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文檔簡(jiǎn)介
高
斯
的
故
事高斯上小學(xué)時(shí),有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題:計(jì)算從1到100的自然數(shù)之和。那個(gè)老師認(rèn)為,這些孩子算這道題目需要很長(zhǎng)時(shí)間,
所以他一寫完題目,就坐到一邊看書(shū)去了。誰(shuí)知,他剛坐下,馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說(shuō):“老師,
我做完了?!崩蠋煷蟪砸惑@,原來(lái)是班上年紀(jì)最
小的高斯。老師走到他身邊,只見(jiàn)他在筆記本上
寫著5050,老師看了,不由得暗自稱贊。為了鼓
勵(lì)他,老師買了一本數(shù)學(xué)書(shū)送給他。思考:現(xiàn)在如果要你算,你能否用簡(jiǎn)便的方法來(lái)算出它的值呢?21+2
+3++99+100=
100·(1+100)
=
505021+2
+3++(n
-1)
+n
=
n·(n
+1)1.計(jì)算:1
+
2
+
3
++
99
+100100+99+98+
…+2
+12.計(jì)算:
1
+
2
+
3
++(n
-1)
+
nn+(n-1)
+
(n-2)
+…+
2
+1問(wèn)題1如圖,建筑工地上一堆圓木,從上到下每層的數(shù)目分別為1,2,3,……,10.問(wèn)共有多少根圓木?請(qǐng)用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算.問(wèn)題2數(shù)列前n
項(xiàng)和的意義這節(jié)課我們研究的問(wèn)題是:(1)已知等差數(shù)列{
an
}的首項(xiàng)a1,項(xiàng)數(shù)n,第n項(xiàng)an,求前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式;(2)對(duì)此公式進(jìn)行應(yīng)用。數(shù)列{
an
}:a1,a2
,a3
,…,an
,…我們把a(bǔ)1+a2+a3+…+an叫做數(shù)列{
an
}的前n項(xiàng)和,記作Sn設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)2n\
S
=
n(a1
+
an
)
(1)此種求和法稱為倒序相加法n個(gè)思考:若已知a1及公差d,結(jié)果會(huì)怎樣呢?2n
1S
=
na
+
n(n
-1)
d
(2)公式的推導(dǎo)2nS=
n(a1
+
an
)dn21S
=
na
+n(n
-1)an
=a1
+(n-1)d
fia1
=an
-(n-1)d
fiSn
n2=
na
-
n(n
-1)
d2
2
2n
1
1=
na
+
n(n
-
1)
d
=
d
n
2
+
(a
-
d
)n若a1、d是確定的,那么
S2
21設(shè)
A
=
d
,
B
=
a-d
上式可寫成Sn=An2+Bn若A≠0(即d≠0)時(shí),Sn是關(guān)于n的二次式且缺常數(shù)項(xiàng)。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其它形式分析公式的結(jié)構(gòu)特征例:等差數(shù)列-10,-6,-,2,…的前多少項(xiàng)的和為54?解:設(shè)題中的等差數(shù)列是{an},前n項(xiàng)和為Sn.則a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54.
由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得-10n
+
n(n
-1)
·
4
=
542解得
n1=9,n2=-3(舍去).舉例因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54.an=?
an
=
4n-14Sn呢?Sn
=2n2-12nSnO6
nnanOan
=
4n-14Sn
=
2n2-12nSn的深入認(rèn)識(shí)課外探索1、已知等差數(shù)列16,14,12,10,…(1)前多少項(xiàng)的和為72?(2)前多少項(xiàng)的和為0?(3)前多少項(xiàng)的和最大?2、求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.M
={m
|
m
=7n,n
?
N,且m
<100}7
7=
14解:
7n
<100
\n
<
100
2所以集合M中的元素共有14個(gè).
將它們從小到大列出,得7
,
2·7,
3·7,
4·7,
,
14
·
7,即
7,14,21,28,…,98這個(gè)數(shù)列是成等差數(shù)列,記為{an
}
a1
=
7,
a14
=
98,
n
=142=
735.14
·(7
+
98)\
S14
=2nS=
n(a1
+
an
)答:集合M共有14個(gè)元素,它們的和等于735.3、已知一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列,求證它們的比是3:4:5.證明:將成等差數(shù)列的三條邊的長(zhǎng)從小到大排列,它們可以表示為a-d,
a,
a+d(這里a-d>0,d>0)由勾股定理,得到解得(a
-
d
)2
+
a2
=
(a
+
d
)2a
=
4d從而這三邊的長(zhǎng)是3d,
4d,
5d,因此,這三
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