(diǎn);二是利用圖象的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.變式訓(xùn)練3畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖1,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(2)如圖1,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(3)如圖1,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖2所示.圖1圖2探究三利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小例5比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

(1)(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時(shí),(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時(shí),(a-1)1.3>(a-1)2.4.反思感悟

比較冪的大小的常用方法

答案

AB解析

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.52.5<1.53.2,則A錯(cuò)誤;由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,則B錯(cuò)誤;由冪函數(shù)的單調(diào)性可知

,則C正確;由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,則D正確.故選AB.

素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想——指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用典例

若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.方法點(diǎn)睛

在運(yùn)用指數(shù)型函數(shù)的圖象求解相關(guān)問題時(shí),要注意已知函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,把握?qǐng)D象的特點(diǎn),抓住特殊點(diǎn),巧用函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱變換規(guī)律,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.

當(dāng)堂檢測(cè)1.函數(shù)y=2-x的大致圖象是(

)答案

B答案

C3.給出下列函數(shù):①y=x3;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x.其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

A解析

指數(shù)函數(shù)是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù),故只有y=2x是指數(shù)函數(shù),①為冪函數(shù),②、④、⑤都稱為指數(shù)型函數(shù),