力學量用算符表達

力學量用算符表達第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月18-10

勢壘貫穿（隧道效應）在經(jīng)典力學中,若,粒子的動能為正,它只能在I區(qū)中運動。即粒子運動到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。OIIIIII求一個動量和能量已知的粒子受到勢場的作用后，被散射到各個方向去的幾率。在量子力學中,無論粒子能量是大于還是小于都有一定的幾率穿過勢壘，也有一定的幾率被反射。我們下面只就時，討論薛定諤方程的解。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月勢壘的勢場分布寫為：在三個區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應遵從的薛定諤方程分別為：OIIIIII定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月令：定態(tài)解的含時部分：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：時、空異號為右行波第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應當時，勢壘的寬度約50nm以上時，貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應在實際上已經(jīng)沒有意義了。量子概念過渡到經(jīng)典了。第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月隧道效應和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長度約為1nm。只要將原子線度的極細探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當樣品與針尖的距離非常接近時，它們的表面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會穿過電極間的勢壘形成隧道電流。隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。Scanningtunnelingmicroscopy第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可得到表面電子態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關的性質(zhì)。在表面科學、材料科學和生命科學等領域中有著重大的意義和廣闊的應用前景?？諝庀禨TM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月利用光學中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術。它可用于不導電樣品的觀察。STM樣品必須具有一定程度的導電性；在恒流工作模式下有時對表面某些溝槽不能準確探測。任何一種技術都有其局限性。見FPCAI、ZLCAI、CAIUPS軟件。量子圍欄和分子人。第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程及解若選取線性諧振子平衡位置為坐標原點，并選取其為勢能的零點，則線性諧振子的勢能表示為：m是粒子的質(zhì)量，K是諧振子的彈性系數(shù)。對經(jīng)典諧振子它是角頻率。線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，可解。第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月引進無量綱參量和方程化為：*波函數(shù)在時的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因為諧振子是處于束縛態(tài)應舍棄解。所以有當時第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)漸近行為方程解可寫為：上述厄米微分方程的解是個無窮級數(shù)。為了保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個級數(shù)只包含有限項，其條件是：代入原方程應滿足：第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月*得出滿足束縛邊界條件的級數(shù)解是：稱為厄米多項式。它的前幾個為：普遍表達式：第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月*能量本征值和零點能因為：所以線性諧振子的能級只能取分立值，能級間隔相等。線性諧振子基態(tài)能：第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月有關光被晶體散射的實驗，證明在趨于絕對零度時，散射光的強度趨于一確定值。說明原子有零點振動存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會變成固體，具有顯著的零點能效應。實驗事實：*能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月線性諧振子n=11時的幾率密度分布在原點速度最大，停留時間短，粒子出現(xiàn)的幾率??；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾率最大。虛線是經(jīng)典結(jié)果。第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月可見當n為偶數(shù)時，稱線性諧振子處于偶宇稱。可見當n為奇數(shù)時，稱線性諧振子處于奇宇稱。隨量子數(shù)n增大，量子諧振子的幾率密度迅速震蕩，其平均值與經(jīng)典結(jié)果趨于符合。相似性逐漸增大。在原點速度最大，停留時間短，粒子出現(xiàn)的幾率??；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾率最大。第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月波函數(shù)的模方代表粒子在t時刻r處的幾率密度。波函數(shù)是幾率波，滿足波的疊加。18-11量子力學的基本假設量子體系的狀態(tài)由波函數(shù)完全描述?？捎^測的力學量對應一個線性厄米算符。力學量算符的本征值方程中的本征值對應該力學量的一切可測量值。

第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月其展開系數(shù)的模方就是在該態(tài)中測量到與算符相應的本征態(tài)其本征值的幾率。力學量算符的本征函數(shù)構成完備正交系力學量的平均值：任何態(tài)函數(shù)均可以用力學量算符的本征函數(shù)系，或一組力學量完全集的共同本征函數(shù)系來展開。例如：第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)隨時間的演化服從薛定諤波動方程對于全同粒子系的狀態(tài)，粒子的交換不改變系統(tǒng)的狀態(tài)——全同性原理。其中是系統(tǒng)的哈密頓算符第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月除了位置和動量以外，其中一類以坐標為函數(shù)的力學量，其量子力學所對應的算符形式不變。如勢能

和作用力。力學量用算符表達經(jīng)驗告訴我們，與經(jīng)典力學量對應的量子力學中的算符形式：另一類經(jīng)典力學量是與動量有關，其量子力學所對應的算符可用動量的對應關系得出，例如動能算符的表達式：第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量算符的表達式：第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月角動量算符的模方定義為：球坐標第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

本征值和本征函數(shù)是力學量A

取確定值時的本征態(tài)稱上式為算符的本征值方程。

是力學量A的一個本征值。由本征值方程解出的全部本征值就是相應力學量的可能取值。當力學量算符作用在波函數(shù)上，其結(jié)果是同一個函數(shù)乘以一個常量時：第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱本征值是重簡并的。稱為簡并度簡并態(tài)的選擇不是唯一的。如果屬于本征值的本征態(tài)不是一個，而是個，即力學量A的本征方程為：矩陣代數(shù)中的厄米矩陣矩陣代數(shù)中的本征矢矩陣代數(shù)中的本征值物理量算符微觀粒子的定態(tài)與定態(tài)對應的物理量的確定值第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例：動量算符的本征值方程是式中是動量算符的本征值，在直角坐標系下為均為實數(shù)。動量本征值方程的解：它就是的單色平面波，在量子力學中，平面波代表粒子有確定的動量、在空間各處出現(xiàn)的幾率相同的狀態(tài)。第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月力學量算符必須是線性厄米算符。*厄米算符的本征值必為實數(shù)。*厄米算符的平均值必為實數(shù)。*當出現(xiàn)簡并時，可以證明：總可以適當?shù)鼐€性組合簡并態(tài)，使之彼此正交。線性厄米算符的性質(zhì)：*厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。厄米算符第28頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月力學量的完全集、本征函數(shù)的完全性通常一個力學量的本征值是簡并的,這時必定存在獨立于,而又與它對易的其它力學量。如