2021年廣西壯族自治區(qū)河池市思恩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年廣西壯族自治區(qū)河池市思恩中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(

)

A.

B.0

C.

D.參考答案：A2.已知cosα=,α是第三象限角，則sin2α=（

）.（A）

（B） （C）， （D）參考答案：C略3.若函數(shù)的反函數(shù)是，則的值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略4.與向量的夾角相等，且模為1的向量是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用．分析：要求的向量與一對(duì)模相等的向量夾角相等，所以根據(jù)夾角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的數(shù)量積相等即可．再根據(jù)模長(zhǎng)為1，列出方程，解出坐標(biāo)．解答： 解：設(shè)與向量的夾角相等，且模為1的向量為（x，y），則解得或，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題表面上是對(duì)向量數(shù)量積的考查，根據(jù)兩個(gè)向量的坐標(biāo)，用數(shù)量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉(zhuǎn)移到解方程的問(wèn)題，解關(guān)于x和y的一元二次方程．5.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：B由圖象可知，所以函數(shù)的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，選B.6.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0

B.2

C.0或3

D.2或3參考答案：B略7.曲線y＝在點(diǎn)（2,4）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：D8.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線上存在點(diǎn)P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，則該曲線的離心率e的取值范圍是（）A．（1，） B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析；不防設(shè)點(diǎn)P（x，y）在右支曲線上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF1|和|PF2|代入，可求得e的范圍．解：不妨設(shè)P（x，y）在右支曲線上，此時(shí)x≥a，由正弦定理得，所以=，∵雙曲線第二定義得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a，∴=?x=＞a，分子分母同時(shí)除以a，得：＞a，∴＞1解得1＜e＜+1，故答案為：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力．10.已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（A）（B）（C）（D）

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_____________．參考答案：0略12.對(duì)有n(n≥4)個(gè)元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體和

(m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再?gòu)拿總€(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則=

;所有

(1≤i＜j≤的和等于

.參考答案：【答案】

,

6【解析】第二空可分:①當(dāng)時(shí),;②當(dāng)時(shí),;③當(dāng)時(shí),;所以13.已知橢圓，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、，分別交橢圓于、兩點(diǎn).則直線的斜率為

.參考答案：14.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是．參考答案：≤a＜【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點(diǎn)即x=1時(shí)，第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值．由此不難判斷a的取值范圍．【解答】解：∵當(dāng)x≥1時(shí)，y=logax單調(diào)遞減，∴0＜a＜1；而當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（3a﹣1）x+4a單調(diào)遞減，∴a＜；又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥，綜上可知，≤a＜．故答案為：≤a＜【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x(chóng)、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．15.不等式的解集為

．參考答案：16.在執(zhí)行右邊的程序框圖時(shí)，如果輸入，則輸出___________參考答案：略17.若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，則A∩B=．參考答案：{1}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，分析可得，集合B為（0，2）之間所有的實(shí)數(shù)，而A中的元素在（0，2）之間只有1，由交集的意義可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分析可得，集合B為（0，2）之間所有的實(shí)數(shù)，而A中的元素在（0，2）之間只有1，故A∩B={1}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：綜合題．分析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)a3=7，又a2，a4，a9成等比數(shù)列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），從而可得d=3，進(jìn)而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）先確定數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則∵a3=7，又a2，a4，a9成等比數(shù)列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴an=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即an=3n﹣2；

（2）∵，∴∴∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，∵∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B分有向線段的比為1.(1)記函數(shù)f(α)＝，α∈，討論函數(shù)f(α)的單調(diào)性，并求其值域；(2)若O、P、C三點(diǎn)共線，求||的值．參考答案：解：依題意可知，A(sinα，1)，B(cosα，0)，C(－sinα，2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則cosα＝，0＝，所以x＝2cosα－sinα，y＝－1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα－sinα，－1)．(1)∵＝(sinα－cosα，1)，＝(2sinα，－1)，∴f(α)＝·＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－sin.由2α＋∈可知，當(dāng)2α＋∈即α∈時(shí)，函數(shù)f(α)單調(diào)遞增，當(dāng)2α＋∈即α∈時(shí)，函數(shù)f(α)單調(diào)遞減，又sin∈，所以函數(shù)f(α)的值域?yàn)閇－，1)．(2)由O、P、C三點(diǎn)共線可知，－1×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，∴tanα＝，∴sin2α＝＝＝，∴|＋|＝＝＝.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）首先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)參數(shù)取值的不確定性，對(duì)其進(jìn)行分類討論求解，分類討論不要出現(xiàn)遺漏，不要出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象；（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問(wèn)題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).試題解析：解：

1分（1）當(dāng)時(shí)，，，∴所求的切線方程為，即.

4分（2）①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，；2時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減9分（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)滿足條件，不妨設(shè)2.由知成立，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立．，故存在這樣的實(shí)數(shù)滿足題意，其范圍為

14分考點(diǎn)：1、求曲線的切線方程；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；3、與函數(shù)有關(guān)的探索性問(wèn)題.21.（本小題滿分14分）已知，其中是自然常數(shù)，（1）討論時(shí),的單調(diào)性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：解析：（1），

……1分∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增

…………3分

∴的極小值為

……4分（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，∴，……5分令，，

…………6分當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增

………7分∴

∴在（1）的條件下，……………9分（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3，

①當(dāng)時(shí)，，所以

，所以在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值.

……10分

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，滿足條件.

……11分③當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3.……14分22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.參考答案：（1）函數(shù)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為（2）的最小值為1【分析】(1)求導(dǎo)后列表分析函數(shù)單調(diào)性即可.(2)由(1)可知的最小值為,再根據(jù)恒成立問(wèn)題的方法分情況分析的最小值即可.【詳解】解：（1）由解得,則及的情況如下：2-0+↘極小值↗

所以函數(shù)的單增區(qū)間為,單