高中數(shù)學(xué)學(xué)科必修5課件新課標(biāo)人教版5打包4等差數(shù)列前_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

事高斯上小學(xué)時(shí),有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題:計(jì)算從1到100的自然數(shù)之和。那個(gè)老師認(rèn)為,這些孩子算這道題目需要很長(zhǎng)時(shí)間,

所以他一寫完題目,就坐到一邊看書(shū)去了。誰(shuí)知,他剛坐下,馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說(shuō):“老師,

我做完了?!崩蠋煷蟪砸惑@,原來(lái)是班上年紀(jì)最

小的高斯。老師走到他身邊,只見(jiàn)他在筆記本上

寫著5050,老師看了,不由得暗自稱贊。為了鼓

勵(lì)他,老師買了一本數(shù)學(xué)書(shū)送給他。思考:現(xiàn)在如果要你算,你能否用簡(jiǎn)便的方法來(lái)算出它的值呢?21+2

+3++99+100=

100·(1+100)

=

505021+2

+3++(n

-1)

+n

=

n·(n

+1)1.計(jì)算:1

+

2

+

3

++

99

+100100+99+98+

…+2

+12.計(jì)算:

1

+

2

+

3

++(n

-1)

+

nn+(n-1)

(n-2)

+…+

2

+1問(wèn)題1如圖,建筑工地上一堆圓木,從上到下每層的數(shù)目分別為1,2,3,……,10.問(wèn)共有多少根圓木?請(qǐng)用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算.問(wèn)題2數(shù)列前n

項(xiàng)和的意義這節(jié)課我們研究的問(wèn)題是:(1)已知等差數(shù)列{

an

}的首項(xiàng)a1,項(xiàng)數(shù)n,第n項(xiàng)an,求前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式;(2)對(duì)此公式進(jìn)行應(yīng)用。數(shù)列{

an

}:a1,a2

,a3

,…,an

,…我們把a(bǔ)1+a2+a3+…+an叫做數(shù)列{

an

}的前n項(xiàng)和,記作Sn設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)2n\

S

=

n(a1

+

an

)

(1)此種求和法稱為倒序相加法n個(gè)思考:若已知a1及公差d,結(jié)果會(huì)怎樣呢?2n

1S

=

na

+

n(n

-1)

d

(2)公式的推導(dǎo)2nS=

n(a1

+

an

)dn21S

=

na

+n(n

-1)an

=a1

+(n-1)d

fia1

=an

-(n-1)d

fiSn

n2=

na

-

n(n

-1)

d2

2

2n

1

1=

na

+

n(n

-

1)

d

=

d

n

2

+

(a

-

d

)n若a1、d是確定的,那么

S2

21設(shè)

A

=

d

,

B

=

a-d

上式可寫成Sn=An2+Bn若A≠0(即d≠0)時(shí),Sn是關(guān)于n的二次式且缺常數(shù)項(xiàng)。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其它形式分析公式的結(jié)構(gòu)特征例:等差數(shù)列-10,-6,-,2,…的前多少項(xiàng)的和為54?解:設(shè)題中的等差數(shù)列是{an},前n項(xiàng)和為Sn.則a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54.

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得-10n

+

n(n

-1)

·

4

=

542解得

n1=9,n2=-3(舍去).舉例因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54.an=?

an

=

4n-14Sn呢?Sn

=2n2-12nSnO6

nnanOan

=

4n-14Sn

=

2n2-12nSn的深入認(rèn)識(shí)課外探索1、已知等差數(shù)列16,14,12,10,…(1)前多少項(xiàng)的和為72?(2)前多少項(xiàng)的和為0?(3)前多少項(xiàng)的和最大?2、求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.M

={m

|

m

=7n,n

?

N,且m

<100}7

7=

14解:

7n

<100

\n

<

100

2所以集合M中的元素共有14個(gè).

將它們從小到大列出,得7

,

2·7,

3·7,

4·7,

,

14

·

7,即

7,14,21,28,…,98這個(gè)數(shù)列是成等差數(shù)列,記為{an

}

a1

=

7,

a14

=

98,

n

=142=

735.14

·(7

+

98)\

S14

=2nS=

n(a1

+

an

)答:集合M共有14個(gè)元素,它們的和等于735.3、已知一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列,求證它們的比是3:4:5.證明:將成等差數(shù)列的三條邊的長(zhǎng)從小到大排列,它們可以表示為a-d,

a,

a+d(這里a-d>0,d>0)由勾股定理,得到解得(a

-

d

)2

+

a2

=

(a

+

d

)2a

=

4d從而這三邊的長(zhǎng)是3d,

4d,

5d,因此,這三

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