兩類特殊雙曲線探究

精品文檔-下載后可編輯兩類特殊雙曲線探究高中階段的教材的章節(jié)安排可以說是非?？茖W(xué)的。作為老師我們更應(yīng)該深刻領(lǐng)會其中的一些指導(dǎo)性思想，并逐步使這些思想在日常的教學(xué)工作中得到充分的體現(xiàn)。做好這件事情我認(rèn)為非常有意義。因為我們教師只有從宏觀上對整個教學(xué)內(nèi)容的分布或格局有一個深入淺出的把握，我們才能對學(xué)生的學(xué)習(xí)進行一種良好的規(guī)劃和指導(dǎo)，并且能對某些重要的和典型的知識內(nèi)容進行研究性學(xué)習(xí)，從而不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。本人就通過二數(shù)學(xué)教學(xué)中的一堂課的教學(xué)實例，來簡單談一些看法，希望與各位同行進行交流和切磋。

函數(shù)（曲線）和方程的教學(xué)內(nèi)容是高中階段一塊重要的核心內(nèi)容，它的思想可以說是貫穿整個高中階段的教學(xué)過程。在高一階段的教學(xué)過程中，學(xué)生已經(jīng)逐漸領(lǐng)會了如何了解一個函數(shù)的一些思想方法。并且我還補充了高中階段經(jīng)常遇到的兩類重要的特殊函數(shù)：

（1）y=（一次分式函數(shù)）；（當(dāng)時以y=為例進行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）

（2）（雙鉤函數(shù)）（當(dāng)時以y=x+為例進行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）（當(dāng)ab>0時，圖象的兩個鉤子又可以稱為耐克函數(shù)，符合現(xiàn)在學(xué)生的品牌觀念）

應(yīng)該說學(xué)生對這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)是非常重視的，也掌握得比較扎實。在今年高二的圓錐曲線方程之雙曲線的教學(xué)復(fù)習(xí)中，我又適時地向?qū)W生推出了這兩類函數(shù)，學(xué)生頓時明白了這兩類函數(shù)的圖象就是我們現(xiàn)在所研究的雙曲線。于是學(xué)生記憶中的舊知識被喚醒，學(xué)習(xí)興趣也如雨后春筍破土而出，勢不可擋。學(xué)習(xí)的效果確實是比較理想的。

下面對本堂課的前后過程作一個簡單的介紹。

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了雙曲線與橢圓及拋物線所明顯的一個區(qū)別：雙曲線擁有漸近線。

本節(jié)課以雙曲線的漸近線為切入口，讓學(xué)生進一步學(xué)習(xí)和加深對雙曲線性質(zhì)的了解。

準(zhǔn)備知識（已經(jīng)有所介紹）：

引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，分析其特點，去探求對稱中心，頂點，焦點，對稱軸，漸近線，準(zhǔn)線，離心率的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓學(xué)生歸納出雙曲線的共同性質(zhì)：

（1）雙曲線有一個對稱中心，兩個頂點，兩個焦點，兩條對稱軸，兩條漸近線，兩條準(zhǔn)線；

（2）雙曲線僅與兩條對稱軸中的一條相交，其交點就是頂點；雙曲線的焦點就在這條對稱軸上；

（3）雙曲線的頂點，焦點，實軸在雙曲線的同一條對稱軸上，且準(zhǔn)線垂直于這條對稱軸；

（4）兩條漸近線的交點，就是兩條對稱軸的交點，也就是該雙曲線的對稱中心；到兩條漸近線距離相等的點的軌跡就是該雙曲線的對稱軸，顯然，雙曲線的兩條對稱軸相互垂直；

（5）若漸近線與實軸所在的直線的夾角為α，則雙曲線的離心率：e=secα（α必為銳角）；特殊的情形：等軸雙曲線中α=，e=，此時兩條漸近線相互垂直。

以反比例函數(shù)為切入口，給出：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對稱中心，頂點，焦點，對稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大小：

（1）y=，（兩條漸近線為x=0,y=0，）

（2）y=（兩條漸近線為x=-，y=）

解（1）：因為雙曲線y=的兩條漸近線為兩條坐標(biāo)軸，所以對稱中心為O(0,0)

在平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡為直線y=±x，由性質(zhì)可知它們就是該雙曲線的對稱軸方程；雙曲線的實軸所在的直線為y=x，它與雙曲線的兩個交點即為雙曲線的頂點，可得(1,1)，(-1,-1)，又因為該雙曲線的一條漸近線與對稱軸所成的角為，故其離心率為e=sec=，由性質(zhì)設(shè)焦點F(m,m)所對應(yīng)的準(zhǔn)線為：y=-x+n；設(shè)為該雙曲線上的任意一點，由雙曲線的第二定義可知：=，整理化簡得：xy=(n-m)(x+y)+m2-，聯(lián)立xy=1，比較得：n-m=0m2-=1，即m=n=±，由此得雙曲線y=的兩個焦點坐標(biāo)為：(，),(-，-),兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0

分析討論完畢后，我和學(xué)生一起進行了總結(jié)：

總結(jié)1：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）

（1）對稱中心為O(0,0)；

（2）兩個頂點坐標(biāo)為(1,1)，(-1,-1)；

（3）兩個焦點坐標(biāo)為：(，),-，-)；

（4）兩條對稱軸方程為：y=±x；

（5）兩條漸近線為，x=0,y=0；

（6）兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0；

（7）離心率為e=

在第（2）個的教學(xué)過程里，學(xué)生的參與非常積極，基于其中計算量的問題和時間的關(guān)系，我主要引導(dǎo)了學(xué)生研究方法，并得到了其中部分的性質(zhì)：

總結(jié)2：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）（最一般情形：abcd≠0，ad≠bc）

（1）對稱中心為-,；

（2）ab>0，ad>bc時：兩個頂點坐標(biāo)為：（此時雙曲線形狀形如y=）

,,,，

（3）ab>0，ad>bc時：兩個焦點坐標(biāo)為：課后思考。

（4）兩條對稱軸方程為：y-=±x,；

（5）兩條漸近線為兩條漸近線為x=-，y=；

（6）ab>0，ad>bc時，兩條準(zhǔn)線方程為：課后思考。

（7）離心率為e=

注：以上性質(zhì)中（2），（3），（6）的另一種情形同樣請學(xué)生課后思考。

在接下來另一類特殊雙曲線性質(zhì)的教學(xué)過程里，我同樣地先給出了一個學(xué)生常見的，典型的例子，然后對一般的情形給予總結(jié)：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對稱中心，頂點，焦點，對稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大?。?/p>

（3）y=x+（兩條漸近線為x=0，y=x）

（4）y=ax+(a>0,b>0)（兩條漸近線為x=0，y=ax）

解（3）：雙曲線的兩條漸近線的交點，也是兩條對稱軸的交點，就是雙曲線的對稱中心，所以該雙曲線的對稱中心的坐標(biāo)為(0,0)，設(shè)P(x,y)為對稱軸上任意一點，則點p到兩條漸近線的距離相等，于是有：

=|x|，化簡得：，y=(1±)x（也可由夾角公式得出）由性質(zhì)這兩條直線即為雙曲線的對稱軸方程，聯(lián)立y=x+可得兩個頂點坐標(biāo)為：,,-,-，該雙曲線實軸所在直線為y=(1+)x，它與兩條漸進線中的一條的夾角為，由性質(zhì)知雙曲線的離心率為e=sec=，設(shè)雙曲線的焦點為F(m,m+m)，它所對應(yīng)的準(zhǔn)線為y=1-x+n，設(shè)M(x,y)為該雙曲線上的任意一點，由雙曲線的第二定義可知：=，化簡得：

xy=x2+x+y+，

聯(lián)立y=x+，即xy=x2+1，比較可得：2m-(2-2)n=0(2+2)m-2n=0=1，解得：m=±n=±，所以所求焦點坐標(biāo)為(,),(-,-)準(zhǔn)線方程為：

y=(1-)x+,y=(1-)x-，同樣地和學(xué)生進行了總結(jié)：

總結(jié)3：雙曲線y=x+的性質(zhì)（幻燈片）

（1）對稱中心為O(0,0)；

（2）兩個頂點坐標(biāo)為：,-,-；

（3）兩個焦點坐標(biāo)為：(,),(-,

-)；

（4）兩條對稱軸方程為：y=1±x；

（5）兩條漸近線為x=0，y=x；

（6）兩條準(zhǔn)線方程為：y=1-x+,y=1-x-；

（7）離心率為e=

在y=ax+(a>0,b>0)的教學(xué)過程里，學(xué)生投入的積極性受到了一定的影響，主要的原因在于其中的計算，不過從部分學(xué)生臉上我還是看到了很多自信的表情，因為他們已經(jīng)知道了其中的研究方法，于是我把這個問題留給了部分學(xué)有余力的學(xué)生，作為課后研究性學(xué)習(xí)的作業(yè)。這對于他們的計算能力和意志品質(zhì)又是一種很好的鍛煉。

本節(jié)課我規(guī)劃的一個主要目標(biāo)是：在學(xué)生學(xué)過的典型知識點上進一步滲透新的知識內(nèi)容，作為對它的一種延續(xù)或補充。這樣做不但使學(xué)生對原來的知識點有了一種新的認(rèn)識，而且還從全新的高度來全方位