數(shù)據(jù)庫原理-第三章-關(guān)系運(yùn)算課件

數(shù)據(jù)庫原理第三章關(guān)系運(yùn)算1本章內(nèi)容概要關(guān)系數(shù)據(jù)模型關(guān)系數(shù)據(jù)模型定義關(guān)鍵碼和表之間的聯(lián)系關(guān)系模式關(guān)系模型的完整性規(guī)則關(guān)系運(yùn)算關(guān)系查詢語言和關(guān)系運(yùn)算關(guān)系代數(shù)運(yùn)算符的分類傳統(tǒng)的集合運(yùn)算專門的關(guān)系運(yùn)算擴(kuò)充的關(guān)系代數(shù)操作（自學(xué)）關(guān)系代數(shù)表達(dá)式的優(yōu)化（自學(xué)）關(guān)系數(shù)據(jù)庫關(guān)系數(shù)據(jù)庫是通過關(guān)系數(shù)據(jù)模型建立起來的數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)。關(guān)系數(shù)據(jù)庫有一個(gè)嚴(yán)密的、能夠數(shù)學(xué)推導(dǎo)的、容易理解的、得到實(shí)踐證明正確的是關(guān)系數(shù)據(jù)模型。

基本概念：利用集合代數(shù)、謂詞演算等抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，深刻而透徹地介紹了關(guān)系數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，關(guān)系數(shù)據(jù)庫操作及關(guān)系數(shù)據(jù)庫完整性這關(guān)系數(shù)據(jù)模型的三要素的概念。數(shù)據(jù)模型中的數(shù)據(jù)描述,組成的基本要素.3.1關(guān)系數(shù)據(jù)模型關(guān)系數(shù)據(jù)模型關(guān)系數(shù)據(jù)模型三要素--關(guān)系數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、關(guān)系操作集合和關(guān)系完整性約束。1、關(guān)系模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——關(guān)系結(jié)構(gòu)

關(guān)系模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：非常單一，在用戶看來關(guān)系模型中數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)是一張二維表。但關(guān)系模型的這種簡單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能夠表達(dá)豐富的語義，描述出現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)體以及實(shí)體間的各種聯(lián)系。2、關(guān)系模型的數(shù)據(jù)操作——關(guān)系操作

關(guān)系模型給出了關(guān)系操作的能力，它利用基于數(shù)學(xué)的方法來表達(dá)關(guān)系操作，關(guān)系模型給出的關(guān)系操作往往不針對具體的RDBMS語言來表述。關(guān)系模型（續(xù)）3、關(guān)系的三類完整性約束

關(guān)系模型提供了豐富的完整性控制機(jī)制，允許定義三類完整性：實(shí)體完整性、參照完整性和用戶自定義的完整性。其中實(shí)體完整性和參照完整性是關(guān)系模型必須滿足的完整性約束條件，應(yīng)該由關(guān)系系統(tǒng)自動(dòng)支持。用戶自定義的完整性是應(yīng)用領(lǐng)域特殊要求而需要遵循的約束條件，體現(xiàn)了具體領(lǐng)域中的語義約束。3.1.1關(guān)系數(shù)據(jù)模型的定義⒈域（Domain）定義1:

域是一組具有相同數(shù)據(jù)類型的值的集合。又稱為值域(用D表示)。域中所包含的值的個(gè)數(shù)稱為域的基數(shù)（用m表示）。在關(guān)系中就是用域來表示屬性的取值范圍的。

例如，自然數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)、長度小于10字節(jié)的字符串集合、1-16之間的整數(shù),它們都是域。

又如，D1={張三，李四}

D1的基數(shù)m1為2

D2={男，女}

D2的基數(shù)m2為2

D3={19，20，21}

D3的基數(shù)m3為3⒉笛卡爾積（CartesianProduct）定義2：給定一組域D1、D2、…、Dn(這些域中可以包含相同的元素,即可以完全不同(也可以部分或全部相同),D1、D2、…、Dn的笛卡爾積為：

D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di,i＝1,2,…，n}

由定義可以看出，笛卡爾積也是一個(gè)集合。其中：

(1)其中每一個(gè)元素(d1,d2,…,dn)叫作一個(gè)n元組(n-tuple)，或簡稱為元組(Tuple)。但元組不是di的集合，元組由di按序排列而成。

(2)元素中的每一個(gè)值di叫作一個(gè)分量(Component)。分量來自相應(yīng)的域(di∈Di)。(3)若Di（i＝1，2，…，n）為有限集，其基數(shù)（Cardinalnumber）為mi（i＝1，2，…，n），則D1×D2×…×Dn的基數(shù)為n個(gè)域的基數(shù)累乘之積(4)笛卡爾積可表示為一個(gè)二維表。表中的每行對應(yīng)一個(gè)元組，表中的每列對應(yīng)一個(gè)域。如上面例子中D1與D2的笛卡爾積：

D1×D2={(張三,男),(張三,女),(李四,男),(李四,女)}可以表示成二維表，如下表2.1所示：姓名性別張三男張三女李四男李四女表3-3笛卡爾積笛卡爾積是個(gè)二維表3、關(guān)系(Relation)關(guān)系是屬性值域的笛卡爾積中有意義的元組的集合定義3:D1×D2×…×Dn的任何一個(gè)子集叫作在域D1,D2,…Dn上的關(guān)系，用R(D1,D2,…Dn)表示。如上例中D1×D2笛卡爾積的子集可以構(gòu)成關(guān)系T1，如下表所示：姓名性別張三男李四女笛卡爾積的子集關(guān)系T1笛卡爾積的二維表關(guān)系T1的二維表表現(xiàn)形式關(guān)系(續(xù))

(1)

R表示關(guān)系的名字，n是關(guān)系的目或度（Degree）。

當(dāng)n=1時(shí)，稱為單元關(guān)系。當(dāng)n=2時(shí)，稱為二元關(guān)系。

……

當(dāng)n=m時(shí)，稱為m元關(guān)系。(2)關(guān)系中的每個(gè)元素是關(guān)系中的元組。

通常用t表示。(3)關(guān)系是笛卡爾積的子集，所以關(guān)系也是一個(gè)二維表。

表的每行對應(yīng)一個(gè)元組，表的每列對應(yīng)一個(gè)域。由于域可以相同，為了加以區(qū)分，必須對每列起一個(gè)唯一的名字，稱為屬性（Attribute）。n目關(guān)系必有n個(gè)屬性。關(guān)系(續(xù)2)對關(guān)系作如下限定和擴(kuò)充：

⑴無限關(guān)系在數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中是無意義的。因此限定關(guān)系數(shù)據(jù)模型中的關(guān)系必須是有限集合。

⑵通過為關(guān)系的每個(gè)列附加一個(gè)屬性名的方法取消關(guān)系元組的有序性。即(d1,d2,…,dj,di…,dn)=(d1,d2,…,di,dj,…,dn)(i，j=1,2…，n）基本關(guān)系具有以下六條性質(zhì)：

①列是同質(zhì)的(Homogeneous),即每一列中的分量是同一類型的數(shù)據(jù)，來自同一個(gè)域。②不同的列可出自同一個(gè)域，稱其中的每一列為一個(gè)屬性，不同的屬性要給予不同的屬性名。關(guān)系(續(xù)3)

③列的順序無所謂，即列的次序可以任意交換。④任意兩個(gè)元組不能完全相同。⑤行的順序無所謂，即行的次序可以任意交換。⑥分量必須取原子值，即每一個(gè)分量都必須是不可分的數(shù)據(jù)項(xiàng)。如下兩圖：

課程關(guān)系C(不規(guī)范的關(guān)系)

課程關(guān)系C(規(guī)范的關(guān)系)課程名學(xué)時(shí)理論實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫5220C語言4520數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)5530課程名理論學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)數(shù)據(jù)庫5220C語言4520數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)55303.1.2關(guān)鍵碼和表之間的關(guān)系插入鍵的概念：鍵（Key）--關(guān)鍵碼1、超鍵（SuperKey）在一個(gè)關(guān)系中能唯一標(biāo)識(shí)元組的屬性集合例如：屬性集（教師、系別）2、候選鍵（CandidateKey）若關(guān)系中某一屬性組的值能唯一地表示一個(gè)元組，則稱該屬性組為候選鍵。例如：教師編號、身份證號3、主鍵（PrimaryKey）在候選鍵中選中一個(gè)作為主鍵，主鍵帶有主屬性。例如：可選教師號、身份證號均可。4、合成鍵（CompositeKey）由多個(gè)屬性組成的候選鍵。

5、外鍵（ForeignKey）若關(guān)系包含有另一個(gè)關(guān)系R所對應(yīng)的屬性F，則F為R的外鍵，或當(dāng)關(guān)系R1與R2建立聯(lián)系時(shí)，R1的屬性A1不是R1的候選鍵，而是R2的候選鍵，則稱A1為R1的外鍵。例如教師編號、系別編號、姓名、年齡、省份證號…例題：設(shè)教學(xué)管理數(shù)據(jù)庫中有5個(gè)關(guān)系如下：

學(xué)生S(SNO,SNAME,AGE,SEX,BPLACE)

課程C(CNO,CNAME,CREDIT)

教師T(TNO,TNAME,AGE,PS)

選課SE(SNO,CNO,GRADE)

任課TE(CNO,TNO,SNUM)

[例1]找出S，SE關(guān)系中的各種關(guān)鍵字。[例2]設(shè)關(guān)系S中有兩個(gè)超鍵BC、C，其中哪個(gè)是候選健、主鍵、復(fù)合鍵。Home關(guān)鍵碼和表之間的關(guān)系（續(xù)）3.1.3關(guān)系模式

在數(shù)據(jù)庫中要區(qū)分型和值兩方面。

關(guān)系數(shù)據(jù)庫中，關(guān)系模式是型，關(guān)系是值。關(guān)系模式是對關(guān)系的描述，那么一個(gè)關(guān)系需要描述哪些方面？首先應(yīng)該知道，關(guān)系實(shí)際上是一張二維表，

表的每一行為一個(gè)元組，每一列為一個(gè)屬性。 其次一個(gè)關(guān)系通常是由賦予它的元組語義來確定的。

元組語義實(shí)質(zhì)上是一個(gè)n目謂詞（n是屬性集中屬性的個(gè)數(shù)）。關(guān)系模式的關(guān)系在不同的時(shí)刻會(huì)隨著現(xiàn)實(shí)世界的不斷地變化會(huì)有所變化。

現(xiàn)實(shí)世界的許多已有事實(shí)限定了關(guān)系模式，因此所有可能的關(guān)系必須滿足一定的完整性約束條件。關(guān)系模式的形式化表示

一個(gè)關(guān)系模式應(yīng)當(dāng)是一個(gè)5元組。關(guān)系模式（續(xù)）定義4：關(guān)系的描述稱為關(guān)系模式(RelationSchema)一個(gè)關(guān)系模式應(yīng)當(dāng)是一個(gè)五元組。

它形式化地表示為：R（U,D,dom,F）。

其中R為關(guān)系名，U為組成該關(guān)系的屬性名集合，D為屬性組U中屬性所來自的域的集合，dom為屬性向域的映象集合，F(xiàn)為屬性間數(shù)據(jù)的依賴關(guān)系集合。

關(guān)系模式通常簡記為：R(A1,A2,…,An)或R(U)。其中A1,A2,…,An為屬性名。而域名及屬性向域的映象常常直接說明為屬性的類型、長度。關(guān)系實(shí)際上就是關(guān)系模式在某一時(shí)刻的狀態(tài)或內(nèi)容。

就是說，關(guān)系模式是型，關(guān)系是它的值。關(guān)系模式是靜態(tài)的、穩(wěn)定的，而關(guān)系是動(dòng)態(tài)的、隨時(shí)間不斷變化的，因?yàn)殛P(guān)系操作在不斷地更新著數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)。但在實(shí)際當(dāng)中，常常把關(guān)系模式和關(guān)系統(tǒng)稱為關(guān)系。關(guān)系數(shù)據(jù)庫在一個(gè)給定的現(xiàn)實(shí)世界領(lǐng)域中，所有實(shí)體及實(shí)體之間的聯(lián)系關(guān)系的集合構(gòu)成一個(gè)關(guān)系數(shù)據(jù)庫。在關(guān)系模型中，實(shí)體以及實(shí)體間的聯(lián)系都是用關(guān)系來表示。例如學(xué)生實(shí)體、課程實(shí)體、學(xué)生與課程之間的多對多選課聯(lián)系都可以分別用一個(gè)關(guān)系（或二維表）來表示。關(guān)系數(shù)據(jù)庫也分成型和值。型稱為關(guān)系數(shù)據(jù)庫模式，是對關(guān)系數(shù)據(jù)庫的描述，是關(guān)系模式的集合。值稱為關(guān)系數(shù)據(jù)庫，是關(guān)系的集合。關(guān)系數(shù)據(jù)庫模式與關(guān)系數(shù)據(jù)庫通常統(tǒng)稱為關(guān)系數(shù)據(jù)庫。3.1.4關(guān)系模型的完整性規(guī)則一、實(shí)體完整性規(guī)則（EntityIntegrity）規(guī)則3.14：

若屬性組（或?qū)傩裕㎏是基本關(guān)系R的主碼（或稱主關(guān)鍵字），則所有元組K的取值唯一，并且K中屬性不能全部或部分取空值。二、參照完整性（Referentialintegrity）定義5：設(shè)F是基本關(guān)系R的一個(gè)或一組屬性，但不是關(guān)系R的碼，如果F與基本關(guān)系S的主碼Ks相對應(yīng)，則稱F是基本關(guān)系R的外碼（Foreignkey），并稱基本關(guān)系R為參照關(guān)系（Referencingrelation），基本關(guān)系S為被參照關(guān)系（Referencedrelation）或目標(biāo)關(guān)系（Targetrelation）。關(guān)系R和S可能是相同的關(guān)系，即自身參照。關(guān)系模型的完整性規(guī)則（續(xù)）規(guī)則3.15參照完整性規(guī)則：

若屬性（或?qū)傩越M）F是基本關(guān)系R的外碼，它與基本關(guān)系S的主碼Ks相對應(yīng)（基本關(guān)系R和S可能是相同的關(guān)系），則對于R中每個(gè)元組在F上的值必須為以下兩種情況，或者取空值（F的每個(gè)屬性值均為空值）；或者等于S中某個(gè)元組的主碼值。 例子見教材P37.三、用戶定義的完整性（User-definedintegrity）

用戶定義的完整性就是針對某一具體應(yīng)用的關(guān)系數(shù)據(jù)庫所制定的約束條件，它反映某一具體應(yīng)用所涉及的數(shù)據(jù)必須滿足的語義要求。例如：非空、》0、限定的值域范圍等等。

完整性約束

數(shù)據(jù)做更新操作必須遵守的規(guī)則數(shù)據(jù)做更新操作必須遵守如下4類完整性約束。實(shí)體（EntityIntegrity）約束：主鍵值必須唯一，且不能為空值。參照（ReferentialIntegrity）約束：關(guān)系R1與R2關(guān)聯(lián)時(shí)，R2中的外鍵值依賴于R1中的主鍵值。域（DomainIntegrity）約束：對屬性的取值范圍或是否為空值（NULL）。用戶自定義約束：用戶自定義的默認(rèn)值等。3.2關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算就是指研究關(guān)系操作的問題關(guān)系查詢語言和關(guān)系運(yùn)算關(guān)系代數(shù)運(yùn)算符及其分類傳統(tǒng)的集合運(yùn)算專門的關(guān)系運(yùn)算關(guān)系代數(shù)表達(dá)式應(yīng)用實(shí)例擴(kuò)充的關(guān)系代數(shù)操作關(guān)系代數(shù)關(guān)系代數(shù)是一種抽象的查詢語言。

用對關(guān)系的運(yùn)算來表達(dá)關(guān)系操作，關(guān)系代數(shù)是研究關(guān)系數(shù)據(jù)操作語言的一種較好的數(shù)學(xué)工具。關(guān)系代數(shù)是E.F.Codd1970年首次提出的，后面一節(jié)的關(guān)系演算是E.F.Codd1972年首次提出的，

1979年E.F.Codd對關(guān)系模型作了擴(kuò)展，討論了關(guān)系代數(shù)中加入空值和外連接的問題。關(guān)系代數(shù)以一個(gè)或兩個(gè)關(guān)系為輸入（或稱為操作對象），產(chǎn)生一個(gè)新的關(guān)系作為其操作結(jié)果。即其運(yùn)算對象是關(guān)系，運(yùn)算結(jié)果亦為關(guān)系。關(guān)系代數(shù)用到的運(yùn)算符包括四類：集合運(yùn)算符、專門的關(guān)系運(yùn)算符、算術(shù)比較符和邏輯運(yùn)算符，如表3.6所示。關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算符關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算符運(yùn)算符含義運(yùn)算符含義集合運(yùn)算符∪∩-×并交差笛卡爾積比較運(yùn)算符＞≥＜≤＝≠大于大于等于小于小于等于等于不等于專門的關(guān)系運(yùn)算符×σ∏÷廣義笛卡爾積選取投影除連接邏輯運(yùn)算符∧∨?與或非關(guān)系代數(shù)運(yùn)算符分類說明比較運(yùn)算符和邏輯運(yùn)算符是用來輔助專門的關(guān)系運(yùn)算符進(jìn)行操作的，所以關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算按運(yùn)算符的不同主要分為傳統(tǒng)的集合運(yùn)算和專門的關(guān)系運(yùn)算兩類。1.傳統(tǒng)的集合運(yùn)算：包括并、交、差、廣義笛卡爾積四種運(yùn)算。2.專門的關(guān)系運(yùn)算：包括選擇、投影、連接、除等。其中傳統(tǒng)的集合運(yùn)算將關(guān)系看成元組的集合，其運(yùn)算是從關(guān)系的“水平”方向即行的角度來進(jìn)行。而專門的關(guān)系運(yùn)算不僅涉及到行而且涉及到列。3.2.3傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

傳統(tǒng)的集合運(yùn)算是二目運(yùn)算，包括并、交、差、廣義笛卡爾積四種運(yùn)算。設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個(gè)關(guān)系都有n個(gè)屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域，則可定義并、差、交運(yùn)算如下：⒈合并（Union）設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個(gè)關(guān)系都有n個(gè)屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域，則關(guān)系R與關(guān)系S的并由屬于R或?qū)儆赟的所有元組組成。記作：

R∪S=｛t|t∈R∨t∈S｝

其結(jié)果關(guān)系仍為n目關(guān)系，由屬于R或?qū)儆赟的元組組成。關(guān)系的并操作對應(yīng)于關(guān)系的插入或添加記錄的操作，俗稱“+”操作，是關(guān)系代數(shù)的基本操作。合并（Union）例子編號書名數(shù)量101C語言19102數(shù)據(jù)庫20105操作系統(tǒng)15108匯編語言10編號書名數(shù)量12C語言1913高等數(shù)學(xué)2018外語(四)10編號書名數(shù)量101C語言19102數(shù)據(jù)庫20105操作系統(tǒng)15108匯編語言1012C語言1913高等數(shù)學(xué)2018外語(四)10合并運(yùn)算結(jié)果（C）進(jìn)貨關(guān)系（B）庫存關(guān)系（A）傳統(tǒng)的集合運(yùn)算（續(xù)）⒉求差（Difference）

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n，且相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域，則關(guān)系R與關(guān)系S的差由屬于R而不屬于S的所有元組組成。記作：

R-S=｛t|t∈R∧t∈S｝

其結(jié)果關(guān)系仍為n目關(guān)系，由屬于R而不屬于S的所有元組組成。關(guān)系的差操作對應(yīng)于關(guān)系的刪除記錄的操作，俗稱“-”操作，是關(guān)系代數(shù)的基本操作。⒊相交（Intersection）

其結(jié)果關(guān)系仍為n目關(guān)系，由既屬于R又屬于S的元組組成。關(guān)系的交可以用差來表示，

即R∩S=R-(R-S)。

關(guān)系的交操作對應(yīng)于尋找兩關(guān)系共有記錄的操作，是一種關(guān)系查詢操作。關(guān)系的交操作能用差操作來代替，為此不是關(guān)系代數(shù)的基本操作。

合并與相交運(yùn)算都滿足結(jié)合律。但求差運(yùn)算不滿足結(jié)合律。傳統(tǒng)的集合運(yùn)算（續(xù)2）⒋廣義笛卡爾積（ExtendedCartesianProduct）廣義笛卡爾積不要求參加運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)系具有相同的目（自然也就不要求來自同樣的域）。

設(shè)R為n目關(guān)系,S為m目關(guān)系,則R和S的廣義笛卡爾積為:R×S=｛trts|tr∈R∧ts∈S｝

tr

ts表示由兩個(gè)元組tr和ts前后有序連接而成的一個(gè)元組。相當(dāng)于是一個(gè)組合的關(guān)系。例子見教材P42傳統(tǒng)的集合運(yùn)算（續(xù)3）任取元組tr和ts,當(dāng)且僅當(dāng)tr屬于R且ts屬于S時(shí),tr和ts的有序連接即為R×S的一個(gè)元組。R和S的廣義笛卡爾積是一個(gè)（n+m）目的關(guān)系。其中任何一個(gè)元組的前n列是關(guān)系R的一個(gè)元組,后m列是關(guān)系S的一個(gè)元組。若R有K1個(gè)元組,S有K2個(gè)元組,則R×S有K1×K2個(gè)元組。實(shí)際操作時(shí),可從R的第一個(gè)元組開始,依次與S的每一個(gè)元組組合,然后,對R的下一個(gè)元組進(jìn)行同樣的操作,直至R的最后一個(gè)元組也進(jìn)行完同樣的操作為止,即可得到R×S的全部元組。傳統(tǒng)的集合運(yùn)算（續(xù)4）下列給出了兩個(gè)關(guān)系R和S,以及它們進(jìn)行并、差、交和笛卡爾積后的結(jié)果關(guān)系。傳統(tǒng)的集合運(yùn)算（續(xù)5）3.2.4專門的關(guān)系運(yùn)算上節(jié)中所講的傳統(tǒng)集合運(yùn)算，只是從行的角度進(jìn)行，而要靈活地實(shí)現(xiàn)關(guān)系數(shù)據(jù)庫的多樣查詢操作，則須引入專門的關(guān)系運(yùn)算。專門的關(guān)系運(yùn)算包括選擇、投影、連接、除等。為了敘述方便，我們先引入幾個(gè)記號。⒈分量：

設(shè)關(guān)系模式為R(A1,A2,…,An)。它的一個(gè)關(guān)系設(shè)為R。t∈R表示t是R的一個(gè)元組。t[Ai]則表示元組t中相應(yīng)于屬性Ai的一個(gè)分量。專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)）⒉屬性列或域列：

若A={Ai1,Ai2,…,Aik}，其中Ai1,Ai2,…,Aik是A1,A2,…,An中的一部分，則A稱為屬性列或域列。t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],…,t[Aik])表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。A則表示{A1,A2,…,An}中去掉{Ai1,Ai2,…,Aik}后剩余的屬性組。⒊元組的連接：

R為n目關(guān)系，S為m目關(guān)系。tr∈R，ts∈S，tr

ts稱為元組的連接（Concatenation）。它是一個(gè)(n+m)列的元組，前n個(gè)分量為R中的一個(gè)n元組，后m個(gè)分量為S中的一個(gè)m元組。

⒋象集：

給定一個(gè)關(guān)系R(X，Z)，X和Z為屬性組。我們定義，當(dāng)t[X]=x時(shí)，x在R中的象集（ImagesSet）為：

Zx

={t[Z]|t∈R,t[X]=x}關(guān)系模型的5種基本數(shù)據(jù)操作投影：在一個(gè)關(guān)系內(nèi)選擇屬性。選擇：在一個(gè)關(guān)系內(nèi)選擇元組。連接：是兩個(gè)關(guān)系的合并。插入：在一個(gè)關(guān)系內(nèi)插入新元組。刪除：在一個(gè)關(guān)系內(nèi)刪除元組。專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)2）專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)2）一、選擇（Selection）選擇又稱為限制（Restriction）。它是在關(guān)系R中選擇滿足給定條件的諸元組，記作：

σF(R)={t|t∈R∧F(t)=“真”}

其中F表示選擇條件，它是一個(gè)邏輯表達(dá)式，取邏輯值“真”或“假”。邏輯表達(dá)式F的基本形式為：

X1θY1[φX2θY2…]專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)3）

其中θ表示比較運(yùn)算符，它可以是＞、≥、＜、≤、＝或≠。

X1、Y1等是屬性名或常量或簡單函數(shù)。

屬性名也可以用它的序號來代替（如1，2，…）。φ表示邏輯運(yùn)算符，它可以是?、∧或∨。[]表示任選項(xiàng)，即[]中的部分可以要也可以不要，…表示上述格式可以重復(fù)下去。例如：設(shè)有一個(gè)學(xué)生-課程關(guān)系數(shù)據(jù)庫，包括學(xué)生關(guān)系Student(說明：CS表示計(jì)算機(jī)系、IS表示信息系、MA表示數(shù)學(xué)系)、課程關(guān)系Course和選修關(guān)系SC。下面通過一些例子將對這三個(gè)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算。

專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)4）[例1]查詢信息系（CS系）全體學(xué)生。

σ’cs’(Student)[例2]查詢年齡大于19歲的學(xué)生。

σ年齡>=‘19’(Student)二投影（Projection）關(guān)系R上的投影是從R中選擇出若干屬性列組成新的關(guān)系。記作：

∏(R)={t[A]|t∈R}

其中A為R中的屬性列。關(guān)系的投影操作對應(yīng)于關(guān)系列的角度進(jìn)行的選取操作（縱向選?。?，也是關(guān)系查詢操作的重要成員之一，是關(guān)系代數(shù)的基本操作。2.4.2專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)5）[例3]

查詢選修關(guān)系SC在學(xué)號和課程號兩個(gè)屬性上的投影。∏(SC)或∏(SC)[例4]查詢學(xué)生關(guān)系Student中都有哪些系，即是學(xué)生關(guān)系Student在所系屬性上的投影操作。∏(Student)三連接（Join）

連接也稱θ連接,是從兩個(gè)關(guān)系的廣義笛卡爾積中選取滿足某規(guī)定條件的全體元組,形成一個(gè)新的關(guān)系,記為專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)6）

其中,A是R的屬性組（A1,A2,…,Ak）,B是S的屬性組（B1,B2,…,BK）。AθB的實(shí)際形式為

Ai和Bi（i=1,2,…,k）不一定同名,但必須可比。

θi(i=1,2,…,k)∈｛>,<,≤,≥,=,≠｝。連接運(yùn)算中有兩種最為重要也是最為常用的連接，一種是等值連接（equijoin），另一種是自然連接（Naturaljoin）。專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)7）

等值連接（equijoin）屬于連接,當(dāng)一個(gè)連接表達(dá)式中,所有的θi都是“=”符時(shí),則稱此連接為等值連接。等值連接是較常用的連接。自然連接（Naturaljoin）是一種特殊的等值連接，它要求兩個(gè)關(guān)系中進(jìn)行比較的分量必須是相同的屬性組，并且要在結(jié)果中把重復(fù)的屬性去掉。即若R和S具有相同的屬性組B，關(guān)系的各種連接，實(shí)際上是在關(guān)系的廣義笛卡爾積的基礎(chǔ)上再組合選擇或投影操作復(fù)合而成的一種查詢操作

專門的關(guān)系運(yùn)算（續(xù)8）四、刪除（Division）

給定關(guān)系R(X，Y)和S(Y，Z)，其中X，Y，Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域。R與S的除運(yùn)算得到一個(gè)新的關(guān)系P(X)，P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。記作：