近世代數(shù)置換群課件

其中p是1-n中的某一數(shù)字(1)式所示的置換可以用一個(gè)更簡(jiǎn)潔的方式來(lái)表示,這就是用個(gè)沒(méi)有公共數(shù)率的獨(dú)立循環(huán)之來(lái)表示,如123456436152)-(4(2366)其中(5)稱為單循環(huán),它代表5變?yōu)?.即5不變(14)為二循環(huán),它代表1變?yōu)?,而4又變?yōu)?.(236)為三循環(huán),代表2變?yōu)?,3變?yōu)?,6又變?yōu)?般用記號(hào)1p2,2018/119數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院代表一個(gè)k循環(huán),并稱k為循環(huán)的長(zhǎng)度,兩個(gè)數(shù)字的循環(huán)(即循環(huán)長(zhǎng)度K=2)又稱為對(duì)換.顯然,兩沒(méi)有公共數(shù)字的獨(dú)立循環(huán)之間是相互對(duì)易的,如1423641362c(4236)=1236)(14)2361436241而同一循環(huán)中的數(shù)字可作輪換而不改變?cè)撗h(huán)的結(jié)果,如236)=(362)=(623)單循環(huán)往往省去不寫(xiě),如(2)式可寫(xiě)成2018/11/9數(shù)學(xué)與訂算科學(xué)學(xué)院123456436152=(14236任一循環(huán)可以分解為若王個(gè)含有相同數(shù)字對(duì)換之積,如(123)=(12)(23)=(13)(12)223(2312)1232132312|=(123)3121231=023而一般情況下可以證明:)=(p1D)p1p=1)(p1p2)…(p1p2)(p,p,)(p,p)(p,p.)....(p.,p)2018/11/9數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院當(dāng)兩個(gè)對(duì)換含有相同數(shù)字時(shí),這兩個(gè)對(duì)換是不可對(duì)易的,如(12(13)=(132)≠(13)(12)=(123)由此可見(jiàn),一個(gè)置換可分解為若個(gè)沒(méi)有相同數(shù)字的獨(dú)立循環(huán)之積,而一個(gè)循環(huán)又可分解為若干個(gè)含有相同數(shù)字的對(duì)換之積因此,一個(gè)置換可分解為若干個(gè)含有相同數(shù)字的對(duì)換之積由于一個(gè)循環(huán)分解為對(duì)換乘積的形式不是唯一的,如(3)式示,所以一個(gè)置換可分解為對(duì)換之積的形式不是唯一的.一個(gè)置換若能分解為奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積,則稱為奇置換,反之,一個(gè)置換若能分解為偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積,則稱為偶置換一個(gè)置換可分解為對(duì)換乘積的形式雖然不是唯一的,但其奇偶性卻是唯一的.因?yàn)槿我恢脫Q可分解為形式一定的循環(huán)乘積,而每一循環(huán)長(zhǎng)度k的奇偶性一定,若循環(huán)長(zhǎng)度k為偶數(shù),則該循環(huán)可分解為奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積如2340223134040302.反之,若長(zhǎng)度k為奇數(shù),則該循環(huán)可分解為偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積,如231223)032.任一置換P和它的逆P具有相同的奇偶性.如123(123)231123顯然兩個(gè)偶(奇)置換之積為偶置換,一個(gè)奇