函數概念的產生及其背景

函數概念的產生及其背景第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月函數產生的社會背景:歷史表明，重要數學概念對數學發(fā)展的作用是不可估量的，函數概念對數學發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發(fā)展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發(fā)展，數學學習的巨大作用。第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(一)馬克思曾經認為，函數概念來源于代數學中不定方程的研究。由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽。自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉和公轉，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數概念就是從運動的研究中引申出的一個數學概念，這是函數概念的力學來源。第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸并研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等。1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義。第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1673年，萊布尼茲首次使用函數一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。由此可以看出，函數一詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關系，直到1689年，瑞士數學家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為。第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，由于連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子，取名為解析函數，還將它分成了“代數函數”與“超越函數”。18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數”的說法．在解釋“任意的函數”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”?，F在看來這都是函數的表達方式，是函數概念的外延。第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)函數概念缺乏科學的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾。例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛應用，但由于沒有函數的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立。1833年至1834年，高斯開始把注意力轉向物理學，他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了，實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究。第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數?！斑@個定義雖然還沒有道出函數的本質，但卻把變化、運動注入到函數定義中去，是可喜的進步?！痹诤瘮蹈拍畎l(fā)展史上，法國數學家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數的本質，主張函數不必局限于解析表達式。1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個?！?/p>

第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月在該書中,他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數.更確切地說就是,任意一個以2π為周期函數.在[-π，π]區(qū)間內，可以由表示出，其中,。富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關于函數概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數學界引起了很大的震動。原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了，那種視函數為解析式的觀點終于成為揭示函數關系的巨大障礙。第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月通過一場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義。1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的?！边@個定義建立了變量與函數之間的對應關系，是對函數概念的一個重大發(fā)展，因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分。第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1837年，德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數?！备鶕@個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）：第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1，在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1。因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題。但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數。狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月（四）生產實踐和科學實驗的進一步發(fā)展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象。1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數——δ—函數，即。第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月δ-函數的出現，引起了人們的激烈爭論。按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“∞”作為數。另外，對于自變量只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的。然而，δ-函數確實是實際模型的抽象，例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力，從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞；其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0。另外，我們知道壓強函數的積分等于壓力。第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x），元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數學發(fā)展道路上的重大轉折，近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志，它研究的是一般集合上的函數關系。第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數的現代定義，應該說已經相當完善了。不過數學的發(fā)展是無止境的，函數現代定義的形式并不意味著函數概念發(fā)展的歷史終結，近二十年來，數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念——“關系”。設集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為X×Y=｛（x，y）｜x∈X，y∈Y｝積集X×Y中的一子集稱為R與Y的一個關系，若（x，y）∈R，則稱x

與y有關系R，記為xRy。若（x，y）R，則稱x與y無關系。第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月現設f是X與Y的關系，即fX×Y，如果（x，y），（x，z）∈f，必有y=z，那么稱f為X到Y的函數。在此定義中，已在形式上回避了“對應”的術語，全部使用集合論的語言了。從以上函數概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發(fā)掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要。第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月早期函數概念——幾何觀念下的函數十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。1673年，萊布尼茲首次使用“function”

（函數）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關系。第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月十八世紀函數概念──代數觀念下的函數1718年約翰·貝努利(JohannBernoulli，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。1755歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數。”

18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式?！彼鸭s翰?貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區(qū)分為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月十九世紀函數概念──對應關系下的函數1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。1822年傅里葉（Fourier，法，1768——1830）發(fā)現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數。”這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數