微積分劉迎東習(xí)題答案

第一型曲線積分1.設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L，在點(x,y)處它的線密度為μ(x,y)。用第一型曲線積分分別表達（1）這曲線弧對x軸、對y軸的轉(zhuǎn)動慣量J,J.2xLyL（2）這曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)x,y.LLLL0)及(0,1)兩點的直線段?！餖L0LLx2+y2L所圍成的扇形的整個邊界。○a4t上相應(yīng)于t從0Γx2+y2+z2變到2的這段弧。Γx2+y2+z2t)2t2t2ttdt?！饃22LL○L0LL00t22-t22-2-)222(xL○22L22-2Ly2LL02Ly2)yLL00LLa2La2LL=質(zhì)量為m）的引力F。02t2dsa2ds-Φ2（1）它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量J;zJzΓ03k2)2|Γ02t2)a22t2)a222Γ02t2)a23k32t2)a222Γ0第二型曲線積分1.設(shè)L為xOy面內(nèi)直線x=a上的一段。證明：L2.設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(a,0)到點(b,0)的一段直線。證明：Ladx,其中L為拋物線y=x2上從點(0,0)到點(2,4)的一段?。籐(a>0)及x軸所圍成的在第一象L）；0)3L2L02Lx22Lx2+y22Γx2Γ03(ΓΓΓΓΓ00LL)d(bsinθ)=0.LL0x22344LΓ軸的正向看去，沿逆時針方向；Γ-z2)2Γ22)dy,其中L為由點(0,0)到點(1,1)的下列四條不同路L11（2）拋物線Ly=x2233（4）立方拋物線Ly=x3;4x4LL05L)L2)2L0)7.計算一1d(-0-18.計算Lx5/35/3點A(a,0)到B(0,a)的一段。22dz,其中L為依參數(shù)t增加方向進行的曲線：L2y2L0LL0LLL02-y2)L在第一卦限部分的邊界線由點A(1,0,0)至B(0,1,0)再至C(0,0,1)的一段。π;22-y2))12.彈性力F的方向向著坐標(biāo)原點，力的大小與質(zhì)點到坐標(biāo)原點比。設(shè)質(zhì)點在力F作用下沿橢圓x2+y2=1依逆時針方向運動一周，求彈性力F做的功。)-kbsinθd(bsinθ)=0.013.計算∫F.dr,其中F={y-z,z-x,x-y},L為圓周L(x2(x2π2其方向為從x軸正向看去，這圓周是沿逆時針方向進行的。F.drL)L)d(asinθ)14.設(shè)P(x,y),Q(x,y)在光滑曲線L上連續(xù)。試證下面的估計式：LLLLL(yx)dy,其中L分別為LL0（3）先沿直線從點(1,1)到點(1,2)，然后再沿直線到點(4,2)的折線；)到點(4,2)的一段弧；22L016.一力場由沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成。試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓2按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所做L017.設(shè)z軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為m的質(zhì)點從位置(x,y,z)沿直線移;)L0L中L為(1)在xOy面內(nèi)沿直線從點(0,0)到點(1,1)；LL2(2)沿拋物線y=x2從點(0,0)到點(1,1)；LL2LL19.設(shè)Γ為曲線x=t,y=t2,z=t3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧。把對坐標(biāo)的Γ2)242424J222J|2格林公式及其應(yīng)用1.計算下列曲線積分，并驗證格林公式的正確性：L○L0○1=.DD1L○L○DD2)2)2.利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：3t;LL0L2L0)-4=-ε)L解：設(shè)直線段L:(2πa,0)喻(0,0)，則1xxL解：設(shè)直線段L:(0,0)喻(2a,0)，則xxxxxxLLLD05.證明下列曲線積分在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值：55-y3)2y2-xy3)，所以曲線積分在整2y2-xy3)，所以曲線積分在整2-y3dxLDLDLDLD)+3x)，所以曲線積分在)6.利用格林公式，計算下列曲線積分：L2x3+2x)x)dy,其中L為正向星形線L2x)x)2y2)L解：記L3y2L2y2)2-y)dy,其中LL○解：記2x2x-x2上由點(0,0)到2-y)L2-y)L+L+LL+L 0L+L+LL+L 2L+-.L+x-(2x-2y)2))L+L+xx解：令L:(0,0)喻(a,0)，則1xxxx-xL17.設(shè)一變力為F={x+y2,2xy-8},這變力確定了一個力場。證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所做的功與路徑無關(guān)。23)AA1AA為任意的逐段光滑的曲線。2y33)AA3)AA53)AA59.設(shè)D是以逐段光滑曲線l為邊界的平面有界閉區(qū)域，u(x,y),v(x,y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有關(guān)系式D}10.曲線積分10.曲線積分)l+l+ y) y)LL22l+其中n為l的外法線單位法向量。證明：設(shè)r={a,b}，則12.計算曲線積分l+l+D○x22個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù)。14.設(shè)在半平面x>0內(nèi)有力F=-k(xi+yj)構(gòu)成力場，其中k為常數(shù)，2。證明：在此力場中場力所做的功與所取的路徑無關(guān)。有向分段光滑曲線，其起點為(a,b)，終點為(c,d)。記（1）證明曲線積分I與路徑無關(guān)；（1）證明：設(shè)F'(x)=f(x),則16.驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整全微分，并求這樣的一個u(x,y)：2y2)2y2y2)2y2y217.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為X=x+y2,Y=2xy-8,這變力確定了一個力場。證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所做的功與路徑無關(guān)。18.判別下列方程中哪些是全微分方程對于全微分方程，求出它的通解：22)2y2)3(4y3)2y22y24y33(y3)y33yx332}i-x2(x4j為某二元函數(shù)u(x,y)的梯度，并求x2x2-2yx4L為D的正向邊界曲線。證明：DLDLDDLDDLL22其中δu,δv分別為u,v沿L的外法線向量n的方22稱作二維拉普拉斯算子。DLLDDDDDDDDDDDDDDDL21.設(shè)u(x,y)在有界閉區(qū)域D上調(diào)和，即u=C2(D)且在D上滿足拉普拉斯方程──+──D22dσ,其中l(wèi)為D（2）若u(x,y)在l上取值為零，則u在D上恒為零。DDD22==0，u為常數(shù)，又因為邊界上為零，所以u在D上恒為零。第一型曲面積分)()(1.設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面Σ,在點(x,y,z)處它的面密度為μ(x,y,z)，用第一型曲面積分表示這曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量。xΣxΣΣ2rdr;ΣD2r3dr=ΣΣDD|DD|xx2)2(yx21r3dr)()()()()2()2x2+)2()2x2+y2x2+y2ΣD|32r3drD22Σ3-x(ΣΣΣ2-2-DΣx2+y2+z2x2Σx2+Σx2+y2+z2D)4a2-r23(--x)2R2-x2)1R2+z2( (H-R0HR2+z2R2-x2HΣx2HΣx22DD11dxdx3-3220IzΣ0-x)2()2-ya2-x2-y2-x)2()2-ya2-x2-y2D0|0aa2-x2-y2()2(()2()2a2-x2-y2D-ya2-x2-y2|-()()|-()()ΣΣΣ32Σ).SS{}};adp10.求一段均勻圓柱面S:x2+y2=R2與0<z<h對原點處單位質(zhì)量的引力zΣx2+y2+z2x2+y2+z2()) )12()) )12第二型曲面積分），流體從球面內(nèi)部流出的流量。3.ΣΣΣ32.設(shè)流體速度場v=(x+y+z)k.求單位時間內(nèi)流過曲面x2+y2=z(其中ΣDD}0DDa2b2c42002Σx2y2ΣDRr522r2dr72Σ得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；ΣD|2)Σ)D-D2Σ圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)；ΣΣDΣΣDΣΣD-x(2)Σy2x227.2Σ3ΣΣD004-πR3zΣx22zx2222x2+y2x2x222dr-Σ_______++z其中Σ為橢球面x2─+a2-yΣD2ΣΣ22DΣ(2y22y2D|2)|2ΣD(2R-y2)2-y2)|)|D|Σi-usinvc6.把第二型曲面積分Σ化成第一型曲面積分，其中ΣΩΣΩ222222J|ΣΣ高斯公式通量與散度2Σ○x2433Σx333ΣΩ○0005Σaa2-x2-y2,x2Σ○000Ω5Σx2ΣΩ○Σ所圍成的立方體的全表面的外側(cè)；○2ΣΩdxdy2Σ○{2}2與00Σ021ΣΣ+ΣΣ22ΣΣ+ΣΣΩDΩD220DD0D2zΣ22Σx2─+a2+b2c2222ΣΩ22-x)2-y)Σ2}12-x)Σ2-x)-Σ+2-x)Dθr3dr4.2}1ΣΣ+ΣΣ+ΣΣ13.ΩDΣ1}2}21取后側(cè)，則000Ω00020法向量。證明0S200x2+yx2+y2+z22r2S1r2Ωε3S1（3）不包含原點的閉曲面。6.設(shè)u是三維調(diào)和函數(shù)，即滿足++222且u有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。證明V(|((δu))(δu)))V(δx222)Vx22V(δx222)Vx(2)若u=u(x,y,z)在邊界面S上恒為零，則u在區(qū)域V上恒為零（S為V的y而其在邊界上為零，所以在整個區(qū)域上為零。7.求下列向量A穿過曲面Σ流向指定側(cè)的通量：z2