高中數(shù)學學科必修5課件新課標人教版5打包4等差數(shù)列前

高

斯

的

故

事高斯上小學時，有一次數(shù)學老師給同學們出了一道題：計算從1到100的自然數(shù)之和。那個老師認為，這些孩子算這道題目需要很長時間，

所以他一寫完題目，就坐到一邊看書去了。誰知，他剛坐下，馬上就有一個學生舉手說：“老師，

我做完了。”老師大吃一驚，原來是班上年紀最

小的高斯。老師走到他身邊，只見他在筆記本上

寫著5050，老師看了，不由得暗自稱贊。為了鼓

勵他，老師買了一本數(shù)學書送給他。思考：現(xiàn)在如果要你算，你能否用簡便的方法來算出它的值呢？21+2

+3++99+100=

100·(1+100)

=

505021+2

+3++(n

-1)

+n

=

n·(n

+1)1.計算：1

+

2

+

3

++

99

+100100＋99＋98＋

…＋2

＋12.計算：

1

+

2

+

3

++(n

-1)

+

nn＋(n-1)

＋

(n-2)

＋…＋

2

＋1問題1如圖，建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，……，10.問共有多少根圓木？請用簡便的方法計算.問題2數(shù)列前n

項和的意義這節(jié)課我們研究的問題是：(1)已知等差數(shù)列｛

an

｝的首項a1，項數(shù)n，第n項an，求前n項和Sn的計算公式；(2)對此公式進行應用。數(shù)列｛

an

｝：a1，a2

，a3

，…，an

，…我們把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做數(shù)列｛

an

｝的前n項和，記作Sn設等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)2n\

S

=

n(a1

+

an

)

(1)此種求和法稱為倒序相加法n個思考：若已知a1及公差d，結(jié)果會怎樣呢？2n

1S

=

na

+

n(n

-1)

d

(2)公式的推導2nS=

n（a1

+

an

)dn21S

=

na

+n（n

-1)an

=a1

+(n-1)d

fia1

=an

-(n-1)d

fiSn

n2=

na

-

n（n

-1)

d2

2

2n

1

1=

na

+

n(n

-

1)

d

=

d

n

2

+

(a

-

d

)n若a1、d是確定的，那么

S2

21設

A

=

d

,

B

=

a-d

上式可寫成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）時，Sn是關(guān)于n的二次式且缺常數(shù)項。等差數(shù)列的前n項和公式的其它形式分析公式的結(jié)構(gòu)特征例:等差數(shù)列－10,－6,－,2,…的前多少項的和為54？解：設題中的等差數(shù)列是｛an｝，前n項和為Sn.則a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54.

由等差數(shù)列前n項和公式，得-10n

+

n(n

-1)

·

4

=

542解得

n1＝9，n2＝－3（舍去）.舉例因此，等差數(shù)列的前9項和是54.an＝？

an

=

4n-14Sn呢？Sn

=2n2-12nSnO6

nnanOan

=

4n-14Sn

=

2n2-12nSn的深入認識課外探索1、已知等差數(shù)列16，14，12，10，…(1)前多少項的和為72？(2)前多少項的和為0？(3)前多少項的和最大？2、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和.M

={m

|

m

=7n,n

?

N,且m

<100}7

7=

14解：

7n

<100

\n

<

100

2所以集合M中的元素共有14個.

將它們從小到大列出，得7

,

2·7,

3·7,

4·7,

,

14

·

7,即

7，14，21，28，…，98這個數(shù)列是成等差數(shù)列，記為{an

}

a1

=

7,

a14

=

98,

n

=142=

735.14

·(7

+

98)\

S14

=2nS=

n（a1

+

an

)答：集合M共有14個元素，它們的和等于735.3、已知一個直角三角形的三條邊的長成等差數(shù)列，求證它們的比是3：4：5.證明：將成等差數(shù)列的三條邊的長從小到大排列，它們可以表示為a-d,

a,

a+d(這里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得(a

-

d

)2

+

a2

=

(a

+

d

)2a

=

4d從而這三邊的長是3d,

4d,

5d,因此，這三