空間向量及其運(yùn)算

空間向量及其運(yùn)算最新考綱要求學(xué)生了解空間向量的概念，基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解和坐標(biāo)表示，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，并能夠運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直。本節(jié)內(nèi)容是空間向量的基礎(chǔ)，包括空間直角坐標(biāo)系、空間向量的基本定理、公式和四種運(yùn)算等內(nèi)容。一般不單獨(dú)命題，常以簡單幾何體為載體，以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明以及空間角的計(jì)算，解題要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力?？臻g向量的相關(guān)概念包括零向量、單位向量、相等向量、相反向量、共線向量和共面向量等。其中，共線向量定理指出，空間兩個向量a與b(b≠)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb；共面向量定理的向量表達(dá)式為p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量；空間向量基本定理指出，如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空間的一個基底?？臻g向量的數(shù)量積是指兩個向量的模相乘再乘以它們的夾角的余弦值，記作a·b，其中a，b為非零向量?？臻g向量數(shù)量積的運(yùn)算律包括(λa)·b＝λ(a·b)、交換律：a·b＝b·a、分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c等?？臻g向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用是指將向量的坐標(biāo)表示成有序?qū)崝?shù)組的形式，可以用于計(jì)算向量的模、夾角、共線關(guān)系和垂直關(guān)系等。在應(yīng)用中需要注意共線向量和共面向量的區(qū)別，平行于同一平面的向量為共面向量。2.零向量不能作為基向量，因?yàn)樗c任何一個非零向量共線，與任何兩個非零向量共面。3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無關(guān)，因?yàn)橐粋€確定的幾何體的“線線”夾角和“點(diǎn)點(diǎn)”距離都是固定的。坐標(biāo)系的位置不同只會影響計(jì)算的繁簡，不會影響結(jié)果。向量表示：對于向量a和b，有a·b、|a|、〈a，b〉的定義和計(jì)算公式。坐標(biāo)表示：向量a可以表示為a1i+a2j+a3k，其中i、j、k是三個互相垂直的單位向量。向量a與向量b的數(shù)量積可以表示為a·b=a1b1+a2b2+a3b3。向量a與向量b的向量積可以表示為a×b=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k。題組一思考辨析：1.(1)正確，因?yàn)閮蓚€非零向量共面的充分必要條件是它們線性相關(guān)，即其中一個向量可以表示為另一個向量的線性組合。(2)錯誤，因?yàn)閿?shù)量積不滿足結(jié)合律。(3)錯誤，因?yàn)橛蒩·b=b·c可以推出a與c共線而不是a=c。(4)錯誤，因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍是0到π之間，而兩異面直線所成角的范圍是0到π/2之間，兩者不同。(5)正確，四個向量的和等于零向量，即AB＋BC＋CD＋DA＝0，因此有AB＋BC＋CD＋DA＝AB＋BC＋CD＋DA＝(AB＋BC)+(CD＋DA)=AD+BC。(6)錯誤，因?yàn)閍·b<0表示向量a和b的夾角是銳角或者是鈍角，而不是只有鈍角。題組二教材改編：2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)。由于BM=BB1+B1M=AA1+(AD-AB)/2，因此與BM相等的向量是－a+b+c。3.正四面體ABCD的棱長為2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則EF的長為2/√2=√2。因?yàn)镋F=1/2(B-C+D-A)，而B-C+D-A是正四面體的高，其長度為2√2/3，因此EF的長度為2/√2=√2。在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(-2,-1,6)，點(diǎn)C(3,2,1)，點(diǎn)D(4,3,0)，求直線AB與CD的位置關(guān)系。解：首先根據(jù)已知點(diǎn)求出向量AB和向量CD，得到AB=(-3,-3,3)，CD=(1,1,-1)。由于AB與CD沒有公共點(diǎn)，因此它們要么平行，要么異面。又因?yàn)锳B與CD共線，所以它們不可能平行，只能是異面。因此，選項(xiàng)為C。已知向量a=(2,3,1)，向量b=(-4,2,x)，且a⊥b，求|b|。解：由于a⊥b，所以a·b=0，即2*(-4)+3*2+1*x=0，解得x=2。因此，向量b=(-4,2,2)，|b|=√((-4)^2+2^2+2^2)=√(16+4+4)=√24=2√6。因此，答案為26。在空間幾何體ABCD-A中，各面為平行四邊形，設(shè)AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，求向量AP和向量MP+NC1。解：根據(jù)題意，向量AP=AA1+AD+D1P=a+c+b。又因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以向量MP=MA+AP=-a+(a+c+b)/2=(a+b+c)/2。又因?yàn)镹C1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，所以向量MP+NC1=(a+b+c)/2+(c+a)=(2a+2b+3c)/2=a+b+1.5c。因此，向量AP=a+c+b，向量MP+NC1=a+b+1.5c。利用三角形法則或平行四邊形法則，可以將所求向量用已知基向量表示出來。例如，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，用AB、AD、AA1表示OC1，則OC1=AB+AD+AA1/2。在三棱錐O-ABC中，M、N分別是AB、OC的中點(diǎn)，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，用a、b、c表示NM，則NM=(a+b-c)/2。在例2中，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，需要證明E、F、G、H四點(diǎn)共面，以及BD∥平面EFGH。首先連接BG，得到EG=EB+BG=EB+(BC+BD)/2=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理的推論可知E、F、G、H四點(diǎn)共面。其次，因?yàn)镋H=AH-AE=AD-AB=BD，所以EH∥BD。又因?yàn)镋H在平面EFGH內(nèi)，而BD不在平面EFGH內(nèi)，因此BD∥平面EFGH。證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較：對于三點(diǎn)共線，可以利用向量的線性關(guān)系進(jìn)行證明，例如PA=λPB，則對于任意一點(diǎn)O，OP=OA+tAB，也可以利用向量共面的性質(zhì)，例如對于四點(diǎn)共面，可以利用向量共面的性質(zhì)進(jìn)行證明，例如MP=xMA+yMB，則對于任意一點(diǎn)O，OP=OM+xMA+yMB。對空間任一點(diǎn)O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB。解析：(1)判斷向量MN是否與向量AB，AA1共面。由已知，AM＝kAC1，BN＝kBC1，因此MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kB1C1＝kB1A＋AB－kAA1。所以，向量MN與向量AB，AA1共面。(2)判斷直線MN是否與平面ABB1A1平行。當(dāng)k＝0時，點(diǎn)M，A重合，點(diǎn)N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)；當(dāng)0＜k＜1時，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，但由(1)知MN與AB，AA1共面，因此MN與平面ABB1A1平行。綜上，當(dāng)k＝0時，MN在平面ABB1A1內(nèi)；當(dāng)0＜k≤1時，MN與平面ABB1A1平行。例3：如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)。(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值。解析：(1)證明MN⊥AB，MN⊥CD。設(shè)AB＝p，AC＝q，AD＝r，由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60°。因此，MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB＝(q＋r－p)/2。由向量點(diǎn)乘的性質(zhì)可得MN·AB＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)/2＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)/2＝0。同理可證MN⊥CD。(2)解異面直線AN與CM所成角的余弦值。設(shè)向量AN與MC的夾角為θ，由向量點(diǎn)乘的性質(zhì)可得AN·MC＝|AN||MC|cosθ。由已知，AN＝(AC＋AD)＝(q＋r)，MC＝AC－AM＝q－p，因此AN·MC＝(q＋r)·(q－p)＝|q|2－q·p＋|r|2－r·p。代入a2＝|p|2＝|q|2＝|r|2和cos60°＝1/2可得AN·MC＝a2/2－a2cos60°＝a2/2－a2/2＋a2/2cos60°＝a2/4。綜上，cosθ＝AN·MC/|AN||MC|＝a2/4÷a2/2＝1/2，所以異面直線AN與CM所成角的余弦值為1/2。又因?yàn)閨AN|=|MC|=a，所以AN·MC=|AN||MC|cosθ=a×a×cosθ=a2cosθ。因此，cosθ=a2/(AN·MC)，向量AN與MC的夾角的余弦值為cosθ，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為cos(π/2-θ)=sinθ=a/√(3a2)=√3/3。向量的數(shù)量積可以用來證明線段的垂直關(guān)系，也可以通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置。夾角公式可以用來求異面直線所成的角，也可以求平面與平面的夾角?？梢酝ㄟ^|a|=a·a，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解。在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°。(1)求AC?的長。記AB=a，AD=b，AA?=c，則|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，所以a·b=b·c=c·a=-1/2。|AC?|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=3+3(-1/2)=6，因此|AC?|=√6。(2)求BD?與AC?夾角的余弦值。BD?=b+c-a，AC?=a+b，所以|BD?|=2，|AC?|=3，BD?·AC?=b2-a2+a·c+b·c=1。因此，cos(∠BD?,AC?)=BD?·AC?/(|BD?||AC?|)=1/6，BD?與AC?夾角的余弦值為1/6。正確命題的個數(shù)是2個，分別是①和④。解得x＝2，y＝－3，代入得λ＝－9，故選答案－9。改寫為：已知向量a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則必有c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，解得x＝2，y＝－3，代入得λ＝－9，因此答案為－9。解析：(1)設(shè)向量MA＝a，MB＝b，MC＝c，則OM＝a＋b＋c，又由向量共面的充要條件可知，a，b，c共面當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得k1a＋k2b＋k3c＝0且k1＋k2＋k3＝0.將OM＝a＋b＋c代入可得k1(a－OM)＋k2(b－OM)＋k3(c－OM)＝0且k1＋k2＋k3＝0，即向量OM，OA－OM，OB－OM，OC－OM共面.(2)設(shè)M在平面ABC內(nèi)，則向量MA，MB，MC在平面ABC內(nèi)，即它們的線性組合k1MA＋k2MB＋k3MC在平面ABC內(nèi)，又由于OM＝k1OA＋k2OB＋k3OC，所以O(shè)M也在平面ABC內(nèi).反之，若M在平面ABC內(nèi)，則OM在平面ABC內(nèi)，故向量MA，MB，MC在平面ABC內(nèi)，即M在平面ABC內(nèi).答案：(1)共面；(2)不在平面ABC內(nèi).(1)根據(jù)題意，將OA+OB+OC=3OM變形得到OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC)，即MA=MB+MC=-MB-MC，因此MA、MB、MC共面。(2)由(1)知道MA、MB、MC共面且過同一點(diǎn)M，因此M、A、B、C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)。(1)根據(jù)題意計(jì)算2a+b得到(0,-5,5)，因此|2a+b|=2+(-5)2+52=25。(2)令A(yù)E=tAB，則OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t)。若OE⊥b，則OE·b=0，解得t=6/14=3/7。因此存在點(diǎn)E，使得OE⊥b，此時E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-9/7,-22/7,26/7)。(1)將ON表示成向量OB+BN，再將BN表示成向量BA+AN，得到ON=OB+BA+AN=2OA+2OD。因此MN=ON-OM=OB+OC-OA=2OD，即MN=2OD。根據(jù)勾股定理得到OG2=OM2+MG2=(1/4)AB2+(1/4)BC2，即OG2=(1/2)AD2，因此OG=AD/√2。又因?yàn)镺G=xOA+yOB+zOC，所以x+y+z=1/√2+0+0=1/√2。(2)根據(jù)題意AB·AC=0，AC·AD=0，AB·AD=0，因此△AMD為直角三角形。由勾股定理可知AM2=1/4(AB2+AC2)，AD2=1/4(AB2+AC2)，因此AM=AD/√2，即△AMD為等腰直角三角形，因此為直角三角形。15.已知點(diǎn)O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)QA·QB取最小值時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,1,2)。解析：設(shè)OQ=λOP，則OQ=(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，則QA=(1-λ，2-λ，1-2λ)，QB=(2-λ，1-λ，2-2λ)，因此QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(1-2λ)(2-2λ)=6λ^2-12λ+6=6(λ-1)^2，當(dāng)λ=1時取最小值，此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,2)。16.如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D，E分別為棱AB，BB′的中點(diǎn)。(1)證明CE⊥A′D；(2)