軸對稱中幾何動點最值問題總結(jié)

...wd......wd......wd...軸對稱中幾何動點最值問題總結(jié)軸對稱的作用是“搬點移線〞，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形〞中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比方我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：〔1〕兩點之間線段最短；〔2〕三角形兩邊之和大于第三邊；〔3〕垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進展分析、討論。兩點一線的最值問題:〔兩個定點+一個動點〕問題特征：兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上求一動點的位置，使動點與定點線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個動點，解決這類題目的方法是找出任一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。方法：1.定點過動點所在直線做對稱。2.連結(jié)對稱點與另一個定點，則直線段長度就是我們所求。變異類型：實際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比方等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1.如圖，直線和的同側(cè)兩點A、B，在直線上求作一點P，使PA+PB最小。一點兩線的最值問題:〔兩個動點+一個定點〕問題特征：一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線〞，把線段“移〞到同一直線上來解決。變異類型：1.如圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小。2.如圖，點A是∠MON外的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小。兩點兩線的最值問題:〔兩個動點+兩個定點〕問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動〔一個主動，一個從動〕，并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點〞類型來解。變異類型：1.如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。如圖，A〔1，3〕，B〔5，1〕，長度為2的線段PQ在x軸上平行移動，當AP+PQ+QB的值最小時，點P的坐標為()

兩點兩線的最值問題:〔兩個動點+兩個定點〕問題特征：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上〔兩點之間線段最短〕，且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線〔連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短〕時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。1.如圖，點A是∠MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小。二、常見題目Part1、三角形1．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2，求EM+EC的最小值。2．如圖，在銳角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____。3．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，假設(shè)在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值。Part2、正方形1．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為_________。即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小。2．如下列圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為〔〕A．B．C．3D．3．在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝〔結(jié)果不取近似值〕。4．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；Part3、矩形1．如圖，假設(shè)四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PD的最小值；Part4、菱形1．如圖，假設(shè)四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；Part5、直角梯形1．直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上