現(xiàn)代信號處理第2章時域分析

2021/7/30機械工程及自動化研究所現(xiàn)代信號處理技術(shù)及應(yīng)用第二章信號的時域分析西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院研究生學(xué)位課程第二章信號的時域分析信號的預(yù)處理信號的采樣時域統(tǒng)計分析相關(guān)分析及應(yīng)用引言以時間為自變量描述物理量的變化是信號最基本、最直觀的表達形式。在時域內(nèi)對信號進行濾波、放大、統(tǒng)計特征計算、相關(guān)性分析等處理，統(tǒng)稱為信號的時域分析。通過時域分析方法，可以有效提高信噪比，求取信號波形在不同時刻的相似性和關(guān)聯(lián)性，獲得反映機械設(shè)備運行狀態(tài)的特征參數(shù)，為機械系統(tǒng)動態(tài)分析和故障診斷提供有效的信息。第二章信號的時域分析信號的預(yù)處理信號的采樣時域統(tǒng)計分析相關(guān)分析及應(yīng)用2.1

信號的預(yù)處理傳感器獲取的信號往往比較微弱，并伴隨著各種噪聲。不同類型的傳感器，其輸出信號的形式也不盡相同。為了抑制信號中的噪聲，提高檢測信號的信噪比，便于信息提取，須對傳感器檢測到的信號進行預(yù)處理。所謂信號預(yù)處理，是指在對信號進行變換、提取、識別或評估之前，對檢測信號進行的轉(zhuǎn)換、濾波、放大等處理。2.1

信號的預(yù)處理常用的信號預(yù)處理方法信號類型轉(zhuǎn)換應(yīng)變測力傳感器、熱電阻傳感器輸出的信號均為電阻信號，為了便于后續(xù)處理常用電橋?qū)㈦娮栊盘栟D(zhuǎn)變?yōu)殡妷盒盘栃盘柗糯蟪Ｓ玫男盘柗糯笃靼ǎ簻y量放大器、隔離放大器、可編程增益放大器等信號濾波（本節(jié)重點介紹）去除均值在計算信號的標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計量時，需要去除信號均值去除趨勢項常用的趨勢項消除方法有濾波法、多項式擬合法2.1.1

信號的濾波處理信號濾波處理是消除或減弱干擾噪聲，保留有用信號的過程。把實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱之為濾波器。濾波器可分為兩大類，即經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。1.

經(jīng)典濾波器定義：當(dāng)噪聲和有用信號處于不同的頻帶時，噪聲通過濾波器將被衰減或消除，而有用信號得以保留分類根據(jù)幅頻特性的不同，濾波器分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等類型。根據(jù)處理信號類型的不同，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。對于數(shù)字濾波器來說，根據(jù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列長度的無限和有限，數(shù)字濾波器可進一步分為無限沖擊響應(yīng)(IIR)濾波器和有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器兩類。1)

經(jīng)典濾波器原理經(jīng)典濾波概念和方法建立在頻域分析基礎(chǔ)上x(t)

s(t)

n(t)濾波后的信號為y(t)濾波器的傳遞函數(shù)或濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H

(

)

Y

(

)

/

X

(

)H

()

0,

當(dāng)S

(

)

0時H

()

1,

當(dāng)S

(

)

0時y(t)

x(t)

*

h(t)濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)

F

1{H

(

)}在噪聲頻帶和有用成分頻帶分離的情況下，通過設(shè)計如下的濾波器函數(shù)H

()

X

(

)

S

(

)

N

(

)Y

(

)

S

(

)(2.1.1)2)理想模擬濾波器理想模擬濾波器是一個理想化的模型，對其討論有助于進一步了解和改進實際濾波器的性能理想模擬濾波器的幅頻特性曲線|H

(

j

)|c(a)低通|

H(

j

)|(b)高通c|H

(

j

)|(c)帶通

c1

c2|H

(

j

)|c1

c2(d)帶阻圖2.1.1理想模擬濾波器由于理想低通濾波器具有矩形幅頻特性和線性相位特性。同時，理想高通、帶通和帶阻濾波器均可以由理想低通濾波器串聯(lián)得到。因此，以后均以理想低通濾波器為例來說明幅頻、相頻特性c

c(

j

)

理想低通濾波器的矩形

H

(

j

)

10|

H(

j

)|-cc01幅頻特性(

j

)0-0

相頻特性

(2.1.4)理想模擬濾波器理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)sin

)00

sin

c[

(t

)]

(t

)

(t

h(t)

ccc

000

C

Cth(

t

)h(

t

)

=4tc

=2

c

=

3c(2.1.5)3)實際濾波器及其基本參數(shù)實際的濾波器為了物理上可實現(xiàn)，通常在通帶和阻帶之間設(shè)置過渡帶H(j)ss0p

c11-p0.707c

p

通帶邊緣頻率

s

阻帶邊緣頻率

截止頻率(濾波器的半功率點)實際濾波器及其基本參數(shù)實際濾波器的幅頻特性幅值在通帶和阻帶內(nèi)一般不嚴(yán)格為1和0。它們分別允許的波動量分別為

p

s波動的大小分別用通帶和阻帶內(nèi)的衰減p1pp|

H

(e

j

)

|j|

H

(e

j

p1

)

|

0

20

lg

20

lg

|

H

(e

)

|

20

lg(1

)sjs1|

H

(e

j

)

|

0

20

lg

20

lg

|

H

(e

)

|

|

H

(e

js1

)

|20

lg(1

s

)實際濾波器的參數(shù)還有：波紋幅度、帶寬、品質(zhì)因數(shù)和倍頻程選擇性等4)數(shù)字濾波器的設(shè)計kk數(shù)字濾波器有無限沖擊響應(yīng)IIR型濾波器和有限沖擊響應(yīng)FIR型濾波器之分IIR型數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)是Mr

ra

zb

zk

1 r

0

N1

H

(z)

z

e

jtFIR型數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)是N

1H

(z)

h(n)z

nn0h(n)

濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法簡述FIR型數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要是建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上的。這些近似方法有窗函數(shù)法、頻率抽樣法等；IIR型數(shù)字濾波器的設(shè)計屬于間接設(shè)計法。IIR型數(shù)字濾波器目前最通用的設(shè)計方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計方法來進行設(shè)計。而模擬濾波器的設(shè)計方法又有巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)和橢圓濾波器等不同的設(shè)計方法。數(shù)字濾波器的設(shè)計方法簡述不論是FIR型數(shù)字濾波器還是IIR型數(shù)字濾波器的設(shè)計都包括三個步驟Matlab數(shù)字濾波器設(shè)計演示(FDATool.fda,SPTool.fda)2．現(xiàn)代濾波器當(dāng)噪聲頻帶和有用信號頻帶相互重疊時，經(jīng)典濾波器就無法實現(xiàn)濾波功能現(xiàn)代濾波器也稱統(tǒng)計濾波器，從統(tǒng)計的概念出發(fā)對信號在時域進行估計，在統(tǒng)計指標(biāo)最優(yōu)的意義下，用估計值去逼近有用信號，相應(yīng)的噪聲也在統(tǒng)計最優(yōu)的意義下得以減弱或消除常用的統(tǒng)計濾波器有維納濾波器和卡爾曼濾波器兩類1）維納濾波器20世紀(jì)40年代第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要，Wiener提出并解決了平穩(wěn)過程的最佳線性濾波問題采用線性最小均方誤差估計準(zhǔn)則，設(shè)計的最佳濾波器稱為維納(Wiener)濾波器x(t)

s(t)

n(t)ftt0x(

)h(t

)ds(t)

?E{e2

(t)}

minE[s(t)

s?(t)]2

h(t):脈沖響應(yīng)函數(shù)，按最小均方誤差準(zhǔn)則確定(2.1.8)(2.1.9)維納濾波器維納濾波器可根據(jù)t時刻，及t以前時刻的觀測值x(t)，實現(xiàn)以下三個方面的應(yīng)用2）卡爾曼濾波器維納濾波器由于計算量大，難以作實時處理，故不能廣泛應(yīng)用，同時它對非平穩(wěn)信號的濾波也無能為力。60年代初由于航天事業(yè)發(fā)展的需要，卡爾曼

(Kalman)和布西(Bucy)在解決非平穩(wěn)、多輸入輸出隨機序列的估計問題中引入了狀態(tài)變量，在克服維納濾波某些局限的基礎(chǔ)上，提出了被后人稱為卡爾曼濾波的新濾波方法。該方法在雷達、通信、控制、生物和勘探等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用卡爾曼濾波器卡爾曼濾波是線性最小均方誤差濾波器的另一種處理方法。卡爾曼濾波建立在已知隨機信號模型的基礎(chǔ)上，包括模型的階次、模型的參數(shù)和激勵白噪聲的統(tǒng)計特性。其原理是用信號前一時刻的估計值與測量值的誤差項的加權(quán)平均作為當(dāng)前時刻的估計值。s?(n)

as?(n

1)

Gn

[x(n)

acs?(n

1)](2.1.10)信號前一時刻估計值測量值的誤差項常數(shù)a和c分別表示參數(shù)模型和測量模型的參數(shù)，用Gn表示n

時刻的加權(quán)系數(shù)。維納濾波器與卡爾曼濾波器對比卡爾曼濾波的特點是把信號的先驗知識用信號的模型表達出來；在時域上引入狀態(tài)變量法進行處理；采用遞推型的線性最小均方誤差算法?？柭鼮V波和維納濾波都是在應(yīng)用隨機信號和觀測噪聲的前二階矩的統(tǒng)計特性，以線性最小均方估計解決隨機信號的濾波問題。維納濾波需要給出隨機信號和噪聲的有理譜形式；卡爾曼濾波則要求把隨機信號規(guī)定為白噪聲驅(qū)動的線性系統(tǒng)的輸出。維納濾波理論適應(yīng)于平穩(wěn)隨機過程；卡爾曼濾波適用于有限初始時間的非平穩(wěn)隨機過程。第二章信號的時域分析信號的預(yù)處理信號的采樣時域統(tǒng)計分析相關(guān)分析及應(yīng)用2.2

信號的采樣將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成離散的數(shù)字序列過程就是信號的采樣，它包含了離散和量化兩個主要步驟。本節(jié)主要介紹采樣過程中采樣與混頻、量化與誤差、采樣長度與分辨率及窗函數(shù)與泄露四方面的內(nèi)容。2.2.1

采樣與混頻設(shè)模擬信號為x(t)，間距為t

的采樣脈沖函數(shù)為p(t)+n=-p(t

)

=

δ(

t

-

nt

)采樣過程是x(t)和p(t)相乘，得到離散信號x(nt

)+n=-x(nt

)

=

x(

nt

)δ

(

t

-

nt

)設(shè)x(t)的傅里葉變換為X()。采樣脈沖函數(shù)p(t)的傅里葉變換為+m=-)2mtδ

(

2tP(

)=(2.2.1)(2.2.2)模擬信號、采樣脈沖函數(shù)及其頻譜0tx

(

t

)(a

)原函數(shù)0X

(

)

m

a

x-

m

a

x0tp

(

t

)1(c

)采樣沖擊函數(shù)

t

0

(b

)原函數(shù)頻譜P

(

)(d

)采樣沖擊函數(shù)的頻譜

s

=

2

/

t離散信號及其頻譜根據(jù)頻域卷積定理可知，則式(2.2.1)所示離散信號x(nt

)的傅里葉變換為離散信號及其頻譜+m=-ttX

(

-

)2

2mX

(

)

=0nx

(

n

)=

x

(

t

)

p

(

t

)(e

)離散時間信號

t0X

(

)*

P

(

)(f

)采樣序列的頻譜

s

=

2

/

t

m

a

x-

m

a

x頻譜混疊，不能由頻譜準(zhǔn)確地恢復(fù)原信號(2.2.3)采樣定理采樣定理：為避免混疊，采樣頻率s

必須不小于信號中最高頻率max

的兩倍s

2max即

t

/

max實際中采樣頻率的選取往往留有余地，一般選取采樣頻率s為處理信號中最高頻率的2.5～4倍。另外，由于測量信號中的高頻部分往往是由干擾引起的噪聲或我們不感興趣的頻譜，因此采樣前須先對信號進行低通濾波(又稱抗混濾波)。然后再根據(jù)濾波后信號的最高頻率max設(shè)定采樣間隔。p28或

t

1/(2

fmax

)2.2.2

量化與誤差量化是對信號采樣點取值進行數(shù)字化轉(zhuǎn)換的過程。量化結(jié)果以一定位數(shù)的數(shù)字近似表示信號在采樣點的取值。由于模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有限，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸出只能表達一系列具有一定間隔的電平。當(dāng)模擬信號在采樣點上的取值落在兩個相鄰電平之間時，就要舍入到相近的一個電平上，我們把這一過程稱之為量化。若設(shè)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為N，采用二進制編碼，轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換的電壓范圍為V，則相鄰電平之間的增量為2N

1

V(2.2.4)2.2.3

窗函數(shù)與泄漏理論上信號的長度是無限的，但任何觀測信號都是在有限時間段內(nèi)進行觀測的。因此，信號采樣過程須使用窗函數(shù)，將無限長信號截斷成為有限長度的信號。從理論上看，截斷過程就是在時域?qū)o限長信號乘以有限時間寬度的窗函數(shù)窗函數(shù)與泄漏最簡單的窗函數(shù)是矩形窗|

t

|

<

T|

t

|

=

T|

t

|

>

T

0

1w(t)=

0.5sin(T

)TW

(

)

=

2

Tw(

t)t1(a)矩形窗函數(shù)-T

0

TW(

)0(b)矩形窗函數(shù)幅頻曲線Tπ-2TT無限帶寬泄漏窗函數(shù)與泄漏泄漏與截斷長度、所使用的窗函數(shù)等有關(guān)。不進行信號截斷就沒有泄漏誤差。另外，使用不同的窗函數(shù)泄漏大小也不同。泄漏取決于窗函數(shù)頻譜的旁瓣。如果窗函數(shù)的旁瓣小，相應(yīng)的泄漏也小。其它窗函數(shù)三角窗|

t

|

T|

t

|

TT01

1

|

t

|w(t)

=

T

/

2sin(T

/

2)

2W

(

)

=

T

w(

t

)t01(a)

三角窗函數(shù)-T

T0(b)

三角窗函數(shù)幅頻曲線T2

-2

TW(

)T其它窗函數(shù)漢寧窗|

t

|

T|

t

|

T2

T0w(t)

=

21

1

cos(t

)1

(T

)2W

(

)=

sin(T

)

1

w(

t

)t(c)

漢寧窗函數(shù)-T

0

TW(

)0(d)

漢寧窗函數(shù)幅頻曲線T1-1TT2.2.4

采樣長度與分辯率數(shù)字信號的分辨率包括時間分辨率和頻率分辨率。數(shù)字信號的時間分辨率即采樣間隔t，它反映了數(shù)字信號在時域中取值點之間的細密程度。數(shù)字信號的頻率分辨率為

=2

/T

，其中T

=Nt為數(shù)字信號的時間跨度，N為數(shù)字信號的長度。頻率分辨率表示了數(shù)字信號的頻譜在頻域中取值點之

間的細密程度。因此，當(dāng)采樣頻率或采樣間隔確定后，增大采樣點數(shù)就可增加信號的時間長度和頻率分辨率。第二章信號的時域分析信號的預(yù)處理信號的采樣時域統(tǒng)計分析相關(guān)分析及應(yīng)用2.3

時域統(tǒng)計分析信號的時域統(tǒng)計分析是指對信號的各種時域參數(shù)、指標(biāo)的估計或計算。常用的時域參數(shù)和指標(biāo)包括：均值；均方值；均方根值；方差；標(biāo)準(zhǔn)差；概率密度函數(shù)；概率分布函數(shù)；聯(lián)合概率密度函數(shù)等。本節(jié)先介紹常見參數(shù)的概念，然后給出它們的應(yīng)用。2.3.1

時域指標(biāo)參數(shù)(1)均值T

x

1TTx(t)dt0

lim(2)均方值、方差2x

1TψTx2

(t)dt0T

limTxT

02

1T2x

limx(t)

dt2x2x2x

P32時域指標(biāo)參數(shù)(3)概率密度函數(shù)隨機信號的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率可用下式表示概率密度函數(shù)定義為Tp

x

lim

1

[

lim

T

]x0

x

T

概率分布函數(shù)的定義為prbTT

P(x)

P[x(t)

]

lim

TprbTT

P

[x

x(t)

x

x]

lim

T時域指標(biāo)參數(shù)(4)有量綱參數(shù)指標(biāo)有量綱參數(shù)指標(biāo)包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四種。若隨機信號符合平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)條件，且均值為零，概率密度函數(shù)為p(x)，則有量綱參數(shù)指標(biāo)的定義如下,1/

lldrmsx=

x

p(x)dxx

xr

,

l

1/

2x

,

l

1l

2l

xp

,

方根幅值平均幅值均方幅值峰值時域指標(biāo)參數(shù)上述的有量綱參數(shù)指標(biāo)也可在時域定義00101TrTrmsTx(t)

dtTT

12x

x(t)

dt

x

xd

T

2x2

(t)dtx

1x

E

max

x(t)

pp33時域指標(biāo)參數(shù)(5)無量綱參數(shù)指標(biāo)有量綱參數(shù)指標(biāo)不但與機器的狀態(tài)有關(guān)，且與機器的運動參數(shù)如轉(zhuǎn)速、載荷等有關(guān)。而無量綱參數(shù)指標(biāo)具有對信號幅值和頻率變化均不敏感

的特點。這就意味著理論上它們與機器的運動條件無關(guān)，只依賴于概率密率函數(shù)的形狀。所以無量綱參數(shù)指標(biāo)是一種較好的機器狀態(tài)監(jiān)測診斷參數(shù)。無量綱參數(shù)指標(biāo)包括了波形指標(biāo)、峰值指標(biāo)、脈沖指標(biāo)和裕度指標(biāo)。定義為1/mx

m

p(x)dxx

l

p(x)dx1/lζ

x

(2.3.10)無量綱參數(shù)指標(biāo)當(dāng)上式中的l

和m

取不同值時，就得到如下指標(biāo)：無量綱參數(shù)指標(biāo)3xS

(5)

偏斜度指標(biāo)(6)

峭度指標(biāo)4xK

Tx03

u

dtx(t)1T

TxT04

u

dtx(t)

1偏斜度指標(biāo)S表示信號概率密度函數(shù)的中心偏離正態(tài)分布的程度，反映信號幅值分布相對其均值的不對稱性。峭度指標(biāo)K則表示信號概率密度函數(shù)峰頂?shù)亩盖统潭龋从承盘柌ㄐ沃械臎_擊分量的大小。2.3.2

參數(shù)指標(biāo)的應(yīng)用1)利用概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)進行產(chǎn)品質(zhì)量控制，研究材料的強度和控制設(shè)備的工作穩(wěn)定性當(dāng)圖(a)代表一批零件的加工尺寸，則根據(jù)

圖(b)、圖(c)可判斷

加工過程的質(zhì)量高低，進而可評價或判斷機

床工具是否應(yīng)該調(diào)整、操作工人的技術(shù)熟練

程度等。（b）-5V+5V

幅值概率密度函數(shù)0(a)—隨機信號(b)—概率密度函數(shù)(c)—概率分布函數(shù)（c）+5V-5V幅值0概率分布函數(shù)（a）0t幅值5V-5V參數(shù)指標(biāo)的應(yīng)用概率密度函數(shù)用于機器狀態(tài)判斷新變速箱噪聲的概率密度曲線如圖2.3.3(a)所示，舊變速箱噪聲的概率密度曲線如圖2.3.3(b)所示(b)(a)00p(x)p(x)(a)新變速箱(b)舊變速箱xx參數(shù)指標(biāo)的應(yīng)用機器狀態(tài)的時域參數(shù)指標(biāo)判斷方法。診斷參數(shù)指標(biāo)一般應(yīng)滿足如下要求：①易于測量和計算，所需計算機存儲量小。②能敏銳地反映和預(yù)報機器的早期故障。③不受機器運行狀態(tài)，如負載、轉(zhuǎn)速等變化的影響。④能夠指示故障的存在，以便及時排查故障。參數(shù)指標(biāo)的應(yīng)用圖2.3.4表示了28只汽車后橋齒輪在不同運行狀態(tài)下，由振動加速度信號計算得到的無量綱參數(shù)指標(biāo)51015202528321無量綱參數(shù)指標(biāo)I、C、KKCI齒輪編號波形指標(biāo)W的變化很小，沒有足夠的診斷能力；而峰值指標(biāo)C和脈沖指標(biāo)I可以作為齒輪運行狀態(tài)的優(yōu)良診斷指標(biāo)。W第二章信號的時域分析信號的預(yù)處理信號的采樣時域統(tǒng)計分析相關(guān)分析及應(yīng)用2.4.1

相關(guān)的概念所謂相關(guān)，就是指變量之間的線性聯(lián)系或相互依賴關(guān)系。根據(jù)前面的討論，變量之間的聯(lián)系可通過反映變量的信號之間的內(nèi)積或投影大小來刻畫。設(shè)有實信號x(t)和y(t)，它們的內(nèi)積可寫成T0x(t)

y(t)dt

x,

y

(2.4.1)TT

T01x(t)

y(t

)dtR(

)

lim(2.4.2)如果信號x(t)和y(t)隨自變量時間的取值相似，內(nèi)積結(jié)果就大。反之亦然。因此，通過式(2.4.1)可定義信號x(t)和y(t)的相關(guān)性度量指標(biāo)。2.4.2

自相關(guān)函數(shù)及其應(yīng)用信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)定義為Tx0T

R

(

)

lim

1

T

x(t)x(t

)dt2xxxR

(

)

(

)

2x(t)=x0

sin(ω0t+

)x

2Rx(

)= 0

cos(

ω0

t

)自相關(guān)函數(shù)及其應(yīng)用幾種常見信號的自相關(guān)函數(shù)x(t)t0(a)正弦信號x(

t

)t0(c)正弦加隨機噪聲信號Rx(

)0(b)正弦信號的自相關(guān)函數(shù)Rx(

)0(d)正弦加隨機噪聲的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)及其應(yīng)用幾種常見信號的自相關(guān)函數(shù)x(

t

)t0(e)窄帶隨機噪聲x(

t

)t0(g)寬帶噪聲