網(wǎng)絡(luò)中傳染病的傳播閾值

網(wǎng)絡(luò)中傳染病傳播的閾值ClaudioCastellano和RomualdoPastor-SatorrasIstitutodeiSistemiComplessi(CNR-ISC),UOSSapienzaandDip.diFisica,“Sapienza"Universita'diRoma,P.leA.Moro2,I-00185Roma,Italy2DepartamentdeFTsicaiEnginyeriaNuclear,UniversitatPolite'cnicadeCatalunya,CampusNordB4,

08034Barcelona,Spain(接收時(shí)間：2010.6.25;出版時(shí)間:2010.11.17)我們研究淬火網(wǎng)絡(luò)里傳染模型的閾值，且此網(wǎng)絡(luò)的度分布由一個(gè)冥律給定。對(duì)SIS模型來說，活躍閾值人在任何與系統(tǒng)規(guī)模相偏離的最大度為k 的網(wǎng)絡(luò)上的大規(guī)模限制中，會(huì)消失，這與異質(zhì)平均場（HMF）理論相背離』值的消失與網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度特性無關(guān)，但是莖代替系統(tǒng)中最大的樞紐，對(duì)任何傳播速率人〉1/U’k皿都很積極且扮演了一個(gè)自給資源的角色，此角色可以將傳染病傳播給系統(tǒng)的剩余部分。SIR模型反而顯崇出與HMF理論以及標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)有限閾值的一致性。我們猜想：在淬火標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò)上，一般的傳染模型的閾值正在消失或是有限的，依靠一個(gè)穩(wěn)態(tài)的存在或缺乏。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)模式會(huì)對(duì)動(dòng)力學(xué)過程在其上進(jìn)行運(yùn)轉(zhuǎn)的行為產(chǎn)生令人矚目的影響［1］。尤其是，當(dāng)聯(lián)系數(shù)k的分布（一個(gè)元素或頂點(diǎn)的度）呈現(xiàn)長長的尾巴，由一個(gè)具有不對(duì)稱形式P（k）~k/的冥律度表示時(shí)［2］。由于它的實(shí)際小世界蘊(yùn)涵式而吸引大量興趣的一個(gè)例子就是一一傳染病在聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)上傳播的建模［3］。最簡單的模型當(dāng)屬SIS模型［4］,此模型中，每個(gè)頂點(diǎn)（個(gè)體）可以是兩個(gè)狀態(tài)的其中之一，要么易受感染，要么已被感染。通過接觸已被感染的個(gè)體（具有一個(gè)與感染接觸數(shù)目乘以一個(gè)指定傳播速率人成比例的速率）而使易受感染體成為已被感染體。另一方面，感染個(gè)體可再次成為健康的，以一個(gè)可以任意規(guī)定成與單元相等的速率的情況下。此模型允許這樣的個(gè)體去接觸傳染源，并且在無限網(wǎng)絡(luò)規(guī)模限制下，再次導(dǎo)致一個(gè)持續(xù)的被感染穩(wěn)態(tài)，在力值大于流行閾值人值的情況下。另一方面，在SIR模型中［4］，被感染個(gè)體一旦恢復(fù)（或者死亡），就不能再進(jìn)一步地改變它們的狀態(tài)。沒有哪個(gè)穩(wěn)態(tài)現(xiàn)在是被允許的，但是，一個(gè)閾值依然存在，若超過了這個(gè)閾值，被感染個(gè)體的總數(shù)，以一個(gè)非常小的傳染種子開始，到達(dá)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)有限的部分。以上的和其他模型的分析，通過一個(gè)改進(jìn)的平均場理論為我們展示出，考慮到網(wǎng)絡(luò)基質(zhì)的異質(zhì)性［5,6］而導(dǎo)致深遠(yuǎn)的結(jié)論：拓?fù)洳▌?dòng)，由于靠度分布「k2：的二階矩而測得，在許多動(dòng)力學(xué)類型中具有意義深遠(yuǎn)的影響_ _ . 4 ，一….一，八. 、……一一. /I/ \ .［1,6］。因此，例如，在SIS模型中，在平均場標(biāo)準(zhǔn)下，閾值的取法為：人=:.k/k2；。對(duì)于一個(gè)具有冥律形式的長尾度分布，二階矩會(huì)偏離（y<3），且包含熱力學(xué)限制中消失的流行閾值的明顯的結(jié)果。這些結(jié)論已經(jīng)導(dǎo)致了廣泛的信仰，即y<3的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)間的區(qū)別，這些網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋵W(xué)具有極高的相關(guān)性，以及y>3的標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò)，這些網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)過程展示了一個(gè)本質(zhì)上均勻的平均場行為。這篇建立在一些預(yù)先報(bào)導(dǎo)過的結(jié)論上的文章中，我們呈現(xiàn)了這樣的證明，即這種信仰對(duì)在淬火網(wǎng)絡(luò)（即鄰接矩陣被及時(shí)修復(fù)的網(wǎng)絡(luò)）上的SIS模型來說是不正確的，以及聯(lián)系模式的無標(biāo)度性并未對(duì)流行閾值產(chǎn)生至關(guān)重要的作用。我們調(diào)查了這個(gè)結(jié)論的物理起源，它的對(duì)一般網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的正確性和它的重要性。另一方面，我們說明了對(duì)SIR模型來說，其圖片是不一樣的，一個(gè)零閾值只發(fā)生在無標(biāo)度淬火網(wǎng)絡(luò)中。當(dāng)異質(zhì)平均場（HMF）理論在退火網(wǎng)絡(luò)上是準(zhǔn)確的（即臨界矩陣只有在平均下才是確定的網(wǎng)絡(luò)），對(duì)越過在淬火網(wǎng)絡(luò)（QN）上SIS過程的HMF理論的結(jié)果已在不同的文中出現(xiàn)過，且?guī)е鞣N各樣的精確水平。在2003年，Wang等［7］已經(jīng)討論了在一個(gè)任意未受指導(dǎo)的曲線圖上，流行閾值由鄰接矩陣的最大本征值A(chǔ)'設(shè)定，即人=A-1

c N

參見［8,9］。方程(1)的關(guān)聯(lián)會(huì)變得明顯，當(dāng)由Chung等［10］(他計(jì)算出了對(duì)一個(gè)具有度根據(jù)冥律分布的有限曲線圖的種類鄰接矩陣的最大本征值)的結(jié)論補(bǔ)充時(shí)，得到(2)cNkc(《kc>In2(N))(2)k2 —〉TkcIn(N))這里的N是網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，k是網(wǎng)絡(luò)中斷或大多數(shù)連接節(jié)點(diǎn)的度(在許多網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)上的平均［11］)，j是規(guī)則常量1。中斷k是網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長函數(shù)(對(duì)不相關(guān)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò))，如此取值:k~N1/2(y<3)和k~Ni/(YT；(y>3)［12］。y>3時(shí)，片刻的比率是有限的，且最大本征值由k控制。明顯地；這個(gè)結(jié)論還是正確的，當(dāng)5/2<y<3，在:；k2./：k；~k3-Y<<VT此范圍丙時(shí)。只有在2<y<5/2時(shí)，最大本征值由度分布的片刻設(shè)定。聯(lián)系方程⑴和(2)，對(duì)在一個(gè)冥律分布的網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型，足夠大的規(guī)模下，閾值行為就是>5/21/2<>5/21/2<y<5/2參見［13］。因?yàn)閗以一個(gè)N函數(shù)在增長(對(duì)任何y值)，因此方程(3)的結(jié)果是顯而易見的：在任何有冥律分布的連通性的不相關(guān)淬火隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于SIS，流行閾值會(huì)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的趨向無限大而漸趨零。這與度分布的無標(biāo)度性無關(guān)：只要中斷k偏離，這個(gè)結(jié)論永遠(yuǎn)都正確。引人注目地是，對(duì)Erdos-Renyi曲線圖(盡管以對(duì)數(shù)方式放慢)來說，一個(gè)近似于方程⑵的公式是存在的［14］。不同的近似值［13,15,16］也指出了，熱力學(xué)限制中，對(duì)X>0的任何值，系統(tǒng)是活躍的。然而，這些結(jié)論在統(tǒng)計(jì)物理聯(lián)盟里大部分被忽視了。由方程(3)提出的一個(gè)基本問題，其涉及到了這樣一個(gè)事實(shí)：作為任何臨界點(diǎn)，流行閾值只有在熱力學(xué)限制中才會(huì)被明確定義。一個(gè)有限系統(tǒng)中，動(dòng)力學(xué)總是注定是健康的吸收態(tài)，即使由于隨機(jī)波動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于閾值。對(duì)一個(gè)規(guī)模為N的有限網(wǎng)絡(luò)，閾值必須能分離管理體制X<X，此種情況下，傳染病從管理體制X<X以指數(shù)方式迅速衰減［以致預(yù)期中的存活期具有規(guī)則t~In(N)］，如此存活期帶著N以指數(shù)方式增長到一些幕，t~eN履(a>0)。為了驗(yàn)證這些結(jié)論的正確性，我們執(zhí)行在淬火標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò) (y=4.5和最小度為k=3)上的SIS模型的數(shù)值模擬，建立利用不相關(guān)結(jié)構(gòu)模型［17］。為了對(duì)比方程(3)這些時(shí)結(jié)果與預(yù)言，這必須被納入考慮范圍，即實(shí)際最大度k在每個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)中是一個(gè)隨機(jī)變量，有平均值;k'：=:k"尤其是，當(dāng)y>3時(shí)，k皿的勺平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的取值范圍皆在k~N1/(Y-i)仃8］,這暗示了k，對(duì)度序列的不筒實(shí)現(xiàn)，總是顯示出大波動(dòng)。因此，我們首先考慮這樣的網(wǎng)絡(luò)：k 為一個(gè)定值，且與對(duì)被選擇的系統(tǒng)規(guī)模N，其平均值k從max c數(shù)值上估計(jì)是相等的。在圖1中，我們讓密度P只有在生存賽跑下才會(huì)被計(jì)算，對(duì)不同X值，作為一個(gè)N函數(shù)［19］。轉(zhuǎn)變應(yīng)該發(fā)生在一個(gè)定值X，P將變成一個(gè)常量(X>X)，或以指數(shù)方式衰減(X<X)和在轉(zhuǎn)變中恰好作為一個(gè)冥律。一個(gè)完全不同的行為被觀測到：對(duì)任何值X，曲線向上彎曲，表明系統(tǒng)在任何值X都是活躍的。這排除了對(duì)發(fā)散值N一個(gè)有限閾值的存在。方程(1)在任何圖表上都適用SIS的同時(shí)，方程(2)被代替獲得一個(gè)特定網(wǎng)絡(luò)模型(對(duì)y<3存在內(nèi)在關(guān)聯(lián)或?qū)>3則此關(guān)聯(lián)不存在［12］)。對(duì)一般拓?fù)鋵W(xué)，這是很簡單就能展示的［11］，即對(duì)于鄰接矩陣的最大特征值，(「是一個(gè)下界。因此我們可以下結(jié)論：除非度分布從上級(jí)是完全有界的，否則對(duì)于任何圖表上的SIS，閾值在熱力學(xué)限制中都會(huì)消

失不見。這些結(jié)果到底一般到什么程度呢？Prakash等［9］最近證明了，不管他們特別的微觀細(xì)節(jié)，方程（1）對(duì)于所有的傳染過程都是有效的。為檢查這個(gè)宣言，我們考慮SIR模型。在HFM水平，閾值取這樣的值：人sir=或"k2：—優(yōu)；］［20,21］，因此對(duì)于y>3的標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò)是是有限的。從方程（3）中分析可得，另一方面，在大網(wǎng)絡(luò)限制下它會(huì)近似零的小，根據(jù)參考［9］。我們已經(jīng)檢查出，這個(gè)可能性靠展示在y=4.5和不同N值的網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型的數(shù)值模擬，帶著固定值k=■::k3在這種情況下，HMF估計(jì)閾值取值：人洶牝0.31，不受網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的限制，擺來IT于方程⑶的預(yù)言是對(duì)于不同網(wǎng)絡(luò)規(guī)模人sir罰0.0567,0.0796,0.1118被考慮時(shí)。在圖2中，我們報(bào)道了被感染個(gè)體的最后密度RC作為一個(gè)傳播速率人的函數(shù)，從一個(gè)隨機(jī)選擇的單一感染節(jié)點(diǎn)開始。HMF理論的預(yù)言似乎在這種情況下比方程⑶的精確得多，違反了在參考［9］中的一般要求：閾值在大N限制下依然是有限的。是有限的。圖1.（圖1.（在線顏色）。對(duì)于長時(shí)間在QN上的SIS模型里，活性位點(diǎn)的密度作為一個(gè)系統(tǒng)規(guī)模為N（y=4.5和不同參量人值）的函數(shù)。請(qǐng)注意，對(duì)于X=0.03，直線是由于沒有發(fā)生密度是小于1/N的事實(shí)。圖2.在不同規(guī)模N的QN上的SIR模型中

的（在線顏色）。被感染個(gè)體的總數(shù)作為傳。

播速率X的一個(gè)函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)有y=4.5。為了理解這兩個(gè)模型的不同行為，我們注意不正確的對(duì)QN上SIS的HMF預(yù)言的起源。從數(shù)學(xué)的角度來看，HMF方法等同于，用由一個(gè)有平均鄰接矩陣RJ的退火網(wǎng)絡(luò)給定的鄰接矩陣。.?代替QN［6,22］O在不相關(guān)情況下，這個(gè)矩陣減小到a..=kk/［N；k/1，它有一個(gè)唯一的』非零特征值A(chǔ)N=:k2**；。因此，退火網(wǎng)絡(luò)近似法破壞了（^的特征值范圍的詳細(xì)結(jié)構(gòu)，且只有y<5/2時(shí)才保留正確的最大特征值。這個(gè)基本的特征和不是（就像參考［16］里暗示的）不管動(dòng)力學(xué)相關(guān)實(shí)質(zhì)上是HMF近似法的不正確。一個(gè)更多的物理視野來自一個(gè)帶著一個(gè)中心連接k的）不管動(dòng)力學(xué)相關(guān)實(shí)質(zhì)上是HMF近似法的不正確。一個(gè)更多的物理視野來自一個(gè)帶著一個(gè)中心連接k度1的葉子的星圖。這種情況下，鄰接矩陣的最大特征值是A=：-k，這。同樣的結(jié)果可以很容易地被發(fā)現(xiàn)，依靠寫下速率等式，知于PmiX（P）=—Pmax+（1—P暗示了X=1誨的中心（葉子）是活躍的，利用穩(wěn)態(tài)條件我們發(fā)現(xiàn)即Pmaxmax)PXk1max,max1和口P=—p+(1—p)pX。1 1 1maxX2X2k —1P皿x=(1+煤)X

maxX2k —1P1=(1+說Xmax因此，閾值條件在上面。方程（4）對(duì)于一個(gè)一般淬火隨機(jī)圖表的啟示是強(qiáng)烈的：從所有系統(tǒng)的剩余部分獨(dú)立出來，對(duì)于X>1廠，由度為k皿的節(jié)點(diǎn)和它的鄰居組成的子圖是

活性狀態(tài)。這個(gè)活動(dòng)的核心提供一個(gè)感染的自給資源，因?yàn)樵谌珗D里，樞紐的鄰居們不是樹葉，可以轉(zhuǎn)移活動(dòng)到它們的其他鄰居上以及用這種方法傳播傳染病給至高點(diǎn)的一個(gè)有限小部分。這由圖3確認(rèn)，顯示在生存賽跑中活躍節(jié)點(diǎn)的數(shù)目N，在一個(gè)Y=3.5的全網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)相同k的星圖上［23］。對(duì)于k<1..；'人2，在全網(wǎng)絡(luò)和星圖上的N的值是可比的：次臨界的和子圖以度為k為中心的兩個(gè)系統(tǒng)都是徘徊在消失前活動(dòng)。對(duì)'于k>1「人2，星圖會(huì)變得活躍的，n新與k成比例。在全網(wǎng)絡(luò)中，漸近行為是n~kRm~N，表明活態(tài)是地方性的：樞紐傳播活動(dòng)給整個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)有限部分。要到達(dá)徹底的流行狀態(tài)，對(duì)于小人需要更大的系統(tǒng)，但是對(duì)于任何人>0，沒有什么會(huì)定性地改變。圖4.（在線顏色）。對(duì)在Y=4.5N=106,人=0.1和改變中的kmax的網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型活躍密度的衰減。圖3.（圖4.（在線顏色）。對(duì)在Y=4.5N=106,人=0.1和改變中的kmax的網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型活躍密度的衰減。了解SIS的行為為我們解開對(duì)于SIR事情變得不同的原因。在前者情況下，樞紐再多次被感染的可能性（允許穩(wěn)態(tài)的存在），提高了他們對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響。SIR的情況，另一方面，高度頂點(diǎn)只能被感染一次，且這強(qiáng)烈限制了它們在動(dòng)力學(xué)中扮演的角色。根據(jù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)，很自然的就能推測出流行模型允許一個(gè)穩(wěn)態(tài)，例如SIS，這將導(dǎo)致在任何無限QN中的一個(gè)無效閾值，當(dāng)所有模型沒有一個(gè)穩(wěn)態(tài)時(shí)將符合HMF理論，帶著一個(gè)在標(biāo)度豐富拓?fù)鋵W(xué)上的有限閾值。樞紐在動(dòng)力學(xué)上的深刻影響制造了在SIS模型上更遠(yuǎn)的問題。當(dāng)固定k到它的總體平均值時(shí)，導(dǎo)致符合在有限系統(tǒng)中一個(gè)非零閾值的存在的結(jié)果，就像方程（3）"暗示的，如果約束被放松了，k有大樣本抽樣波動(dòng)導(dǎo)致的非平凡后果。在圖4中，我們探索這種可變性的效果，靠比較由固定值人，N和不同值k的模擬。對(duì)于增長的k的活動(dòng)密度的增長表明，閾值（或最大特征值和中斷k之間的關(guān)系，方程（3），實(shí)際上寸以是精確的且可表達(dá)成實(shí)際最大度，人=1廠［18］；然而，相同Y和N的網(wǎng)絡(luò)的不同實(shí)現(xiàn)間，k的大變更不會(huì)由于N偏籬和嚴(yán)重阻礙自由值k的模擬中閾值的決定而洗去。就如之前提到的，對(duì)于Y>3，k的標(biāo)準(zhǔn)偏差隨著平均值1T~N1（Y-1）增加［18］,一直都有一個(gè)大樣本來取樣可變性。因戒；一個(gè)無限制的采樣在確定值人無根據(jù)的均分，有不同閾值和有效時(shí)標(biāo)，一些次臨界的和超臨界的網(wǎng)絡(luò)，甚至使決定一個(gè)定義明確的穩(wěn)態(tài)的存在成為不可能。這個(gè)事實(shí)在圖4中已被例證，我們?yōu)橛善骄幸粋€(gè)自由變化的k的網(wǎng)絡(luò)而得到的活動(dòng)密度的對(duì)照畫出此圖。對(duì)于y<3，這種情況依靠網(wǎng)絡(luò)生成的方式，111尤其是，度分布M=N1?的上界增長的方式［22］。若?=2（無關(guān)結(jié)構(gòu)模型［17］）或者更大，則量?:k2"*?會(huì)隨著N的增長而急劇消瘦[22]。若是3=1，因?yàn)槭窃跇?biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型中[24]，則?...k2./..「；?；(閾值也如此)會(huì)從實(shí)現(xiàn)到實(shí)現(xiàn)狂暴地改變，相對(duì)波動(dòng)依照N2(37)(y-2)/(7-1)發(fā)散[22]'。注意，在5/2<7<3的中間區(qū)域，'廠的平均值大于jk2；「；k"，但是，因?yàn)楹笳咂x造成的波動(dòng)，對(duì)于一些網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，實(shí)際閾值人遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于由方程⑶預(yù)言的值。我們推斷，除非y<3和3>2，否則沒有平均流行閾值可被恰當(dāng)?shù)囟x，來自有無限制的k的網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)數(shù)值觀點(diǎn)?？傊?，我們已研究，對(duì)于在淬火標(biāo)度豐富網(wǎng)絡(luò)上傳播1的傳染模型，閾值由于它們規(guī)模的增大會(huì)如何的表現(xiàn)。對(duì)于SIS模型，閾值總是在熱力學(xué)限制下消失，因?yàn)闃屑~的原因。這證明沒有關(guān)系，與HMF理論的預(yù)言不一致，帶著度分布的二階矩的分歧，此分歧是有限的。反而對(duì)于SIR模型，只有在無標(biāo)度拓?fù)鋵W(xué)(無論是淬火還是退火)與HMF理論相一致時(shí)，閾值才會(huì)消失。我們推測，這些不同類型的行為對(duì)于系統(tǒng)控制一個(gè)穩(wěn)態(tài)是通用的。對(duì)于SIS來說一個(gè)消失閾值的結(jié)果在淬火網(wǎng)絡(luò)上是正確的同時(shí)，然而從流行病學(xué)的角度它是有限的利益。以上的互動(dòng)模式，真實(shí)的疾病的傳播普遍會(huì)在短時(shí)間范圍內(nèi)改變[25]，因此被退火拓?fù)鋵W(xué)更好地描述[6],為此，HMF理論明顯地起作用了，且閾值對(duì)于y>3是有限的。反而從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)觀點(diǎn)來看，我們的結(jié)論打開了一條有前途的一一朝向一個(gè)對(duì)HMF理論的范圍和極限更好的理解的道路，作為一個(gè)分析異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力學(xué)的推理工具。R.P.-S承認(rèn)來自于西班牙MEC(FEDER)的財(cái)政支持，項(xiàng)目編號(hào)為FIS2007-66485-C02-01和FIS2010-21781-C02-01；ICREA學(xué)術(shù)界，由加泰羅尼亞政府提供資金；JuntadeAndaluc13，項(xiàng)目編號(hào)為P09-FQM4682。我們在此感謝A.Vespignani和M.A.Munoz。A.Barrat,M.Barthe'lemy,andA.Vespignani,DynamicalProcessesonComplexNetworks(CambridgeUniversityPress,Cambridge,England,2008).R.AlbertandA.-L.Baraba'si,Rev.Mod.Phys.74,47(2002).M.J.KeelingandK.T.D.Eames,J.R.Soc.Interface2,295(2005).R.M.AndersonandR.M.May,InfectiousDiseasesinHumans(OxfordUniversityPress,Oxford,1992).R.Pastor-SatorrasandA.Vespignani,Phys.Rev.Lett.86,3200(2001).S.N.Dorogovtsev,A.V.Goltsev,andJ.F.F.Mendes,Rev.Mod.Phys.80,1275(2008).Y.Wangetal.,22ndInternationalSymposiumonReliableDistributedSystems(SRDS'03)(IEEE,2003),p.25.S.Go'mezetal.,Europhys.Lett.89,38009(2010).B.A.Prakashetal.,arXiv:1004.0060.F.Chung,L.Lu,andV.Vu,Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A.100,6313(2003).J.G.Restrepo,E.Ott,andB.R.Hunt,Phys.Rev.E76,056119(2007).M.Bogun~a',R.Pastor-Satorras,andA.Vespignani,Eur.Phys.J.B38,205(2004).A.Ganesh,L.Massoulie',