第三章-直梁彎曲課件

1第三章

直梁的彎曲

牛牛文庫文檔分享2拉壓桿：承受軸向拉、壓力梁：承受橫向力墻樓板橋板§3-1平面彎曲的概念梁的類型

牛牛文庫文檔分享3起重機大梁P

牛牛文庫文檔分享4臥式容器受風載荷的塔設備

牛牛文庫文檔分享5火車輪軸

牛牛文庫文檔分享6PP彎曲特點：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。受力特點：受到垂直于桿件軸線的外力（即橫向力）或力偶的作用變形特點：桿件的軸線由原來的直線變成曲線

牛牛文庫文檔分享7常見梁截面

牛牛文庫文檔分享8在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，受到垂直于梁的軸線的力或力偶作用，使構(gòu)件的軸線在此平面內(nèi)彎曲為曲線，這樣的彎曲稱為平面彎曲

牛牛文庫文檔分享9梁載荷的分類（4）類qq(x)均勻分布載荷線性（非均勻）分布載荷P集中力TT集中力偶T分布載荷載荷集度q(N/m)注意還有支座反力

牛牛文庫文檔分享10MA固定支座（fixedsupport)XAYAA滾動鉸支座(rollersupport)YAA固定鉸支座(pinsupport)YAXA支座種類支座反力A

牛牛文庫文檔分享11簡支梁梁的類型受力分析外伸梁懸臂梁B

AP2P1YBYAXA簡支梁：一端為活動鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座。吊車梁。

牛牛文庫文檔分享12P1P2外伸梁ABCYAYBXA外伸梁：一端或兩端伸出支座之外的簡支梁。臥式容器

牛牛文庫文檔分享13懸臂梁ABP1P2MAYAXA懸臂梁：一端為固定端，另一端為自由端的梁。

牛牛文庫文檔分享14§3-2梁彎曲時的內(nèi)力—

剪力和彎矩一、截面法求內(nèi)力—剪力Q和彎矩M1受力分析，求支座反力

牛牛文庫文檔分享15以右側(cè)計算？截面法

牛牛文庫文檔分享16左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起的剪力為正，反之為負，剪力等于該側(cè)外力的代數(shù)和。

牛牛文庫文檔分享17彎矩等于該橫截面一側(cè)所有外力對該截面形心取力矩的代數(shù)和。梁上向上的外力均產(chǎn)生正彎矩；而向下的外力均產(chǎn)生負彎矩。截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)向的力偶或截面右側(cè)逆時針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負值

牛牛文庫文檔分享18對于細長的梁，實驗和理論證明，它的彎曲變形和破壞，主要由彎矩引起，剪力的作用不大，以下討論彎矩

牛牛文庫文檔分享19

§3-3彎矩方程與彎矩圖

梁橫截面上的彎矩，一般隨橫截面的位置而變化，以坐標x表示橫截面位置，則彎矩可表示為x的函數(shù)：M=M（x）稱為梁的彎矩方程為了形象地表示梁各個橫截面上彎矩的大小與正負，將彎矩方程用圖表示，稱為彎矩圖。一、彎矩圖的作法：先求得梁的支座反力，列出彎矩方程(分段函數(shù)，范圍，坐標原點的選取)，然后選擇適當?shù)谋壤詘為橫坐標，彎矩為縱坐標，按方程作圖。正的彎矩畫在x的上方，負彎矩畫在下方。

牛牛文庫文檔分享20Pmnxl彎矩方程：（-）彎矩圖PQM例1、圖示一受集中力作用的懸臂梁，畫該梁彎矩圖。-例題3-1；左側(cè)截面：取自由端分析/固定端分析？注意最大值

牛牛文庫文檔分享21彎矩圖（-）QMqmnxl例2、圖示一受均布載荷的懸臂梁，畫該梁彎矩圖。課本例題3-2,注意x坐標原點的選取

牛牛文庫文檔分享22例3：如圖所示的簡支梁AB，在點C處受到集中力F作用，尺寸a、b和L均為已知，試作出梁的彎矩圖。x1FAFBx2FABaCbL解：1.求約束反力2.分兩段建立彎矩方程

AC段：

牛牛文庫文檔分享23BC段：LFx1ABaCbx2M=FAX2-F(X2-a)

=-FX2+aFal

牛牛文庫文檔分享24Fx1ABaCbx23.畫彎矩圖時，時，時，時，直線M

牛牛文庫文檔分享25BAlFAYqFBY例4、簡支梁受均布載荷作用試寫出彎矩方程，并畫出彎矩圖。解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出彎矩方程yxCx3.依方程畫出彎矩圖Mx

牛牛文庫文檔分享26例5：如圖所示的簡支梁AB，在點C處受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均為已知，試作此梁的彎矩圖。

解：1.求約束反力：力的方向2.分兩段建立彎矩方程

BACM0abLAC段：

x1x2

牛牛文庫文檔分享27BC段：

BACM0abLx1x2

牛牛文庫文檔分享283.畫彎矩圖BACM0abLx1x2

牛牛文庫文檔分享29課本例題3-5

牛牛文庫文檔分享30彎矩圖的規(guī)律

1.梁受集中力或集中力偶作用時，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小。

2.梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。

3.梁的兩端點若無集中力偶作用，則端點處的彎矩為0；若有集中力偶作用時，則彎矩為集中力偶的大小。P41表3-1

牛牛文庫文檔分享31解：（1）求支坐反力取全梁為研究對象，由平衡方程例6、一外伸梁受均布載荷和集中力偶作用，如圖。試作此梁的彎矩圖

牛牛文庫文檔分享32

(2)畫彎矩圖

(i)分段，初步確定彎矩圖形狀

仍將全梁分為CA、AD、DB三段。CA段有向下的均布載荷，彎矩圖為凸形的拋物線；AD、DB兩段則為傾斜直線；在A處因有集中力，彎矩圖有一折角；在D處彎矩有突變，突變之值即為該處集中力偶之力偶矩。(ii)求特殊截面上的彎矩

為畫出各段梁彎矩圖，需求以下各橫截面上彎矩：

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(iii)

作圖

在CA段內(nèi)再適當算出幾個彎矩值，標于坐標上，并與MC,MA的坐標相連，畫出拋物線；再以直線MA,MD左和MD右，MB的坐標，可得全梁的彎矩圖圖c所示。由圖可見，在D稍右處橫截面上有絕對值最大的彎矩，其值為

牛牛文庫文檔分享34熟悉梁橫向截面上的內(nèi)力計算,彎矩方程,彎矩圖的求解。要點提示

牛牛文庫文檔分享35作業(yè)72第18題(e)(h)

畫剪力圖和彎矩圖

牛牛文庫文檔分享36回顧與比較內(nèi)力應力FAyQMN

牛牛文庫文檔分享37純彎曲梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－橫力彎曲§3-4純彎曲時梁橫截面上的正應力

牛牛文庫文檔分享38純彎曲時的變形特征：實驗現(xiàn)象:1、橫線仍是直線，但發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，仍與縱線正交；2、縱線彎成曲線，且梁的下側(cè)伸長，上側(cè)縮短；

3、橫截面的高度不變，寬度在上部略為增大，下部略為縮小。假設：1、平面假設：橫截面變形后保持為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸線偏轉(zhuǎn)了一個角度。2、互不擠壓假設：所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，相互之間沒有擠壓。

牛牛文庫文檔分享39推論：1、純彎曲時梁的變形本質(zhì)上是拉伸或壓縮變形，而非剪切變形，梁橫截面寬度的改變是縱向纖維的橫向變形引起的；2、橫截面上只有正應力，而無剪應力；凹側(cè)纖維縮短，凸側(cè)纖維伸長。因此凹側(cè)受壓縮，存在壓縮應力；凸側(cè)受拉伸，存在拉伸應力；3、梁內(nèi)既沒有伸長也沒有縮短的纖維層，叫做中性層，中性層與橫截面的交線叫中性軸，中性層將梁分成受壓和受拉區(qū)，即中性層一側(cè)作用拉伸應力，另一側(cè)作用壓縮應力，中性層上正應力為零，梁橫截面的偏轉(zhuǎn)就是繞其中性軸旋轉(zhuǎn)的。

牛牛文庫文檔分享40梁純彎曲時橫截面上正應力的分布規(guī)律由平面假設可知，純彎曲時梁橫截面上只有正應力而無切應力。由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應力沿橫截面高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應力，使梁縮短，凸邊是拉應力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點的正應力相等，距中性軸最遠點有最大拉應力和最大壓應力，中性軸上各點正應力為零。

牛牛文庫文檔分享41彎曲變形與應力的關系

縱向纖維的線應變：正應力：

根據(jù)軸向拉壓時的虎克定律有：應力與中性軸距離關系

牛牛文庫文檔分享42橫截面上距中性軸為y處，取微面積dA，其上作用的內(nèi)力為σ·dA，對中性軸的力矩為y·σ·dA，橫截面上所有內(nèi)力矩的總和就是橫截面上的彎矩M，即

積分為橫截面對中性軸z的慣性矩，用Jz表示，單位為m4，是與截面尺寸和形狀有關的一個幾何量。應力計算

牛牛文庫文檔分享43梁純彎曲時正應力計算公式在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力為：MPa即：最大正應力為(MPa)：M和y均以絕對值代入，至于彎曲正應力是拉應力還是壓應力，則由欲求應力的點處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。受拉側(cè)的彎曲正應力為正，受壓側(cè)的為負。

M--截面上的彎矩(N.mm)y--計算點到中性軸距離(mm)Jz--橫截面對中性軸慣性矩Wz--抗彎截面模量抗彎截面模量

牛牛文庫文檔分享44三、彎曲正應力公式的適用范圍1、純彎曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的橫截面將發(fā)生翹曲，同時橫向力將使梁的縱向纖維間產(chǎn)生局部擠壓應力。彈性力學精確分析表明，當跨度L

與橫截面高度h

之比L/h>5

（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。2、具有縱向?qū)ΨQ面的各種截面形狀的梁，但注意中性軸不是橫截面的對稱軸時，上下表面的抗彎截面模量不同。3、彈性變形階段。

牛牛文庫文檔分享45

常用截面的慣性矩和抗彎截面模量1矩形截面慣性矩抗彎截面模量

牛牛文庫文檔分享46空心圓截面圓截面

牛牛文庫文檔分享47§3-5梁彎曲的強度條件強度條件：梁內(nèi)危險截面上的最大彎曲正應力不超過材料的許用彎曲應力，即M—危險截面處的彎矩（N.mm）-單位統(tǒng)一Wz—危險截面的抗彎截面模量（mm）

—材料的許用應力(Mpa)31設計截面2強度校核3計算許可載荷

牛牛文庫文檔分享48例

容器四個耳座支架在四根各長2.4m的工字鋼梁的中點上，工字鋼再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字鋼為16號型鋼，鋼材彎曲許用應力[σ]=120MPa，試校核工字鋼的強度。

牛牛文庫文檔分享49最大彎矩在梁的中間??-：由型鋼表查得16號工字鋼的Wz=141cm3（附錄6）

牛牛文庫文檔分享50分析（1）確定危險截面（3）計算（4）計算，選擇工字鋼型號某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重材料的許用應力起重量跨度試選擇工字鋼的型號。（2）例題2

牛牛文庫文檔分享51（4）選擇工字鋼型號（3）根據(jù)計算（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼

牛牛文庫文檔分享52課本例題3-8~3-10

牛牛文庫文檔分享53例3：某梁由工字鋼制成，材料為Q235A.F，[σ]=160MPa,P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m,確定工字鋼的型號RCRB1畫受力圖

牛牛文庫文檔分享542求支座反力P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m

牛牛文庫文檔分享55在AC段：(0<x<1)3列剪力和彎矩方程：分AC和CB段P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m逆時針

牛牛文庫文檔分享56在CB段：(1<x<5)4畫Q－M圖P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.mCMPq

牛牛文庫文檔分享57

牛牛文庫文檔分享585

求最大WZ查附表，應選用20a工字鋼，WZ＝237×103mm3

牛牛文庫文檔分享59掌握彎曲正應力的計算，強度條件和變形計算。重點內(nèi)容梁的彎曲強度條件:彎曲變形時的剛度條件:重點內(nèi)容梁的彎曲強度條件:作業(yè)課后題18,20

牛牛文庫文檔分享60§3-7提高梁強度的主要措施1.降低Mmax

：合理安排支座合理布置載荷

牛牛文庫文檔分享61合理布置支座FFFL/4

牛牛文庫文檔分享62合理布置支座

牛牛文庫文檔分享63合理布置載荷F

牛牛文庫文檔分享642.增大WZ：

合理設計截面合理放置截面

牛牛文庫文檔分享65合理設計截面由于h>b,所以Wz1>Wz2

牛牛文庫文檔分享66塑性材料，許用拉壓應力相等，采用對中性軸對稱的截面：工字，矩形。脆性材料，許用壓力大于許用拉力，使中性軸偏于受拉一側(cè)：T型

牛牛文庫文檔分享67采用等強度梁等截面梁在彎曲時各截面的彎矩是不相等的，如果以最大彎矩來確定截面尺寸，則除彎矩最大的截面外，其余截面的應力均低于彎矩最大的截面，這時材料就沒有得到充分利用，為了減輕自重，并充分發(fā)揮單位材料的抗彎能力，可使梁截面沿軸線變化，以達到各截面上的最大正應力都近似相等，這種梁稱為等強度梁。但等強度梁形狀復雜，不便于制造，所以工程實際中往往制成與等強度梁相近的變截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐漸減小的形狀，較好地體現(xiàn)了等強度梁的概念。而機械中的多數(shù)圓軸則制成了變截面的階梯軸。

牛牛文庫文檔分享683、等強度梁

牛牛文庫文檔分享69

牛牛文庫文檔分享70§3-7梁的彎曲變形-剛度7-1吊重物時，梁彎曲變形

牛牛文庫文檔分享71化工廠管道，

牛牛文庫文檔分享72

1、撓度（Deflection）橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用f表示.二、基本概念f撓度C'CAB

w

x

牛牛文庫文檔分享732、轉(zhuǎn)角

(slope)

橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用表示轉(zhuǎn)角AC'CwB

xf撓度（

牛牛文庫文檔分享743、撓曲線

(Deflectioncurve)梁變形后的軸線稱為撓曲線.式中,x

為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,f為該點的撓度.撓曲線撓曲線方程(Equationofdeflectioncurve)為wAB

x轉(zhuǎn)角f撓度（C'C

牛牛文庫文檔分享754、撓度與轉(zhuǎn)角的關系（Relationshipbetween

deflectionandslope)：wAB

x轉(zhuǎn)角w撓度C'C撓曲線在小變形(θ很小)的情況下,轉(zhuǎn)角等于撓度曲線上與該截面對應點的切線斜率θ很小

牛牛文庫文檔分享765、撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定（Signconventionfordeflectionandslope)撓度向上為正,向下為負.轉(zhuǎn)角自x轉(zhuǎn)至切線方向,逆時針轉(zhuǎn)為正,順時針轉(zhuǎn)為負.

wAB

x轉(zhuǎn)角f撓度C'C撓曲線

牛牛文庫文檔分享77撓曲線微分方程撓曲線可用y=f(x)表示，撓曲線曲率：數(shù)學定義曲率綜合兩式：曲率半徑與M關系

牛牛文庫文檔分享78用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分C1、C2為積分常數(shù)，據(jù)邊界條件確定積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程：

牛牛文庫文檔分享792.位移邊界條件PABCPD支點位移條件：連續(xù)光滑條件：PABC（集中力、集中力偶作用處，截面變化處）

牛牛文庫文檔分享80解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xyPLa二次積分四)積分法求梁的變形

牛牛文庫文檔分享81應用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxy

牛牛文庫文檔分享82寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxyP51-例3-12

牛牛文庫文檔分享83例3求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，梁的EJ已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：

牛牛文庫文檔分享843）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：

牛牛文庫文檔分享854）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件

牛牛文庫文檔分享865）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：

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積分法求梁變形

①適用于小變形、彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲②可應用于各種載荷的等截面或變截面梁的變形③積分常數(shù)由撓曲線變形的邊界條件確定④優(yōu)點——使用范圍廣，精確；缺點——計算較繁

牛牛文庫文檔分享88設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4三.用疊加法求梁的變形

牛牛文庫文檔分享89故由于梁的邊界條件不變