變分法第八章

變分法第八章第1頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1泛函的概念最速落徑問(wèn)題,如圖所示A、B兩點(diǎn)不在同一鉛垂線，也不在同一高度§8.1泛函與泛函的極值A(chǔ)Bx(x,y,)我們知道，質(zhì)點(diǎn)下落速率與下落高度間的關(guān)系為一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下無(wú)磨擦沿某曲線從A滑到B，求下滑的最短時(shí)間?；蜓啬臈l曲線用時(shí)最短。所以第2頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月T稱為y(x)的泛函y(x)可取的函數(shù)種類，稱泛函的定義域,泛函是函數(shù)的涵數(shù)（不指復(fù)合函數(shù)）一般地，C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）的集合，若對(duì)于C中的任一稱元素y(x)，在B中均有一元素J與之對(duì)應(yīng)，則稱J為y(x)的泛函是函數(shù)。記為與通常函數(shù)的定義不同，泛函的值決定于函數(shù)的取形。即如上例中，T的變化決定于的變化，而非某一個(gè)自變量x的值進(jìn)而某一個(gè)函數(shù)y的值。而是決定于函數(shù)集合C中的函數(shù)關(guān)系，即決定于函數(shù)的取形。第3頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通常，泛函多以積分形式出現(xiàn)，如稱為泛函的核其中2泛函的極值與變分在泛函的概念下，最速落徑問(wèn)題歸結(jié)為泛函的極值問(wèn)題，所謂變分法,就是求泛函的極值問(wèn)題。研究泛函極值問(wèn)題的方法歸為兩類：直接法與間接法要討論間接法，先討論泛函的變分問(wèn)題。第4頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有連續(xù)函數(shù)即導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù),變分微分運(yùn)算可交換次序。將其微小變形為其中t是一個(gè)小參數(shù)，稱為的變分，記為此時(shí)，函數(shù)相應(yīng)變形為第5頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)對(duì)x,y,y’二階可導(dǎo)，y’’連續(xù)中相對(duì)于y、y’作Tayler展開(kāi)抵消t的0次項(xiàng)，保留t的1次項(xiàng)，略去t的高階項(xiàng)有變分dy時(shí)，泛函J的變化為則函數(shù)可得第6頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式稱泛函J[y（x）]第一次變分，簡(jiǎn)稱變分，記為3泛函極值的必要條件——?dú)W拉方程設(shè)泛函J[y（x）]的極值問(wèn)題有解，記為y=y(x)現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)此解y（x）滿足的常微分方程設(shè)y=y（x）有變分，則可視為t的函數(shù)表示為

當(dāng)t=0時(shí)

第7頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月亦即,F(t)函數(shù)取極值。即取極值

這樣，就把原來(lái)的泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)變成F(t)這種普通函數(shù)的極值問(wèn)題。

令即將代入上式，得即第8頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

泛函取極值的必要條件是其變分為0，或者說(shuō)，泛函J的極值函數(shù)y(x)必須是滿足泛函的變分dJ=0的函數(shù)類所以泛函的極值問(wèn)題稱為變分問(wèn)題在簡(jiǎn)單變分問(wèn)題中，端點(diǎn)是固定的同乘t得即又因?yàn)椋ǚ植椒e分）第9頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月歐拉(Euler)方程，泛函有極值的必要條件。所以，得?。﹩巫兞慷嗪瘮?shù)的泛函以上為單變量單函數(shù)泛函極值問(wèn)題的歐拉方程，較復(fù)雜的泛函歐拉方程可仿照上述方法導(dǎo)出。如與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相似，分別對(duì)多函數(shù)泛函之某一函數(shù)取變分，其余函數(shù)保持不變?？傻胕=1,2,……n第10頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ⅱ）高階導(dǎo)數(shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為或?qū)懗散＃┒嘣瘮?shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為第11頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1最速落徑問(wèn)題，即求解變分問(wèn)題代入得解：由于歐拉方程變形為不顯含x

第12頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求出偏導(dǎo)數(shù)，有通分并取平方取得令代入上式擺線的參數(shù)方程常數(shù)c1、c2由A、B位置決定第13頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4泛函的條件極值問(wèn)題若變量函數(shù)y（x）受到附加條件的限制，則相應(yīng)的極值問(wèn)題，稱為條件極值問(wèn)題。典型的也是最重的限制是用積分形式表示的,如即所謂等周問(wèn)題

均為常數(shù)，可仿照函數(shù)條件極值問(wèn)題的Lagrange乘子法，即

其中

第14頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將附加條件乘以參數(shù),確定特解l，求其變分，有這是通過(guò)a和b兩點(diǎn)的y(x)在附加條件下,使泛函取極值的必要條件。則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的泛函變分問(wèn)題，相應(yīng)的歐拉方程為關(guān)于y(x)的二階常微分方程，一般含三個(gè)參數(shù)，即l和兩個(gè)積分常數(shù)，泛函取極值的必要條件。由來(lái)確定第15頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2求的極值，其中y是歸一化的，即得解：此泛函的條件極值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題代入歐拉方程，有這里且已知第16頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的通解為代入歸一化條件，得所以而泛函的極值為使泛函取極小值p2當(dāng)n=1時(shí)，泛函滿足條件第17頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5求泛函極值的直接方法(Ritz方法)從泛函自身出發(fā)，不經(jīng)微分方程直接求出極值曲線，稱為泛函極值問(wèn)題的直接方法。Ritz方法—典型的直接方法：要點(diǎn)是不將其放在它全部定義域來(lái)考慮，而是在定義域的某一部分來(lái)考慮。使J轉(zhuǎn)化為

設(shè)某種完備的函數(shù)系

試償以其中的前幾項(xiàng)來(lái)表示變分問(wèn)題dJ=0的解

其中

為待定系數(shù)

的n元函數(shù)第18頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以按多元函數(shù)求極值的方法，令不過(guò)這樣得出的函數(shù)并非變分問(wèn)題dJ=0的嚴(yán)格解

由于f的形式是我們預(yù)先選定的，比如即

由此解出

便確定出了函數(shù)y(x)而是近似解,記為yn(x)，嚴(yán)格解應(yīng)為

Ritz法中函數(shù)系ji的選取至關(guān)重要，如何選取？

第19頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3用Ritz方法求例2。即求采用試探解項(xiàng)的選取是為了滿足解：以作為選取的函數(shù)系將其代入得下的變分問(wèn)題。在約束條件且已知第20頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由即結(jié)果是第21頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把代入得顯而易見(jiàn)，在c1=0時(shí)，J[y(x)]最小，最小值為10所以對(duì)比近似解，拋物線嚴(yán)格解，正弦曲線

且第22頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）把偏微分方程的本征值問(wèn)題或定解問(wèn)題，與泛函的極值問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，使原來(lái)的方程是泛函的歐拉方程；2）用直接方法求出泛函的極值函數(shù)，由于此函數(shù)一定滿足歐拉方程，所以，也一定滿足原方程，即一定是原方程的解。用變分法求數(shù)理方程的基本原理本節(jié)以Helmhotz方程的本征值問(wèn)題和Poisson方程的邊值問(wèn)題為例，討論把上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函極值問(wèn)題或變分法的基本方法，然后來(lái)求解極值問(wèn)題（用直接方法）?！?.2用分法求解數(shù)理方程第23頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（設(shè)u在區(qū)域t內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，l為參數(shù),s為t的邊界）取泛函令1本征問(wèn)題與變分問(wèn)題的關(guān)系Helmhotz本征值問(wèn)題由第一格林公式則有或第24頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中對(duì)應(yīng)的歐拉方程為對(duì)于三元函數(shù)的泛函，其變分問(wèn)題為所以第25頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即泛函中把代入歐拉方程，得歐拉方程變?yōu)闃O值問(wèn)題的歐拉方程就是Helmhotz方程在邊界條件下本征值問(wèn)題而且，此泛函變分問(wèn)題與泛函在附加條件就是說(shuō)，Helmhotz方程的本征值問(wèn)題，可歸結(jié)為歸一條件下J1[u]的極值問(wèn)題。下的變分問(wèn)題等價(jià)。第26頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所對(duì)應(yīng)的泛函同樣為若為第二類邊界條件同樣亦有即本征值問(wèn)題若為第三類邊界條件類似地有第27頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則本征值問(wèn)題

記和邊界條件下的極值問(wèn)題可歸結(jié)為在附加條件求泛函2泛函極值與本征值問(wèn)題的關(guān)系仍以Helmhotz方程為例，先給出一重要結(jié)論：的最小值l0就是本征值問(wèn)題泛函的最小本征值,而使泛函J1[u]在邊界條件第28頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月和附加條件u0就是該本征值問(wèn)題對(duì)應(yīng)本征值l0的本征函數(shù)。取得最小值的函數(shù)結(jié)論的證明：有最小值l0的極值函數(shù)，則有設(shè)u0是使泛函由邊界條件知第29頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的歐拉方程為又，在附加條件下所以u(píng)0滿足或代入J1[u0],有u0是本征函數(shù)。再證明：即l0是本征值，設(shè)l0是最小本征值。第30頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的本征函數(shù)為u1則有這與是的最小值相矛盾結(jié)論得證。有次小值l1的極值函數(shù)，類似地還可證明，若設(shè)u1是使泛函且滿足邊界條件和附加條件除此之外，還同時(shí)滿足與u0正交的條件。即設(shè)第31頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的本征函數(shù)為u1滿足依此類推，泛函取第i個(gè)極值的極值函數(shù)ui滿足且滿足邊界條件和附加條件除此之外，還同時(shí)滿足正交條件即由此得到的泛函的次極小值就是本征值問(wèn)題的次極小值對(duì)于一系列本征值相應(yīng)的本征函數(shù)為第32頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例用變分法求邊界固定的圓膜橫振動(dòng)的本征振動(dòng)。代入上式，得引入無(wú)量綱變量解：取平面極坐標(biāo)，定解問(wèn)題為令旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

記得第33頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是一個(gè)二階常微分方程的本征值問(wèn)題，用變分法對(duì)于任意的二階常微分方程的本征值問(wèn)題，形如在歸一化條件能夠證明，可轉(zhuǎn)化歸結(jié)為：及相應(yīng)邊界條件下求泛函的極值問(wèn)題第34頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二方程對(duì)比在歸一化條件有下，求泛函的極值問(wèn)題所以方程的求解第35頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月采用直接方法（Ritz方法）求解令代入歸一化條件和泛函，得（如此取形使x=0處不出現(xiàn)尖點(diǎn)）算出各積分，得I,J

兩個(gè)關(guān)于c1，c2的函數(shù)為第36頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由Lagrange乘子法，取極值的條件為其中:k=lb2c1、c2

非零解存在的條件是：解出k的兩個(gè)解為，第37頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最小本征值為因l=b2/k將其代入c的方程和歸一化條件解出本例的嚴(yán)格解可由分離變量法得出，結(jié)果為為最小本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)稱為零階Bessel函數(shù)，稱為零階Bessel函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)。第38頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一類邊值問(wèn)題3邊值問(wèn)題與變分問(wèn)題的關(guān)系以Poisson問(wèn)題為例來(lái)討論s為t的邊界取對(duì)取變分，有第39頁(yè)，課件共42頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但由泛函取極值的條件為，所以相應(yīng)的歐拉方程為（前式利