布洛卡點(diǎn)及其性質(zhì)_第1頁
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文檔簡介

布洛卡點(diǎn)及其性質(zhì)三角形有很多奇特的點(diǎn),其中布洛卡點(diǎn)充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系??死餇栍?816年首先發(fā)現(xiàn),但當(dāng)時(shí)未引起人們的注意。法國人布洛卡1875年重新發(fā)現(xiàn)并獲得重視,19世紀(jì)末和20世紀(jì)初,人們對(duì)布洛卡的研究盛極一時(shí)。布洛卡點(diǎn)的定義:如圖1,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),若則稱P為△ABC的布洛卡點(diǎn),其中∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,θ為△ABC的布洛卡角。布洛卡點(diǎn)的性質(zhì):性質(zhì)1:cotθ=cotA+cotB+cotC。證明1:設(shè)AP=x,BP=y,CP=z,則cotA=sinA/2bc/sinA,cotB=sinB/2ac/sinB,cotC=sinC/2ab/sinC。易得cotA+cotB+cotC=(a2+b2+c2)/4S,其中S為△ABC的面積。在△PAB、△PBC、△PCA中,分別有cotθ=sinθ/2cx/sinθ,cotθ=sinθ/2ay/sinθ,cotθ=sinθ/2bz/sinθ。所以cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。證明2:如圖,作△ABC的高CH,作CG⊥BP與點(diǎn)G,則∠CPG=θ+∠PCB=∠C,故cotθ-cotC=BG/CG,cotA+cotB=AH/BH,cotθ-cotC=AH/BH-BG/CG,即cotθ=cotA+cotB+cotC。性質(zhì)2:在銳角△ABC中,θ≤30°,當(dāng)θ=30°時(shí),△ABC為正三角形。證明:由布洛卡點(diǎn)性質(zhì)1可知cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。由外森匹克不等式a+b+c≥4√3S,可得a2+b2+c2≥4√3S,所以cotθ≤1/√3。當(dāng)θ=30°時(shí),cotθ=1/√3,所以a=b=c,△ABC為正三角形。Cotθ≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),外森匹克不等式取得等號(hào),即△ABC為正三角形。外森匹克不等式的證明如下:S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=1/33(4p(3p-3a)(3p-3b)(3p-3c))^2≤21(p+3p-3a+3p-3b+3p-3c)^11/2222,即a+b+c≥43√p(p-a)(p-b)(p-c),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取等號(hào)。布洛卡點(diǎn)性質(zhì)3:當(dāng)θ=π/2-∠A/2時(shí),△ABC三邊a,b,c滿足a^2=bc;當(dāng)θ=π/2-∠B/2時(shí),b^2=ac;當(dāng)θ=π/2-∠C/2時(shí),c^2=ab。證明如下:由cotθ=cotA+cotB+cotC及θ=π/2-∠A/2,cotB+cotC=cosB+cosC=sinA(cotA-cot(π/2-∠A/2))=AsinA/2sinBsinC/cosA/2,所以1/sinA=√(sinBsinC/sin^2A),即sin^2A=sinBsinC,因此a^2=bc。性質(zhì)3曾在2011年北大保送生考試數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)。拓展:如圖,在△ABC中,有APsin(α+θ)sinB=PCsin(γ+θ)sinA,BPsin(β+θ)sinC=PCsin(γ+θ)sinB,CPsin(γ+θ)sinA=APsin(α+θ)sinC。證明如下:由正項(xiàng)定理,得APsin(α+θ)sinB/PCsin(γ+θ)sinA=ABsin(α+θ)/BCsinγ=ACsin(β+θ)/BCsinγ=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB,同理可得APsin(α+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinA=CPsin(γ+θ)sinA/APsin(α+θ)sinC=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB,故sinαsinBsinC/sin^3θ=sin^3A/2sin^3Bsin^3C/sin^3θ=sin^3C/2sin^3Asin^3B/sin^3θ,即sin^3A/2sin^3Bsin^3C=sin^3C/2sin^3Asin^3B,因此sin^3A/sinA=√(sinBsinC/sin^2A)√(sinAsinC/sin^2B)√

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