河南省盧氏一中屆高考數(shù)學(xué)二輪《空間幾何體》專題訓(xùn)練

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精]河南省盧氏一中2012屆高考數(shù)學(xué)二輪《空間幾何體》專題訓(xùn)練一、選擇題1．(2011·浙江高考）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）解析：從俯視圖看,B和D符合，從正視圖看D符合，而從側(cè)視圖看D也是符合的．答案：D2．(2011·北京高考）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是(）A．8 B．6eq\r(2)C．10 D．8eq\r（2)解析：由三視圖可知，該幾何體的四個面都是直角三角形,面積分別為6，6eq\r(2)，8,10,所以面積最大的是10。答案:C3．如果一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．80＋16eq\r（2）B．96C．96＋16eq\r(2）D．112解析：依題意得知，該幾何體是一個正方體上面放置了一個底面與正方體的上底面重合的正四棱錐，其中該正方體的棱長為4,該正四棱錐的底面邊長為4、高為2,該正四棱錐的斜高等于eq\r(22＋(\f(4，2)）2)＝2eq\r(2），該幾何體的表面積等于5×42＋4×(eq\f(1，2）×4×2eq\r(2))＝80＋16eq\r(2）。答案：A4．（2011·青島模擬)已知正方體的外接球的體積是eq\f（4π，3），則這個正方體的棱長是(）A。eq\f（\r(2)，3) B.eq\f(\r（3）,3)C.eq\f(2\r（2)，3） D.eq\f（2\r(3）,3)解析:設(shè)正方體的外接球半徑為r,正方體棱長為a,則eq\f（4,3）πr3＝eq\f(4，3）π.∴r＝1.∴eq\r（3)a＝2r＝2.∴a＝eq\f（2\r(3）,3).答案：D5．用若干個體積為1的正方體搭成一個幾何體，其正(主)視圖、側(cè)（左)視圖都是如圖所示的圖形，則這個幾何體的最大體積與最小體積的差是（)A．3 B．4C．5 D．6解析：如圖①所示，這個幾何體體積最大時共有11個小正方體構(gòu)成，如圖②所示，這個幾何體最小時有5個小正方體構(gòu)成,因此，這個幾何體的最大體積與最小體積的差是6.答案：D6．(2011·西安八校聯(lián)考)如圖，在棱長為5的正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝2，Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點,則四面體P－QEF的體積()A．是變量且有最大值B．是變量且有最小值C．是變量有最大值和最小值D．是常量解析:因為EF＝2，點Q到AB的距離為定值，所以△QEF的面積為定值S，又因為D1C1∥AB，所以D1C1∥面QEF；點P到面QEF的距離也為定值d,從而四面體P－QEF的體積為定值eq\f(1，3)Sd。答案：D二、填空題7．(2011·遼寧高考)一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2eq\r（3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)（左)視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是________．解析:設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，利用體積為2eq\r（3)，很容易求出這個正三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都是2，所以底面正三角形的高為eq\r(3)，故所求矩形的面積為2eq\r(3)。答案：2eq\r(3）8．(2011·杭州模擬)一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的外接球的表面積為________．解析：該棱錐的直觀圖如圖，取CD的中點E,BD的中點F,由三視圖知,AE⊥平面BCD,AF＝5，AE＝eq\r（52－32）＝4，∠CBD＝90°。設(shè)O為該棱錐外接球的球心，半徑為R，由題知：BO2＝BE2＋EO2，即R2＝（3eq\r（2))2＋（R－4）2，解得R＝eq\f（17，4)，故球的表面積為S＝4×π×(eq\f（17,4)）2＝eq\f(289π，4）.答案：eq\f（289π,4）9。如圖，點O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點E為面B′BCC′的中心,點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的正投影可能是______________(填出所有可能的序號）．解析:空間四邊形D′OEF在正方體的面DCC′D′及其對面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其對面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其對面A′B′C′D′上的正投影是③，故填①②③。答案：①②③三、解答題10．在下面三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正(主）視圖和側(cè)（左)視圖在下面畫出(單位:cm)．(1)在正(主)視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連接BC′，證明:BC′∥平面EFG.解：（1）如圖．(2)所求多面體的體積：][:］V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f（1，3）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）×2×2））×2＝eq\f（284，3）(cm3)．(3)證明：如圖,在長方體ABCD－A′B′C′D′中，連接AD′，則AD′∥BC′.［:]因為E、G分別為AA′、A′D′的中點，所以AD′∥EG，從而EG∥BC′。又BC′?平面EFG，所以BC′∥平面EFG。11。在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點,且AD＝PD＝2MA。(1）求證：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．解：（1）證明：由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC。［：]因為四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC。在△PBC中,因為G、F分別為PB、PC的中點,所以GF∥BC.因此GF⊥平面PDC。又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC。（2)因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA＝1,則PD＝AD＝2，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PD＝eq\f（8，3）.由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即為點P到平面MAB的距離，VP－MAB＝eq\f(1，3)S△MAB·DA＝eq\f(1,3)×eq\f(1，2)×1×2×2＝eq\f（2，3）.所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.12．（2011·安徽高考）如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上,OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1）證明直線BC∥EF;(2）求棱錐FOBED的體積．[：]解：(1)法一：（綜合法）設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點,由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以O(shè)B綊eq\f（1,2）DE，OG＝OD＝2。同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′＝OD＝2。又由于G和G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合．在△GED和△GFD中,由OB綊eq\f（1，2）DE和OC綊eq\f（1,2)DF，可知B，C分別是GE和GF的中點，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.法二：（向量法）過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，連接QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,以Q為坐標(biāo)原點，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．由條件知E（eq\r（3），0，0)，F(xiàn)(0，0，eq\r（3）），B(eq\f(\r（3),2），－eq\f(3,2)，0)，C(0,－eq\f(3,2）,eq\f(\r（3),2）)．則有＝（－eq\f(\r(3）,2），0，eq\f(\r（3），2）)，＝（－eq\r（3），0,eq\r(3）)．所以＝2，即得BC∥EF.(2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知SEOB＝eq