2022年河南省鄭州市第二十二中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022年河南省鄭州市第二十二中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則在復平面內對應的點位于

A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：C2.已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知集合，或，則=

．A．或

B．C．

D．或

參考答案：A4.平面區(qū)域，，在區(qū)域M內隨機取一點，則該點落在區(qū)域N內的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】畫出兩區(qū)域圖形，求出面積，根據(jù)幾何概型即可得解.【詳解】解：區(qū)域表示的是一個正方形區(qū)域，面積是2，表示以為圓心，為半徑的上半圓外部的區(qū)域，則在區(qū)域內隨機取一點，則該點落在區(qū)域內的概率是，故選.【點睛】本題考查了幾何概型的概率求法，屬于基礎題.5.甲、乙兩人在淘寶網(wǎng)各開一家網(wǎng)店，直銷同一廠家的同一種產品，廠家為考察兩人的銷售業(yè)績，隨機選了10天，統(tǒng)計兩店銷售量，得到如圖所示的莖葉圖，由圖中數(shù)據(jù)可知（）A．甲網(wǎng)店的極差大于乙網(wǎng)店的極差B．甲網(wǎng)店的中位數(shù)是46C．乙網(wǎng)店的眾數(shù)是42D．甲網(wǎng)店的銷售業(yè)績好參考答案：D考點：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：概率與統(tǒng)計．分析：只要運用求平均數(shù)公式：=，即可求出甲網(wǎng)店的銷售業(yè)績好．或利用極差的概念，極差就是這組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差，等計算極差或中位數(shù)或眾數(shù)，再進行判斷即可．解答：解：甲網(wǎng)店數(shù)據(jù)分別為：6，11，12，32，43，45，47，51，51，58．故平均數(shù)=（6+11+12+32+43+45+47+51+51+58）=35.6；極差就是這組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差，即58﹣6=52．甲網(wǎng)店的中位數(shù)是44．乙網(wǎng)店數(shù)據(jù)分別為：5，7，13，13，13，22，34，42，42，58．故平均數(shù)=（5+7+13+13+13+22+34+42+42+58）=24.9；極差就是這組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差，即58﹣5=53．乙網(wǎng)店的眾數(shù)是13．∴甲網(wǎng)店的銷售業(yè)績好．故選D．．點評：本題考查的是樣本平均數(shù)以及極差等統(tǒng)計量的求法，是比較簡單的問題．6.已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的a的值是A.－1 B.C.1 D.參考答案：A【分析】由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得到答案【詳解】代入，，則，；再次代入得，；繼續(xù)代入得，；不難發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了循環(huán)，周期為3則當時，，，跳出循環(huán)得到故選A【點睛】本題主要考查的是程序框圖，在循環(huán)結構中找出其循環(huán)規(guī)律，即可得出結果，較為基礎7.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A．B．

C．D．

參考答案：8.甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任意想一個數(shù)字，記為m，再由乙猜想甲剛才想的數(shù)字，把猜出的數(shù)字記為n，且m，n∈{1,2,3},若，則稱二人“心有靈犀”，現(xiàn)任意找二人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.已知向量，，則在方向上的投影為（

）A.2

B.－2 C. D.參考答案：B向量，，∴，∴(?==-10，||==5；∴向量在向量方向上的投影為：||cos＜(，＞===﹣2．故選：B．

10.已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．2

B．4

C．8

D．16參考答案：B

【知識點】等比數(shù)列的性質D3解析：因為，所以，即，則，故選B.【思路點撥】結合已知條件得到，再利用等比數(shù)列的性質即可。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若在內任取一個實數(shù)，則使與圓無公共點的概率為

．參考答案：

12.如圖，有7個白色正方形方塊排成一列，現(xiàn)將其中4塊涂上黑色，規(guī)定從左往右數(shù)，無論數(shù)到第幾塊，黑色方塊總不少于白色方塊的涂法有＿＿種。參考答案：1413.計算：＝_________．參考答案：14.在中，，則

。參考答案：15.已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關于的兩焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則

．參考答案：

16.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為

參考答案：

略17.已知函數(shù)定義域為R，滿足，當時，則______．參考答案：【分析】由題可得函數(shù)為周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)周期的性質以及分段函數(shù)的解析式，即可求解。【詳解】函數(shù)定義域為，滿足，則為周期函數(shù)，由，可得：，，故答案為。【點睛】本題主要考查周期函數(shù)以及分段函數(shù)的函數(shù)值的計算，著重考查運算與求解能力，屬于基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù)．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；(3)設是函數(shù)的兩個極值點，若，求的最小值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）(3)試題分析：（Ⅰ）由函數(shù)在處的切線斜率即為函數(shù)在處的導數(shù)，從而得出；（Ⅱ）函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，則在上有解，從而得出b的取值范圍；(3)由，構造函數(shù)設由其單調性求出最小值.所以設，所以在單調遞減，，故所求的最小值是

…………12分考點：1.導數(shù)的應用；2.不等式；19.如圖所示的某種容器的體積為90πcm3，它是由圓錐和圓柱兩部分連結而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為rcm.圓錐的高為，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為.已知圓柱底面造價為2a元/cm2，圓柱側面造價為a元/cm2，圓錐側面造價為元/cm2.（1）將圓柱的高表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域；（2）當容器造價最低時，圓柱的底面圓半徑r為多少？參考答案：（1），定義域為.（2）【分析】（1）由題由圓柱與圓錐體積公式得，得即可；（2）由圓柱與圓錐的側面積公式得容器總造價為，求導求最值即可【詳解】（1）因為圓錐的母線與底面所成的角為，所以，圓錐的體積為，圓柱的體積為.因為，所以，所以.因為，所以.因此.所以，定義域為.（2）圓錐的側面積，圓柱的側面積，底面積.容器總造價為.令，則.令，得.當時，，在上為單調減函數(shù)；當時，，在上為單調增函數(shù).因此，當且僅當時，有最小值，即有最小值，為元.所以總造價最低時，圓柱的底面圓半徑為.【點睛】本題考查圓柱圓錐的表面積和體積公式，考查利用導數(shù)求函數(shù)最值，方程思想的運用，是中檔題20.（13分）

直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且AA1=AD=DC=2。

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC1；（Ⅱ）求二面角B—AC1—C的大?。唬á螅┰OM是線段BD上的點，當DM為何值時，D1M⊥平面A1C1D。參考答案：證明：（Ⅰ）因為AD=DC，AB=BC 可得

BD⊥AC

（垂直平分線）

…………1分 又CC1⊥平面ABCD，AC為AC1平面ABCD上的射影…2分 所以

BD⊥AC1

……………3分

（或因為AD=DC，可得BD⊥AC（垂直平分線），CC1⊥平面

ABCD有CC1⊥BD） 所以

BD⊥平面ACC1

……………4分（Ⅱ）設AC∩BD=O，BD⊥平面ACC1，過O作OH⊥AC1，垂足為H，連接BH，則BH⊥AC1，∠OHB為二面角B—AC1—C的平面角

………………7分 在Rt△OBH中，OB=，OH=tan∠OHB=3…………8分 故

二面角B—AC1—C的大小為arctan3…………9分

（Ⅲ）在BD上取點M，使OM=OD，連接AM，CM，……………

10分 因為∠ADC=90°，AD=AC又OD⊥AC且OA=OC，CM=AM=AD 所以

四邊形AMCD是一個正方形

…………11分 有D1M⊥A1D，D1M⊥A1C1D1M⊥平面A1C1D，此時DM= 故

當DM=，有D1M⊥平面A1C1D………13分21.（本小題滿分13分）若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求的極值；（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：（1），．當時，．

------3分

當時，，此時函數(shù)遞減；

當時，，此時函數(shù)遞增；∴當時，取極小值，其極小值為．（2）解：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．由，可得當時恒成立．，

由，得．下面證明當時恒成立．令，則，

當時，．當時，，此時函數(shù)遞增；當時，，此時函數(shù)遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．從而，即恒成立∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．22.(本小題滿分12分)若二次函數(shù)滿足，且函數(shù)的的一個零點為.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)

∵且∴

∴

………4分（Ⅱ）由題意知：在上恒成立，整理得在上恒成立，