基于矩量法的靜電場(chǎng)平板電荷密度問題

基于矩量法的靜電場(chǎng)平板電荷密度分布問題研究【摘要】開發(fā)獨(dú)立自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的并行電磁計(jì)算軟件，對(duì)典型的電磁場(chǎng)數(shù)值算法進(jìn)行系列的并行化研究，無論是從解決工程問題出發(fā)，還是就提高復(fù)雜大型電磁計(jì)算能力的戰(zhàn)略目標(biāo)而言，都迫切需要。因此對(duì)典型數(shù)值方法的新技術(shù)以及其并行計(jì)算方法進(jìn)行研究具有現(xiàn)實(shí)的、深遠(yuǎn)的意義本文主要是基于計(jì)算電磁學(xué)中的矩量法，對(duì)平板電荷密度的問題進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算及分析。本文討論了在平板電荷密度問題的運(yùn)算過程中怎樣運(yùn)用矩量法進(jìn)行分析和計(jì)算。并且以給定邊長(zhǎng)及形狀的平板電荷密度計(jì)算問題出發(fā)，對(duì)于不同形狀的平板電荷計(jì)算問題簡(jiǎn)單的做了發(fā)散思考。關(guān)鍵詞平板電荷密度，矩量法，計(jì)算電磁學(xué)MomentMethodofFlatchargedensityproblemAbstractParalleldevelopmentofindependentintellectualpropertyrightselectromagneticcalculationsoftware,foratypicalfamilyofelectromagneticfieldnumericalalgorithmsforparallelstudies,bothstartingfromsolvingengineeringproblems,ortoimprovetheabilityoflargeandcomplexelectromagneticcalculationsintermsofthestrategicobjectives,areurgentlyneeded.Therefore,numericalmethodsfortypicalnewtechnologyaswellasitsparallelcomputingmethodhaspractical,far-reachingsignificance.Thisarticleisbasedoncomputationalelectromagneticsmoments,thequestionontheflatchargedensityhasbeencalculatedandanalyzed.Discussedtheissueintheflatchargedensitycalculationprocesshowtousethemethodofmomentsforanalysisandcalculations.Andgivensidelengthandshapeofthetabletcomputingproblemsstartingthechargedensity,thechargeforthedifferentshapesoftabletcomputingproblemssimplydodivergentthinking.KeywordsFlatchargedensity,momentmethod,computationalelectromagnetics引言：1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁極不存在）和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論，并用數(shù)學(xué)模型揭示了自然界一切宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律，這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標(biāo)系求解Maxwell方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這種方法可以得到問題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡(jiǎn)單問題。對(duì)于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較高的數(shù)學(xué)技巧，甚至無法求得解析解。20世紀(jì)60年代以來，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展起來，并得到廣泛地應(yīng)用，相對(duì)于經(jīng)典電磁理論而言，數(shù)值方法受邊界形狀的約束大為減少，可以解決各種類型的復(fù)雜問題。但各種數(shù)值計(jì)算方法都有優(yōu)缺點(diǎn)，一個(gè)復(fù)雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，常需要將多種方法結(jié)合起來，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，因此混和方法日益受到人們的重視。[1]

本文主要介紹了如何運(yùn)用矩量法解決平板電荷分布問題。1什么是矩量法：矩量法（MoM）是一種將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組的方法，對(duì)求解微分方程和積分方程均適用。由于求解過程中需要計(jì)算廣義矩量，故得名。矩量法包括如下三個(gè)基本過程：

（1）離散化過程主要目的是將算子方程化為代數(shù)方程，具體步驟是：①在算子L定義域內(nèi)適當(dāng)?shù)倪x擇一組線性無關(guān)的基函數(shù)fn；②將待求函數(shù)f表示為該組基函數(shù)的線性組合；③利用算子的線性，將算子方程化為代數(shù)方程。

（2）取樣檢測(cè)過程主要目的是將求解代數(shù)方程的問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣方程的問題?；静襟E是：①在算子L的值域內(nèi)適當(dāng)?shù)倪x擇一組線性無關(guān)的權(quán)函數(shù)Wm；②將Wm與代數(shù)方程取內(nèi)積進(jìn)行N次抽樣檢驗(yàn)；③利用算子的線性和內(nèi)積的性質(zhì)，將N次抽樣檢驗(yàn)的內(nèi)積方程化為矩陣方程。

（3）矩陣求逆過程。矩量法所做的工作是將積分方程化為差分方程,或?qū)⒎e分方程中積分化為有限求和,從而建立代數(shù)方程組,故它的主要工作量是用計(jì)算機(jī)求解代數(shù)方程組.所以,在矩量法求解代數(shù)方程組過程中,矩陣規(guī)模的大小涉及到占用內(nèi)存的多少,在很大程度上影響了計(jì)算的速度.如何盡可能的減少矩陣存儲(chǔ)量,成為加速矩量法計(jì)算的關(guān)鍵。[2]2矩量法的基本原理：2.1矩量法的數(shù)學(xué)表述[3]：如果非齊次方程為：（1）式中L是線性算子，g為已知函數(shù)，f為未知函數(shù)，令，式中是系數(shù)，被稱為展開函數(shù)或基函數(shù)。用L算子的線性便可以得到：（2）規(guī)定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膬?nèi)積<f,g>,那么在L的值域內(nèi)定義一個(gè)權(quán)函數(shù)或檢驗(yàn)函數(shù)的集合，并對(duì)每個(gè)取式（1-2）的內(nèi)積，則：（3）式中m=1,2,3，…。此方程組可以寫成如下的矩陣形式（4）2.2權(quán)函數(shù)和基函數(shù)的選擇：1.基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的不同配合對(duì)待求物理場(chǎng)問題所學(xué)的計(jì)算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都將有不同的影響。2.如算子方程式積分方程，雖然分域基德數(shù)值穩(wěn)定性較高，并且計(jì)算量也少，但其光滑性較差，對(duì)某些積分方程不適用。3.若積分方程中存在有待求函數(shù)的微分運(yùn)算，則顯然不能用脈沖函數(shù)作為基函數(shù)，但描述靜電場(chǎng)問題的積分方程中，沒有微分運(yùn)算，對(duì)基函數(shù)沒有這一限制。運(yùn)用矩量法計(jì)算平板電荷密度：3.1設(shè)正方形導(dǎo)電板，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，位于Z=0平面上，中心點(diǎn)如圖所示，若導(dǎo)電板電位V0，試求導(dǎo)電板上的電荷分布及電容。[4]3.2.1首先分扳為N個(gè)均勻小塊，并選基函數(shù)為分域脈沖函數(shù)。3.2.2代入邊界的積分方程[5]：3.2.3選權(quán)函數(shù)：3.2.4求內(nèi)積：3.2.5矩陣主角元素計(jì)算：1.m=n時(shí)，2.時(shí)，3.2.6矩陣方程：4計(jì)算程序及結(jié)果：4.1計(jì)算程序：clcclearL=4;%平板邊長(zhǎng)（為其他形狀時(shí)另設(shè)）nx=16;%x方向劃分格數(shù)ny=16;%y方向劃分格數(shù)N=nx*ny;%總劃分格數(shù)pi=3.14;di=8.85e-12;%介電常數(shù)dx=L/nx;%網(wǎng)格x方向間隔長(zhǎng)度dy=L/ny;%網(wǎng)格y方向間隔長(zhǎng)度ds=dx*dy;zmm=2*dx*log(1+sqrt(2))/pi/di;n=1;%basisg(1:N,1)=1;fori=1:nxxn=(i-0.5)*dx;forj=1:nyyn=(j-0.5)*dy;m=1;%weightedforii=1:nxxm=(ii-0.5)*dx;forjj=1:nyym=(jj-0.5)*dy;if(m==n)Z(m,n)=zmm;elseZ(m,n)=ds/sqrt((xm-xn)^2+(ym-yn)^2)/(4*pi*di);endm=m+1;endendn=n+1;endendxq=Z\g;areaq=reshape(xq,ny,nx);mesh(areaq)4.2計(jì)算結(jié)果：5結(jié)論：運(yùn)用矩量法解決靜電場(chǎng)中平板電荷密度問題是可行的，并且十分方便的。在計(jì)算過程中我們通過在物理模型