各種各樣的代數(shù)運算

各種各樣的代數(shù)運算第1頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例課件作者：南京師大數(shù)科院周興和1、仿射變換

定義3.1

在拓廣平面上，保持無窮遠直線不變的射影變換稱為射影仿射變換.

定理3.1射影變換保持l∞：x3=0不變a31=a32=0.證明：(略,見教材).顯然,射影仿射變換形如作用于射影仿射平面(拓廣平面上).第2頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例1、仿射變換顯然,射影仿射變換形如作用于射影仿射平面(拓廣平面上).將(3.2)式化為非齊次(前二式兩邊分別除以第三式),得稱(3.3)決定的變換為仿射變換,作用于一般仿射平面上.第3頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例1、仿射變換中,如果矩陣A為正交陣,即滿足AA'=E,則稱為正交變換,(3.3)的齊次坐標表達式稱為射影正交變換.2、正交變換

定義3.2在仿射變換

注：正交變換作用于歐氏平面上,而射影正交變換則作用于射影仿射平面上.第4頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群

定義

(代數(shù)運算)設A,B,C為集合,為A×B到C的一個對應.則稱為A×B到C的一個代數(shù)運算.

特別地,若B=C=A,則稱為集合A上的一個代數(shù)運算.

注：代數(shù)運算可以滿足結合律,交換律,分配律中的某一個或者全部.以下這些概念都將在《近世代數(shù)》課程中學習,我們僅承認并應用.定義了代數(shù)運算的集合稱為代數(shù)系統(tǒng),代數(shù)學就是研究代數(shù)系統(tǒng)的科學.第5頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群比如,實數(shù)集R上的加(減)法、乘(除)法都是R上的代數(shù)運算.比如,對于數(shù)域F上的向量空間V,數(shù)乘向量是F×V到V的一個代數(shù)運算.有形形式式的集合,更有各種各樣的代數(shù)運算.比如,矩陣的乘法是所有矩陣的集合上的代數(shù)運算.比如,sin不是一個代數(shù)運算,而sincos是一個代數(shù)運算.第6頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群

定義3.3(群)設G為非空集合.在G上定義一個代數(shù)運算,稱為乘法.如果滿足下述4條公理,則稱G對于這個乘法構成一個群,記作G.

注1定義中的運算是稱為乘法,未必是通常的乘法.

注2群中的乘法不一定滿足交換律.若滿足交換律,可以將這種乘法稱為加法,這樣的群稱為交換群或加法群或Abel群.第7頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群

例1

設Q*表示全體非零有理數(shù)的集合,則Q*對于數(shù)的乘法構成群.

例2

設M表示實數(shù)域上全體n階可逆方陣的集合,則M對于矩陣的乘法構成群.

定義3.3(群)設G為非空集合.在G上定義一個代數(shù)運算,稱為乘法.如果滿足下述4條公理,則稱G對于這個乘法構成一個群,記作G.第8頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群

定義3.4(子群)設G為群,H為G的一個非空子集,若H對于G上的乘法也構成群,則稱H為G的一個子群.

定理3.2

群G的一個非空子集H為G的子群H滿足下述條件.證明.只要由上述(1),(2)推出H對于G的乘法滿足群的4個條件(嚴格證明將來見《近世代數(shù)》課程).第9頁，課件共11頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章變換群與幾何學一、二維射影變換的特例二、群與變換群

定義3.5(群的同構)兩個群G,G'之間的一個能夠保持乘法運算的雙射稱為G與G'之間的一個同構映射.

如果群G與G'之間存在一個同構映射,則稱G同構于G',記作GG'.

定理3.3非空集合S上全體一一變換的集合對于變換的乘法構成群.稱為集合S上的全變換群.

定理3.4非空集合S上若干個一一變換的集合G對于變換的乘法構成群(1)若g1,g2∈G,則g1g2∈G.(2)若g