布洛卡點(diǎn)及其性質(zhì)

布洛卡點(diǎn)及其性質(zhì)三角形有很多奇特的點(diǎn)，其中布洛卡點(diǎn)充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系?？死餇栍?816年首先發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)時(shí)未引起人們的注意。法國人布洛卡1875年重新發(fā)現(xiàn)并獲得重視，19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，人們對(duì)布洛卡的研究盛極一時(shí)。布洛卡點(diǎn)的定義：如圖1，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若則稱P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，其中∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，θ為△ABC的布洛卡角。布洛卡點(diǎn)的性質(zhì)：性質(zhì)1：cotθ=cotA+cotB+cotC。證明1：設(shè)AP=x，BP=y，CP=z，則cotA=sinA/2bc/sinA，cotB=sinB/2ac/sinB，cotC=sinC/2ab/sinC。易得cotA+cotB+cotC=（a2+b2+c2）/4S，其中S為△ABC的面積。在△PAB、△PBC、△PCA中，分別有cotθ=sinθ/2cx/sinθ，cotθ=sinθ/2ay/sinθ，cotθ=sinθ/2bz/sinθ。所以cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。證明2：如圖，作△ABC的高CH，作CG⊥BP與點(diǎn)G，則∠CPG=θ+∠PCB=∠C，故cotθ-cotC=BG/CG，cotA+cotB=AH/BH，cotθ-cotC=AH/BH-BG/CG，即cotθ=cotA+cotB+cotC。性質(zhì)2：在銳角△ABC中，θ≤30°，當(dāng)θ=30°時(shí)，△ABC為正三角形。證明：由布洛卡點(diǎn)性質(zhì)1可知cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。由外森匹克不等式a+b+c≥4√3S，可得a2+b2+c2≥4√3S，所以cotθ≤1/√3。當(dāng)θ=30°時(shí)，cotθ=1/√3，所以a=b=c，△ABC為正三角形。Cotθ≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，外森匹克不等式取得等號(hào)，即△ABC為正三角形。外森匹克不等式的證明如下：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=1/33(4p(3p-3a)(3p-3b)(3p-3c))^2≤21(p+3p-3a+3p-3b+3p-3c)^11/2222，即a+b+c≥43√p(p-a)(p-b)(p-c)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)。布洛卡點(diǎn)性質(zhì)3：當(dāng)θ=π/2-∠A/2時(shí)，△ABC三邊a，b，c滿足a^2=bc；當(dāng)θ=π/2-∠B/2時(shí)，b^2=ac；當(dāng)θ=π/2-∠C/2時(shí)，c^2=ab。證明如下：由cotθ=cotA+cotB+cotC及θ=π/2-∠A/2，cotB+cotC=cosB+cosC=sinA(cotA-cot(π/2-∠A/2))=AsinA/2sinBsinC/cosA/2，所以1/sinA=√(sinBsinC/sin^2A)，即sin^2A=sinBsinC，因此a^2=bc。性質(zhì)3曾在2011年北大保送生考試數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)。拓展：如圖，在△ABC中，有APsin(α+θ)sinB=PCsin(γ+θ)sinA，BPsin(β+θ)sinC=PCsin(γ+θ)sinB，CPsin(γ+θ)sinA=APsin(α+θ)sinC。證明如下：由正項(xiàng)定理，得APsin(α+θ)sinB/PCsin(γ+θ)sinA=ABsin(α+θ)/BCsinγ=ACsin(β+θ)/BCsinγ=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB，同理可得APsin(α+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinA=CPsin(γ+θ)sinA/APsin(α+θ)sinC=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB，故sinαsinBsinC/sin^3θ=sin^3A/2sin^3Bsin^3C/sin^3θ=sin^3C/2sin^3Asin^3B/sin^3θ，即sin^3A/2sin^3Bsin^3C=sin^3C/2sin^3Asin^3B，因此sin^3A/sinA=√(sinBsinC/sin^2A)√(sinAsinC/sin^2B)√