甘肅省靈臺(tái)一中2023年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．z是z的共軛復(fù)數(shù)，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i2．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，定義，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于下列結(jié)論：符合的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為8；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則使得“最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是；設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論序號(hào)為A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．664．下列關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是（）A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)B．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是解釋變量和預(yù)報(bào)變量C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小5．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，其中，則此二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（）A． B．或 C． D．或7．現(xiàn)有男、女學(xué)生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，共有90種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人8．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|=（）A．1 B． C． D．29．，，三個(gè)人站成一排照相，則不站在兩頭的概率為（）A． B． C． D．10．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，則M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}11．若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．12．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集是_______.14．某天有10名工人生產(chǎn)同一零部件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a、b、c從小到大的關(guān)系依次是________15．已知直線與曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線互相垂直，則_____________.16．面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng),眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)成本.某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進(jìn)行線性回歸分析,得到結(jié)果如下：,,,,則銷量每增加1千箱，單位成本約下降________元(結(jié)果保留5位有效數(shù)字)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，橢圓，、，為橢圓的左、右頂點(diǎn)．設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值與最大值．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．若直線與中所述橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左、右頂點(diǎn)），且滿足，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）面對(duì)某種流感病毒，各國(guó)醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有A、B、C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)期研制出疫苗的概率分別為SKIPIF1<0．求:（1）他們能研制出疫苗的概率；（2）至多有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制出疫苗的概率．19．（12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．34562.5344.5（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程．參考公式：20．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；21．（12分）2017年5月，來(lái)自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購(gòu).乘坐高鐵可以網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票，為了研究網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票人群的年齡分布情況，在5月31日重慶到成都高鐵9600名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票的乘客中隨機(jī)抽取了120人進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并記錄，按年齡段將數(shù)據(jù)分成6組：，得到如下直方圖：（1）試通過(guò)直方圖，估計(jì)5月31日當(dāng)天網(wǎng)絡(luò)購(gòu)票的9600名乘客年齡的中位數(shù)；（2）若在調(diào)查的且年齡在段乘客中隨機(jī)抽取兩人，求兩人均來(lái)自同一年齡段的概率.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，將單位圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：設(shè)z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,經(jīng)常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)知識(shí),綜合起來(lái)加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對(duì)加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類似分母有理化;用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的運(yùn)算問(wèn)題.2、D【解析】

根據(jù)新定義由，討論、的取值，畫出分段函數(shù)的圖象，求出面積即可；運(yùn)用絕對(duì)值的含義和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得的最小值；根據(jù)等于1或都能推出最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)可判斷其錯(cuò)誤；把的坐標(biāo)用參數(shù)表示，然后利用輔助角公式求得的最大值說(shuō)明命題正確．【詳解】由，根據(jù)新定義得：，由方程表示的圖形關(guān)于軸對(duì)稱和原點(diǎn)對(duì)稱，且，畫出圖象如圖所示：四邊形為邊長(zhǎng)是的正方形，面積等于8，故正確；為直線上任一點(diǎn)，可得，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得的最小值為1，故正確；，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；而，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，即都能“使最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”，不正確；點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)榍笞畲笾?，所以可設(shè)，，，，，，正確．則正確的結(jié)論有：、、，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生理解及運(yùn)用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.3、A【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分析：根據(jù)殘差圖的定義和圖象即可得到結(jié)論．詳解：A殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)、解釋變量和預(yù)報(bào)變量，故AB正確；可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．則對(duì)應(yīng)相關(guān)指數(shù)越大，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤.故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查殘差圖的理解，比較基礎(chǔ)．5、B【解析】

分別將兩個(gè)不等式解出來(lái)即可【詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】設(shè)命題p對(duì)應(yīng)的集合為A，命題q對(duì)應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.6、B【解析】

利用二項(xiàng)式定理展開通項(xiàng)，由項(xiàng)的系數(shù)為求出實(shí)數(shù)，然后代入可得出該二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，得，該二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，得.當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式為，其展開式各項(xiàng)系數(shù)和為；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式為，其展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的概念，解題的關(guān)鍵就是利用二項(xiàng)式定理求出參數(shù)的值，并利用賦值法求出二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7、B【解析】試題分析：設(shè)男學(xué)生有x人，則女學(xué)生有8-x人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，共有90種不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故選B．考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．8、A【解析】試題分析：由題意得，，所以，故選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模.9、B【解析】分析：，，三個(gè)人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，從而即可得到答案.詳解：，，三個(gè)人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，則不站在兩頭的概率為.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】試題分析：求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．11、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由三角函數(shù)的定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接去掉絕對(duì)值即可得解.【詳解】由去絕對(duì)值可得即，故不等式的解集是.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

分析：將數(shù)據(jù)由小到大排列好，根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的概念得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可.詳解：根據(jù)提干得到中位數(shù)為b=15，眾數(shù)為c=17，平均數(shù)為=a.故.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的概念和計(jì)算，較為基礎(chǔ),眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).15、【解析】16、1.8182【解析】

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)和公式可以求出回歸直線方程,根據(jù)回歸直線斜率的意義可以求出銷量每增加1千箱，單位成本約下降多少元.【詳解】由所給的數(shù)據(jù)和公式可求得：,,所以線性回歸方程為：,所以銷量每增加1千箱，單位成本約下降元.故答案為：1.8182【點(diǎn)睛】本題考查了求線性回歸方程,考查了直線斜率的意義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析；；見(jiàn)解析，.【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，由點(diǎn)在橢圓上，得，則，代入式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍，求出函數(shù)的最值以及對(duì)應(yīng)的的取值，即可求證；由已知與，得，，解得，，再由求出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿足條件的直線，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程進(jìn)行整理，化簡(jiǎn)出一元二次方程，再利用韋達(dá)定理列出方程組，根據(jù)題意得,代入列出關(guān)于的方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，令．由點(diǎn)在橢圓上，得，則，代入，得，其對(duì)稱軸方程為，由題意，知恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值與最大值．由已知與，得，，，．．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．如圖所示，設(shè)，，聯(lián)立，得，則則橢圓的右頂點(diǎn)為，，，，即．．，解得，，且均滿足．當(dāng)時(shí)，l的方程為直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾．當(dāng)時(shí)，l的方程為直線過(guò)定點(diǎn)，滿足題意，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了利用構(gòu)造函數(shù)的方法處理最值問(wèn)題，屬于難題.18、（1）（2）【解析】試題分析：記A、B、C分別表示他們研制成功這件事，則由題意可得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．（1）他們都研制出疫苗的概率P（ABC）=P（A）?P（B）?P（C），運(yùn)算求得結(jié)果．（2）他們能夠研制出疫苗的概率等于，運(yùn)算求得結(jié)果試題解析：設(shè)“A機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期研制出疫苗”為事件D，“B機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期研制出疫苗”為事件E，“C機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期研制出疫苗”為事件F，則P（D）=SKIPIF1<0，P（E）=SKIPIF1<0，P（F）=SKIPIF1<0（1）P（他們能研制出疫苗）=1-P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）P（至多有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制出疫苗）=SKIPIF1<0SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+P（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）直接畫出散點(diǎn)圖得到答案.（2）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式，得到計(jì)算得，，，直接計(jì)算到答案.【詳解】（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示．（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：，（噸），（噸）．已知，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：，．因此所求的線性回歸方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了散點(diǎn)圖和線性回歸方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】分析：⑴設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得，利用線面平行的判定定理得到平面；⑵建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，然后運(yùn)用公式計(jì)算二面角的大小詳解：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD//,又PD平面D，//平面D.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，