《向量的數(shù)乘運(yùn)算》

向量的數(shù)乘運(yùn)算1.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取一點(diǎn)O,o回顧舊知:過(guò)O作OA=

a過(guò)A作AB=

b則OB=a+b.a+bbaA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾連2.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點(diǎn)O,o以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形C如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB過(guò)O作OA=

a過(guò)O作OB=

ba+b則對(duì)角線OC=a+b共起點(diǎn)3.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一點(diǎn)O,oaAa-bbB共起點(diǎn)過(guò)O作OA=

a過(guò)O作OB=

b則BA=a-b實(shí)際背景探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如圖）a試作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根據(jù)向量加法的法則可得

思考:相同向量相加以后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？OABC

由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把a(bǔ)+a+a記作3a，即OC=3a.

顯然，3a的方向與a的方向相同，3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，即|3a|=3|a|.PQMN由圖可知，

PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)記作-3a，即PN=-3a顯然，-3a的方向與a的方向相反，-3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，即|-3a|=3|a|。（1）

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反。特別的，當(dāng)時(shí)，思考:向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)?那些不同點(diǎn)?①a是一個(gè)向量；②a的長(zhǎng)度等于的絕對(duì)值與向量a的長(zhǎng)度的乘積。=探索2:(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a為非零向量)，并進(jìn)行比較。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并進(jìn)行比較。設(shè)為實(shí)數(shù)，那么特別的，我們有

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算.對(duì)于任意向量，以及任意實(shí)數(shù)，恒有第一分配律第二分配律例1.計(jì)算：練習(xí)2：在ABCD中，設(shè)對(duì)角線試用,表示練習(xí)4：凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證:探索.如圖：已知，，試判斷與是否共線．

ABDEC∴與共線．

解：思考:問(wèn)題2：如果向量a與b共線那么，b=λa？問(wèn)題1：如果b=λa,

那么，向量a與b是否共線？對(duì)于向量a(a≠0),b，以及實(shí)數(shù)λ,向量共線定理

對(duì)于向量a（a≠0）、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，a與b共線.

反過(guò)來(lái)，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長(zhǎng)度是向量a的λ倍，即|b|︰|a|=λ，那么當(dāng)向量a與b同方向時(shí)，有b=λa，當(dāng)向量a與b反方向時(shí)，有b=-λa.

也就是說(shuō)：如果a與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a.例2:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD上的一點(diǎn)，，求證M、N、C三點(diǎn)共線.AMBCDN提示：設(shè)AB=aBC=b則MN=…=a+

bMC=…=a+

b

所以M.N.C三點(diǎn)共線一、①λa的定義及運(yùn)算律②向量共線定理(a≠0)

b=λa向量a與b共線

二、定理的應(yīng)用：

1.證明向量共線

2.