功平衡法和上限法及其應(yīng)用

功平衡法和上限法及其應(yīng)用第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.1

功平衡法功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原理來計(jì)算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即WP=Wd+Wf對(duì)于變形過程的某一瞬時(shí)，上式可寫成功增量形式dWP=dWd+dWf蘇州貸款第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月

極值原理包括上限定理和下限定理，它們都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題的出發(fā)點(diǎn)不同。上限定理是按運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高估的近似值，故稱上限解；下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場(chǎng)（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高低的近似解，故稱下限解?！?.2

極值原理及上限法

第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月

穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可，實(shí)際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時(shí)，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功，其表達(dá)式為：

實(shí)際應(yīng)用常用功率形式表達(dá)

虛功原理第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月虛功原理式中，左邊為外力所作虛功或虛功率，右邊第一項(xiàng)為虛應(yīng)變功耗或虛應(yīng)變功率消耗，第二項(xiàng)為接觸摩擦與剛性界面上剪切功耗或功率消耗等。（為所在界面上的相對(duì)滑動(dòng)速度）。第三項(xiàng)為裂紋形成等的功耗或功率消耗。虛功原理對(duì)于彈性變形、彈塑性變形或塑性變形力學(xué)問題都是適用的。第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月

到目前為止，上限法中虛擬的運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)模式大體有三種模式：（1）Johnson模式，通常稱為簡化滑移線場(chǎng)的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應(yīng)變問題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場(chǎng)的上限模式，它既可適用平面應(yīng)變問題、軸對(duì)稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術(shù)（UBET），目前比較實(shí)用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對(duì)稱問題，以及某些非對(duì)稱軸的三維問題。具體實(shí)例在碩士階段將詳細(xì)分析。

虛擬的運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)模式第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.3速度間斷面及其速度特性(1)(2)Av2v1xxABCDφH圖9-4速度間斷面上的速度間斷a）物理平面b）速度圖

第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用

基本思路是設(shè)想塑性變形區(qū)由若干個(gè)剛性三角形構(gòu)成，塑性變形時(shí)完全依靠三角形場(chǎng)間的相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生，變形過程中每一個(gè)剛性塊是一個(gè)均勻速度場(chǎng)，塊內(nèi)不發(fā)生塑性變形，于是塊內(nèi)的應(yīng)變速度。因此，式（9-6）的能量基本方程中，若不計(jì)附加外力及其他功率消耗的話，其塑性變形功率消耗部分也為零，則上限功率表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月Johnson上限模式求解的基本步驟根據(jù)變形的具體情況，或參照該問題的滑移線場(chǎng)，確定變形區(qū)的幾何位置與形狀，再根據(jù)金屬流動(dòng)的大體趨勢(shì)，將變形區(qū)劃分為若干個(gè)剛性三角形塊；根據(jù)變形區(qū)劃分剛性三角形塊情況，以及速度邊界條件，繪制速端圖；第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月Johnson上限模式求解的基本步驟3.根據(jù)所作幾何圖形，計(jì)算各剛性三角形邊長及速端圖計(jì)算各剛性塊之間的速度間斷量，然后計(jì)算其剪切功率消耗；4.求問題的最佳上限解，一般劃分的剛性三角形塊時(shí)，幾何形狀上包含若干個(gè)待定幾何參數(shù)，所以須對(duì)待定參數(shù)求其極值，確定待定參數(shù)的具體數(shù)值以及最佳的上限解。第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用

基本思路：B.Avitzur上限模式為連續(xù)速度場(chǎng)模式，其基本思路是把整個(gè)變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)用一個(gè)連續(xù)速度場(chǎng)vi=fi(x,y,z)來描述。同時(shí)考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響。因此Avit－zur上限模式的基本能量方程與式（9-4）是一致的，常簡化為N=Nd+Nt+Nf+Nq第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，為塑性變形功率消耗為速度間斷面上剪切功率消耗為接觸面上摩擦功率消耗為附加外力消耗的（取“+”號(hào)）或向系統(tǒng)輸入的附加功率（取“-”號(hào)）第12頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用范圍一、直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問題