幾何與代數(shù)第五章

幾何與代數(shù)第五章第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月如何求特征值？稱為方陣A的特征多項式,f(λ)=0稱為方陣A的特征方程。特征方程的根就是方陣Ａ的特征值第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月特征子空間第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月計算n階矩陣A的特征值與特征向量的步驟：注：

在復數(shù)范圍內，特征值必存在，且恰好有n個（按重數(shù)累計）；在實數(shù)范圍內，則不一定存在特征值。第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：例1：第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：設試求A的特征值和特征向量。第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、特征值與特征向量的性質定理5.1：理解：可將行列式拆成行列式之和來看！推論：n階方陣A可逆的充要條件是A的n個特征值全不為零。第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.2：第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：定理5.3設λ0是方陣A的特征值,方程組(λ0E－A)X=0的基礎解系的全體非零線性組合是Ａ對應于特征值λ0的全部特征向量。第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.4：定理5.5：注：本定理的含義是—A所有不同的特征值對應的線性無關的特征向量合起來還是線性無關的。第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)相似矩陣一、相似矩陣的定義及性質定義5.2：

A，B是兩n階方陣，如果存在可逆陣P，使得P-1AP=B，則稱方陣A與B相似，記作A~B。對A進行運算P-1AP稱為對A進行相似變換，可逆陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。性質1：

自反性對稱性傳遞性第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月性質2:第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矩陣可對角化的條件當矩陣可與對角矩陣相似時稱該矩陣可對角化。定理5.6：n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。推論：若n階矩陣A有n個互不相同的特征值，則A與對角陣相似。哪些矩陣可相似于對角陣？？？第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2：若矩陣A的n個特征值是重根，則稱是特征值的代數(shù)重數(shù)，對應的特征子空間的維數(shù)成為特征值的幾何重數(shù)。定理5.7：第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月如何判斷和求解對角陣？例5：注：第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例6：第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例7已知3階矩陣A的三個特征值為本1,1,2,對應的特征向量為(1,2,1)T,(1,1,0)T,(2,0,-1)T,求矩陣A第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)實對稱矩陣的對角化一、實對稱矩陣的基本定理定理5.8：實對稱矩陣的特征值全都是實數(shù)。定理5.9第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.10推論：第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、用正交矩陣化實對稱矩陣為對角陣步驟：第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例：給定實對稱矩陣第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)二次型及其標準形一、二次型的基本概念第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矩陣的合同第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)二次型化為標準形的方法一、用正交變換法化二次型為標準形定理5.12(主軸定理)對于任一二次型f(X)=AX,總存在正交變換X=QY(Q為正交矩陣),使f化為標準形:其中是f的矩陣A的n個特征值第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、用配方法化二次型為標準形第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月三、慣性定理和二次型的規(guī)范形第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)正定二次型與正定矩陣定義：第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月性質與判別：第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月復習題一、選擇題1.如果向量β可由向量組線性表示,則下列結論正確的是:(A)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…ks使得:(B)存在一組全為零的數(shù)使上式成立;(C)存在一組數(shù)k1,k2,…ks使上述等式成立;(D)對β上述線性表達式唯一第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.設某向量組的秩等于r,則()(A)該向量組所含向量個數(shù)必大于r;(B)該向量組中任何r個向量必線性無關,任何r+1個向量必線性相關;(C)該向量組中有r個向量線性無關,任何r+1個向量必線性相關;(D)該向量組中有r個向量線性無關,有r+1個向量線性相關第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月3.設非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣是4×5矩陣,且A的行向量組線性無關,則有()(A)A的列向量組線性無關;(B)增廣矩陣的行向量組線性無關;(C)增廣矩陣的任意4個列向量線性無關;(D)增廣矩陣的列向量組線性無關第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月4.設有向量組則有()(A)若M組線性相關,則N組線性相關;(B)若M線線性無關,則N組線性無關;(C)若N組線性無關,則M組線性無關;(D)若M組線性相關,則N組線性相關第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月5.設則三條直線交于一點的充要條件是()(A)α1,α2,α3線性相關;(B)α1,α2,α3線性無關;(C)r(α1,α2,α3)=r(α1,α2)(D)α1,α2,α3線性相關,α1,α2線性無關第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月6.設n維向量組:的秩都是r,則()(A)向量組M與N等價;(B)(C)若s=t=r,則M與N等價;(D)如M可由N線性表示,則M與N等價第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.是滿秩的,則直線()(A)相交于一點;(B)重合;(C)平行但不重合;(D)異面直線第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.設n階方陣A既是正交矩陣又是正定矩陣,則有A=()(A)A2(B)2A(C)E(D)2E第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月9.若兩向量都是齊次線性方程組AX=0的解向量,則系數(shù)矩陣是()第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月10.設A為n階方陣,且r(A)=n－3,且是齊次線性方程組AX=0的三個線性無關的解向量,則AX=0的基礎解系是()第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月11.下列四對矩陣中,不相似的是()第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月12.n階方陣A與B相似,則()(A)λE－A=λE－B(B)A與B有相同的特征向量(C)A與B都相似于一個對角矩陣(D)對任何t,tE－A和tE－B相似第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月13.設A是n階實對稱矩陣,P為n階可逆陣,已知n維向量α是A的對應于特征值λ的特征向量,則矩陣屬于特征值λ的特征向量是()第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月14.設則A與B()(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同不相似第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月15.設A,B均為n階可逆方陣,則()(A)AB=BA,(B)存在可逆陣P,使得(C)存在可逆陣C使得(D)存在可逆陣P,Q使得PAQ=B第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二、填空題1.設有3階方陣其中均為3維行向量,且已知行列式｜A｜=24,｜B｜=3,求｜A－B｜＿＿＿。第53頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4階矩陣已知｜A｜=4,｜B｜=1,則｜A+B｜=＿＿＿＿3.設則＿＿＿＿＿第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月4.設是n維向量,矩陣,則AB=＿＿＿＿。5.設且＿＿＿第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月6.設A為m階方陣,B為n階方陣,且｜A｜=a,｜B｜=b,＿＿＿＿。7.n維基本單位向量組線性表示,則向量的個數(shù)r＿＿＿＿＿。第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.已知向量組的秩為2,則λ=＿＿＿＿第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月9.設n階方陣A的各行元素之和為零,且r(A)=n-1,則齊次線性方程組AX=0的通解是＿＿＿＿＿。10.已知三階方陣A的特征值是－1,1,2,則矩陣的特征值是＿＿＿＿＿。的秩為＿＿＿＿＿。11.二次型第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月12.已知二次型為正定二次型,則λ的取值范圍是＿＿＿＿＿。第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月13.巳知三階方陣B是秩為2的三階方陣,且r(AB)=1,則λ=＿＿＿第60頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月14.設可對角化,則a=＿＿＿,b=＿＿＿第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月15.設A為n階方陣,｜A｜≠0,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位陣,若A有特征值λ,則必有特征值＿＿＿＿＿。第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月線性代數(shù)的思維定勢定勢一:題設條件與代數(shù)余子式Aij或伴隨矩陣A*有關,立即聯(lián)想到引用行列式按行(列)展開定理及AA*=A*A=|A|E。第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢二:若涉及到A,B是否可交換,即AB=BA,則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。例設A,B為n階方陣,且A+B=AB(1)證明A－E可逆;(2)證明AB=BA定勢三:若題設n階方陣滿足f(A)=0,要證aA+bB可逆,則先分解出因子aA+bB再說，例已知A、B為3階方陣,且滿足2A-1=B－4E(1)證明A－2E可逆(2)若求A第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢四第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢五:若巳知AB=O,則先考慮B的每列作為齊次線性方程組AX=0的解向量來處理。第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢六:若由題設條件要求確定參數(shù)的數(shù)值,則聯(lián)想到是否有行列式為0再說。第67頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢七:若已知A的特征向量ξ,則先用定義:Aξ=λ0ξ再說。第68頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月定勢八:要證明抽