二初始條件與邊界條件課件

第二章分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論第二章分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳基本思想：（1）求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解;

特點：偏微分方程化為常微分方程（2）由疊加原理作出這些解的線性組合；特點：疊加原理（3）由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等基本思想：適用范圍：實根特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程實根特征根通解求方程的通解

特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根通解求方程的通解的步解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。令帶入方程：令帶入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律一有界弦的自由振動解：步驟1，求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的解。帶入方程分情況討論：1）2）3）令，為非零實數(shù)特征值問題特征值與特征函數(shù)分情況討論：1）2）3）令步驟2，疊加原理做出解的線性組合。步驟2，疊加原理做出解的線性組合。步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。步驟3，其余的定解條件求出系數(shù)。?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個函數(shù)?求通解?確定常2解的性質(zhì)

x=x0時：其中：駐波法t=t0時：2解的性質(zhì)x=x0時：其中：駐波法t=t0時：例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移。解：例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,解：例2求下列定解問題解：例2求下列定解問題二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件初始條件初始條件若l=1,a=10時的震動。若l=1,a=10時的震動。例3

求下列定解問題解：例3求下列定解問題解：二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件令帶入方程：令例4

求下列定解問題解：二有限長桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：令例4求下列定解問題解：二有限長桿上的二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件三拉普拉斯方程的定解問題1直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：矩形區(qū)域三拉普拉斯方程的定解問題1直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件二初始條件與邊界條件課件解：令，2圓域內(nèi)的拉普拉斯問題圓形區(qū)域解：令，2圓域內(nèi)的拉普拉斯問題圓形區(qū)域第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點約束條件的變量分離形式的解把上式代入微分方程可得：即從而，我們可得到常微分方程：第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點約束條件的變量分離

與：周期本征值問題歐拉方程再利用定解條件可得：與：周期本征值問題歐拉方程再利用定解條件可得：第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程第三步：利用疊加原理和邊界條件求得原定解問題的解再利用邊界條件，有:第三步：利用疊加原理和邊界條件求得原定解問題的解再利用邊界條例5

求下列定解問題解：例5求下列定解問題解：歐拉方程令歐拉方程令其它為零其它為零二初始條件與邊界條件課件四非齊次方程的解法求下列定解問題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？非齊次方程的求解思路用分解原理得出對應(yīng)的齊次問題解出齊次問題求出任意非齊次特解疊加成非齊次解思考四非齊次方程的解法求下列定解問題方程是非