空間向量立體幾何(絕對經(jīng)典)課件

例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1GM

始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量1

推論:如果為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式OP=OA+t其中向量叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點,則推論:如果為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量的直22.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對使2.共面向量定理:如果兩個向量3

推論:空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y使

或?qū)臻g任一點O,有

注意：空間四點P、M、A、B共面實數(shù)對推論:空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)?例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥。nmggmnll證明：在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使

g=xm+yn,

l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g

這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l⊥

例1：已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點為5鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP6復習:2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:復習:2.向量的夾角:OAB向量的夾角記75.向量的模長:4.有關(guān)性質(zhì):(1)兩非零向量(2)注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。5.向量的模長:4.有關(guān)性質(zhì):(1)兩非零向量(2)注意：此8OABP3.A、B、P三點共線的充要條件A、B、P三點共線OABP3.A、B、P三點共線的充要條件A、B、P三點共線9反過來，對空間任意兩個不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關(guān)系？C反過來，對空間任意兩個不共線的向量，，如果10例5(課本例)已知ABCD，從平面AC外一點O引向量求證：①四點E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.證明：∵四邊形ABCD為①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。例5(課本例)已知ABCD，從平面AC外一11證明：由面面平行判定定理的推論得：②由①知證明：由面面平行判定定理的推論得：②由①知12共線向量共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運用判斷三點共線，或兩直線平行判斷四點共面，或直線平行于平面小結(jié)共面共線向量共面向量定義向量所在直線互相平行或133）射影BAA1B1注意：在軸l上的正射影A1B1是一個可正可負的實數(shù)，它的符號代表向量與l的方向的相對關(guān)系，大小代表在l上射影的長度。3）射影BAA1B1注意：在軸l上的正射影A1B1是一個可14例2：已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

例2：已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC153.已知空間四邊形，求證：。證明：∵3.已知空間四邊形證明：∵164.空間向量基本定理若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量

若空間向量的一個基底中的三個基向量互相垂直，則稱這個基底為正交基底，若三個基向量是互相垂直的單位向量，則稱這個基底為單位正交基底4.空間向量基本定理若三個向量a，b，c不共面，則對空17x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//bx1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//b18(五)、空間位置關(guān)系的向量法：(五)、空間位置關(guān)系的向量法：19異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型一：線線角線線角復習線面角二面角小結(jié)引入異面直線所成角的范圍：思考：結(jié)論：題型一：線線角線線角復習20題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型二：線面角線線角復習線面角二面角小結(jié)引入題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：思考：結(jié)論：題型二：21題型三：二面角二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍線線角復習線面角二面角小結(jié)引入題型三：二面角二面角的范圍：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍線線角復習222、E為平面α外一點,F為α內(nèi)任意一點,為平面α的法向量,則點E到平面的距離為:3、a,b是異面直線,E,F分別是直線a,b上的點,是a,b公垂線的方向向量,則a,b間距離為2、E為平面α外一點,F為α內(nèi)任意一點,為平面α的23空間向量立體幾何(絕對經(jīng)典)課件24幾何法坐標法幾何法坐標法25空間向量立體幾何(絕對經(jīng)典)課件26空間向量立體幾何(絕對經(jīng)典)課件27一.引入兩個重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量28求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.求平面的法向量的坐標的一般步驟:第一步(設):設出平面法向量29例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A30解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,設平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz,得平面OA1D131例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是32證明：設a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

證明：設a,b,33例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B134解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-35例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB136證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系A-xyz,37例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點38解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A-xyz,設正方體的棱長為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A-xyz,設正39(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa(2)直線與與平面所成的角θθnααnaa40例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為41解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設與n夾角為α而∴故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.解:建立如圖示的直角坐標系,則42（3）二面角設n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n2（3）二面角n1n2αβn1n243例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱44解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，045例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A146解:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,,則47例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=48解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面內(nèi)的點選擇無關(guān).解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則49會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面PED間的距離.xzyPBEADCF會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化50解:以A為原點、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系,則F為CD的中點,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設面BED的法向量n=(x,y,z),由得

n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距離就是P到面BED的距離,