留數(shù)定理及其應(yīng)用

I分的重要途徑.本文在論述留數(shù)理論的前提下，明確了留數(shù)的定義及其定理，進(jìn)而闡明了留數(shù)定理的實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)相關(guān)例題感受留數(shù)定理在解題計(jì)算中II I II 4 4 5 50p(x)dx類型積分 7 803.5利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算復(fù)積分 9 9 14 144留數(shù)定理在積分計(jì)算中具有非常重要的應(yīng)用,許多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了不同方面的研究.例如文獻(xiàn)[1,2,3]中論述了在實(shí)積分計(jì)算中運(yùn)用留數(shù)定理解決問(wèn)題的方法;文獻(xiàn)[4]中將留數(shù)定理推廣到物理應(yīng)用中,用來(lái)解決在具體的物理問(wèn)題中所遇到的一些反常積分;文獻(xiàn)[5,6]中通過(guò)對(duì)具體例題的分析,探討在定積分計(jì)算過(guò)程中應(yīng)用留數(shù)定理解決問(wèn)題的途徑;文獻(xiàn)[7]則是借助柯西積分公式和留數(shù)定理從不同視角探討周線積分的方法；并通過(guò)對(duì)具體例題的分析給出兩種方法的對(duì)比分析討論同時(shí)依據(jù)函數(shù)孤立奇點(diǎn)的不同類型選擇不同的解答方法等.本文則是側(cè)重于對(duì)該定理在計(jì)算中進(jìn)行分析.定義1[8,9]假設(shè)函數(shù)f(z)將有限點(diǎn)a作為孤立奇點(diǎn),因此f(z)在點(diǎn)a的某去心-Γ為f(z)在點(diǎn)a的留數(shù)（residue),記為Resf(z).引理[11]設(shè)函數(shù)f(z)在z=0處解析,P為非負(fù)整數(shù),則sf(z)=;5f'(0)-f'''(0).0-1-iθ,z-1-1-1,當(dāng)θ從0變化到2π時(shí),z沿單位圓周正方向繞行一周,將三角形積分轉(zhuǎn)化為復(fù)-1,iz可以利用數(shù)學(xué)分析中萬(wàn)能公式方法進(jìn)行求解,但比較麻煩,因此可以利用留數(shù)定理中轉(zhuǎn)化為復(fù)積分的方法,相比之下后者較為簡(jiǎn)單.0令f(z)=--1-1)(z-p)1p61ppp1p2p1p-1p2ip1p21pp綜上所述:I=p2mnkkkkx2dx0x4+17x2x2x4k0011kx2x2ΣResf(z)kx4442π4ΣImz]kx2+18z2+1ΣResf(z).kkk得1-偽x2+1-偽x2+1-偽x2+1-偽x2+1e-偽x2+1-偽x2+1e0kΣ2lkJlnxdx.55594455555一p定理5[14]假設(shè)函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)a,p處解析,則f(z)在各奇點(diǎn)處的留數(shù)在總和上是零,則z22我們?cè)谟?jì)算歐拉積分時(shí),需要檢驗(yàn)歐拉積分的一致收斂性,并且在積分號(hào)下求導(dǎo)時(shí)根據(jù)需要引入?yún)?shù)變量等.計(jì)算歐拉積分時(shí)使用普通的計(jì)算方法使解題過(guò)程十分復(fù)雜不易.但是通過(guò)留數(shù)定理，就可以計(jì)算歐拉積分，為計(jì)算提供便利.ttz-1dt來(lái)展示,其中積分沿著正半軸上取值,該積0分對(duì)于在右半平面Rez>0上的所有的點(diǎn)z都是絕對(duì)收斂,又e-ttz-1=e-ttx-1,且為一個(gè)解析函數(shù),再考慮積分路線的變化.e-ξξ-1dξ,按照積分對(duì)照周線C取值,C為正半軸上的割痕的C兩岸和圓周ξ=r組成,其次將ξ-1寫出函數(shù)e(z-1)lnξ,lnξ為對(duì)數(shù)上的一個(gè)分支,令此,進(jìn)而將F(z)表示為2πi-R在C上,有r-ξξ-1-rcosΦe(x-1)lnr-Φy<Arr-1,其A是常數(shù)(當(dāng)z固定時(shí)).-ξξ-1dξx.GG2πiz-2πiz-0得到函數(shù):解令f(z)=za-1,其Riθrz=-11i.即f(z)dz-f(z)dz-rra-1a-1)iθa-1rr喻0G—喻G偽.0所以I=通過(guò)數(shù)學(xué)分析的方法求解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Σf(k)的求和是有困難的.通過(guò)借助f(k)可得:定理6假設(shè)函數(shù)f(z)為在平面上極點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的z,…,z的亞純函數(shù),且1jΣkpΣf(k)kzpΣΣ例7求Σ2）解取f(z)=10ΣΣzp(z2Σ3即Σ224Σ2Σ2iz2Σ即Σ2-2）2πz-Σ2-Σ