信息光學(xué)中的傅里葉變換

信息光學(xué)中的傅里葉變換第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月表征現(xiàn)代光學(xué)重大進(jìn)展的另一件大事，是P.M.Duffieux1946年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代光學(xué)的一個重要分支——傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。它應(yīng)用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻譜被改變的觀點(diǎn)評價非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。信息光學(xué)促進(jìn)了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展?？梢哉J(rèn)為它是光學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通訊理論的交叉學(xué)科。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月信號頻域分布特性的分析與處理系統(tǒng)傳輸不同空間頻率信號能力的分析與處理空域←→頻域傅里葉分析離散周期信號連續(xù)周期信號離散非周期信號連續(xù)非周期信號第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1.二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個變量x,y的函數(shù)f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個自變量的函數(shù)。變換F第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月振幅譜相位譜功率譜類似地，函數(shù)f(x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：上式稱為F（fx，fy）的二維傅里葉逆變換。正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號和積分變量不同而已。我們可以用傅里葉變換對偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。=-1{}F-1（）FF()第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、傅里葉變換的存在條件（1）、函數(shù)f(x,y)必須對整個XY平面絕對可積，即（2）、函數(shù)f(x,y)必須在XY平面上的每一個有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個不連續(xù)點(diǎn)和有限個極大和極小點(diǎn)。（3）、函數(shù)f(x,y)必須沒有無窮大間斷點(diǎn)。第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月上述三個存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。這是因為，從應(yīng)用的角度看，作為時間或空間函數(shù)而實際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。但需說明的，為了物理學(xué)上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示實際的物理圖形，對這些有用的函數(shù)而言，上面的三個條件中的一個或多個可能均不成立。例如階躍函數(shù)，函數(shù)等就不滿足存在條件。因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有必要對傅里葉變換的定義作一些推廣。第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、廣義傅里葉變換對于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個相應(yīng)的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。例題：求函數(shù)f(x,y)=1的傅里葉變換解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月01先求矩形函數(shù)的傅里葉變換{rect(y)}{rect(x)}FF請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x,y)=1所以1的傅里葉變換是函數(shù)。問題：函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？{}-1FF物理圖像請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2.傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理1、線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則即兩個函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。FFF第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二重傅里葉變換性質(zhì)對二元函數(shù)作二次傅里葉變換，得到原函數(shù)的反折3、縮放性質(zhì)4、平移特性函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會導(dǎo)致頻域位移。FFFFFF第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月ffffff第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5、對稱性質(zhì)若f(x,y)為實函數(shù)，顯然有稱具有厄米對稱性FF若f(x,y)為虛函數(shù)，顯然有稱具有反厄米對稱性第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：空域兩個函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡單函數(shù)的乘積或卷積時，利用卷積定理可由簡單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對乘積作逆變換。FFFF6、卷積的傅里葉變換7、乘積的傅里葉變換FF第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月8、相關(guān)的傅里葉變換★F（1）互相關(guān)定理互譜能量密度（2）自相關(guān)定理★稱為信號f(x,y)的能譜密度F第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月9、帕斯瓦爾（能量）定理在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明一個事件空域各分量能量的總和與頻域各分量能量的總和是相等的。10、積分性質(zhì)(一維情況)FF第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月11、導(dǎo)數(shù)定理則有FFF若其導(dǎo)數(shù)存在FF第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：-1FF第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月FF第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換FF第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換FF第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換FF第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：求三角函數(shù)的傅里葉變換利用卷積定理FFFFF第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數(shù)的傅里葉變換。這種方法，用圖形表示出函數(shù)在空間域和頻率域的對應(yīng)關(guān)系，分析思路直觀且便于記憶。*0-11第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求極坐標(biāo)內(nèi)的二維傅里葉變換。同理上面極坐標(biāo)下的傅里葉變換的形式是相當(dāng)復(fù)雜的，但是當(dāng)g具有圓對稱性時，極坐標(biāo)顯得比較方便。第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉-貝塞爾變換設(shè)g(r,)具有圓對稱性，即g與無關(guān)，于是可以寫成g(r,)=g(r)利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)上式表明，圓對稱函數(shù)的傅里葉變換仍是圓對稱的類似地可得其傅里葉逆變換第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月在極坐下，圓對稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換的運(yùn)算是相