千年輪回只為證明你的直覺

/千年輪回,只為證明你的直覺我都覺得這個(gè)題目太具有文藝范兒了,搞得像白蛇傳一樣……數(shù)學(xué)史上的故事,雖沒白蛇傳那么蕩氣回腸,卻也沖動(dòng)人心,特別當(dāng)我們這種千年后人回憶這些事。今日要介紹的,就是圍繞在著名的希波克拉底月牙定理的種種故事。一切長話短說了。一：數(shù)與形的競爭古人從現(xiàn)實(shí)生活中逐漸提煉出根本的數(shù)學(xué)概念,并且這些概念結(jié)論什么的逐漸分成兩大陣營——幾何與算術(shù)。這兩門學(xué)科不像現(xiàn)在那般相互促進(jìn),而是在相互競爭——誰管用就信誰,跟中國人信神一樣。當(dāng)幾何中有了新的發(fā)現(xiàn),幾何便占據(jù)優(yōu)勢,算術(shù)漸被多數(shù)人無視；而當(dāng)算術(shù)有了新的發(fā)現(xiàn),算術(shù)又取代幾何的位置成為主流。二：畢氏學(xué)派和幾何的勝出畢達(dá)哥拉斯學(xué)派大概是以著名的畢達(dá)哥拉斯定理〔也就是勾股定理〕而讓我們熟知。實(shí)際上這只是畢氏學(xué)派在幾何中的一大奉獻(xiàn)而已,他們在算術(shù)中的思想往往被我們無視——大概是這種思想被證明是一種荒唐之故——“萬物皆數(shù)〞,關(guān)于這種思想的具體介紹我就不贅述了,網(wǎng)上一搜一大把。我們應(yīng)該提起這種思想是想讓大家知道,畢氏學(xué)派一開始是在幾何與算術(shù)兩大陣營都有建樹的,并無偏頗一方之意。但“成也蕭何,敗也蕭何〞,畢氏學(xué)派因該定理流傳千古,也因該定理毀了自己的思想根基——正是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯定理導(dǎo)致了“無理數(shù)〞的發(fā)現(xiàn)。這對畢氏學(xué)派來說是災(zāi)難性的,對人類來說卻是一大喜事。然而不可公度數(shù)的發(fā)現(xiàn),并沒有引導(dǎo)人們?nèi)ミM(jìn)一步研究數(shù)的性質(zhì),反倒讓人們對算術(shù)失去了信心,就從這個(gè)節(jié)骨眼開始,幾何對算術(shù)的優(yōu)勢一直支配著希臘,足有一千多年。三：對面積的癡迷,對美和秩序的追求古希臘人被幾何的對稱性,視覺美和微妙的邏輯結(jié)構(gòu)吸引住了,尤其是化繁為簡的處理方式,即以簡單和根本的東西作為復(fù)雜和紛繁問題的處理根底。如果要從大自然中體驗(yàn)到一種幾何體,那么最常見的莫過于直線和圓了,對直線和圓的癡迷,使得直尺和圓規(guī)成為了幾何作圖的核心工具〔至少在希臘是如此〕,而直尺和圓規(guī)的實(shí)用性反過來增進(jìn)了直線和圓在希臘幾何學(xué)中的地位。對幾何中美和對稱性的追求,希臘人開始研究起面積,其本意我猜想是想把描述平面圖大小的量轉(zhuǎn)化成簡單的正方形。面對著一般圖形求面積的困難,在希臘人心中就萌發(fā)“用一個(gè)正方形面積取代一個(gè)平面圖形的面積〞的想法,因?yàn)槿绻軐?shí)現(xiàn),那么規(guī)那么對稱的正方形替換了不規(guī)那么不對稱的平面圖形,這是一種以對稱取代不對稱,以完美取代不完美,以有理性取代無理性的過程,也是宇宙所固有的簡約和美的象征。四：直邊圖形的遺憾,月牙定理的“曙光〞憑著古希臘人得才華,人們已經(jīng)能僅憑“尺規(guī)作圖〞,用正方形的面積表示任何“直邊圖形〞的面積,但曲邊圖形卻遇到了困難。人們起初疑心這種方案的可行性,因?yàn)橹庇X認(rèn)為尺規(guī)不能將曲邊拉直。然而希波克拉底帶著他的月牙定理,讓眾人看到了“化曲為直〞的希望。如下列圖所示,很容易證明圖中的兩個(gè)陰影局部的面積是一樣的〔證明過程網(wǎng)上諸多〕。該定理一面世便引起軒然大波,太提神了！一個(gè)曲邊圖形的面積就這樣化成了一個(gè)直邊圖形,這位那些一心想尋找化曲為直的數(shù)學(xué)家來說實(shí)在是太振奮人心。有傳言稱希波克拉底個(gè)人都據(jù)此宣稱他已經(jīng)解決化圓為方問題,在后來的辛普利西烏斯的轉(zhuǎn)述中提到所謂的“化圓為方〞問題解決方法。后來證實(shí)這是錯(cuò)誤的——作者錯(cuò)誤地將此月牙推廣到任意月牙,實(shí)際上直到20世紀(jì),才由數(shù)學(xué)家們證明僅存在五種月牙形能用正方形來表示面積。當(dāng)然這是后話,不管是非如何,月牙定理確實(shí)激起了大家對化圓為方問題的興趣,而且他們?nèi)绱酥?一做就是兩千多年……五：千年后的終結(jié)兩千多年來,盡管無數(shù)的科學(xué)家為幾大幾何作圖問題費(fèi)盡心思卻仍未有任何突破,但人們始終相信,這些都只是數(shù)學(xué)家們的能力不夠而已。直到1882年,德國的費(fèi)迪南德·林德曼證明了該問題的不可能性——根本原因就在于圓周率π的超越性,這個(gè)問題才算得到了圓滿的解決?；貞浾麄€(gè)歷史的開展過程,當(dāng)人們最初提到用尺規(guī)化圓為方時(shí),人們直覺認(rèn)為這是不可能的,但是月牙定理顛覆了直覺,而后,林德曼等人的否認(rèn)結(jié)