粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析-第二講課件

2023-07-311粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析楊振偉清華大學(xué)第二講：基本概念（續(xù)）2023-07-311粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析楊振偉1艾滋病檢驗(yàn)結(jié)果再認(rèn)識2023-07-312

對于個(gè)人而言，0.032

是主觀概率。如果沒有其它額外的信息時(shí)，應(yīng)把0.001當(dāng)作相對頻率解釋。但是往往在病毒檢驗(yàn)前，該相對頻率被當(dāng)作一種信念來處理個(gè)人是否患病。

如果還有其它額外的信息，應(yīng)該給出不同的先驗(yàn)概率。這種貝葉斯統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)必定是主觀的。例如，受檢者有過吸毒歷史。一旦驗(yàn)前概率改變，貝葉斯定理就會告訴患病的可能性。對陽性結(jié)果的詮釋就會改變。問題：能否構(gòu)造含自變量的概率？艾滋病檢驗(yàn)結(jié)果再認(rèn)識2023-07-312對于個(gè)22023-07-313隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為x

(記作樣本空間中元素)的概率為那么概率密度函數(shù)p.d.f.定義為

f(x)，它對全部樣本空間S

滿足定義累積分布函數(shù)為對于離散型隨機(jī)變量2023-07-313隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為3

分位數(shù)、中值與模2023-07-314分位點(diǎn)x

定義為隨機(jī)變量x

的值，它使得這里0

1。因此可以容易求出分位點(diǎn)隨機(jī)變量x

的中值定義為隨機(jī)變量x

被觀測到大于或小于中值的概率是相等的。模定義為使概率密度函數(shù)值達(dá)到極大的隨機(jī)變量值。分位數(shù)、中值與模2023-07-314分位點(diǎn)x定義42023-07-315直方圖與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)p.d.f.就是擁有無窮大樣本，區(qū)間寬度為零，而且歸一化到單位面積的直方圖。直方圖在統(tǒng)計(jì)分析中非常重要，應(yīng)準(zhǔn)確理解它的含義。2023-07-315直方圖與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)p.52023-07-316多變量情形如果觀測量大于一個(gè)，例如x與y2023-07-316多變量情形如果觀測量大于一個(gè)，例如62023-07-317邊緣分布將聯(lián)合概率密度函數(shù)p.d.f.分別投影到x

與y

軸2023-07-317邊緣分布將聯(lián)合概率密度函數(shù)p.d.f7若x，y

相互獨(dú)立，則可構(gòu)造2-維p.d.f2023-07-318條件概率密度函數(shù)利用條件概率的定義，可得到定義條件概率的密度函數(shù)p.d.f.為則貝葉斯定理可寫為

h(y|x)yyx若x，y相互獨(dú)立，則可構(gòu)造2-維p.d.f2023-0782023-07-319名詞總匯隨機(jī)事例概率條件概率相對頻率與主觀概率貝葉斯定理隨機(jī)變量概率密度函數(shù)條件密度函數(shù)直方圖2023-07-319名詞總匯隨機(jī)事例概率條件概率相對頻率與92023-07-3110問題條件概率如果A

與B

相互獨(dú)立，則從文恩圖上得到因此2023-07-3110問題條件概率如果A與B相互獨(dú)102023-07-3111解答：概率都是條件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率P(A)。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們總是對A

相對于許多樣本空間的概率感興趣，而不僅僅只是一個(gè)空間。因此，通常以記號來表示所進(jìn)行的研究是在特定的樣本空間S中，也就是A相對于S的條件概率。因此，所有概率在實(shí)際應(yīng)用中都是條件概率。只有當(dāng)S

的選擇是明白無誤時(shí)，才能簡單記為2023-07-3111解答：概率都是條件概率由柯尓莫哥洛夫112023-07-3112解答：互斥與相互獨(dú)立互斥的定義為也就是兩個(gè)事例的定義沒有交集。所給出的推論為相互獨(dú)立的定義為因此，根據(jù)定義兩個(gè)相互獨(dú)立的事例不意味著是互斥的。前面的問題屬于把兩者定義混淆了。2023-07-3112解答：互斥與相互獨(dú)立互斥的定義為也就122023-07-3113證明舉例：事例與逆事例如果A

是在S

中的任意一個(gè)事例，則證明：由于

A與根據(jù)定義是互斥的，并且從文恩圖得到因此可以寫出2023-07-3113證明舉例：事例與逆事例如果A是在132023-07-3114舉例：檢查給定概率的合理性如果一個(gè)實(shí)驗(yàn)有三種可能并且互斥的結(jié)果A，B和C

，檢查下列各種情況給出的概率值是否是合理的：結(jié)論：只有1）與4）是合理的。評論：作為一個(gè)合格的實(shí)驗(yàn)研究人員，一定要具備判斷

結(jié)果是否合理的能力！2023-07-3114舉例：檢查給定概率的合理性如果一個(gè)實(shí)142023-07-3115舉例：檢查經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常經(jīng)驗(yàn)性地從直方圖中給出概率密度函數(shù)（例如通過擬合直方圖分布等等），但是需要確定得到的函數(shù)是否滿足概率密度函數(shù)的定義，例如試判斷哪一個(gè)可以用作概率密度函數(shù)？答案：1）有負(fù)概率值；2）累積函數(shù)值大于1。因此，兩者在給定的隨機(jī)變量范圍內(nèi)都不能用作概率密度函數(shù)。2023-07-3115舉例：檢查經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常152023-07-3116數(shù)據(jù)分析中的問題粒子與核物理實(shí)驗(yàn)中對動量的測量通常是分別測量在已知兩分量測量值的概率密度函數(shù)情況下，總動量為如何導(dǎo)出總動量的測量值的概率密度函數(shù)？是研究隨機(jī)變量函數(shù)的p.d.f問題。2023-07-3116數(shù)據(jù)分析中的問題粒子與核物理實(shí)驗(yàn)中對162023-07-3117一維隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)自身也是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)x服從p.d.f.f(x)，對于函數(shù)a(x)，其p.d.f.g(a)為何？2023-07-3117一維隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)自身172023-07-3118函數(shù)的逆不唯一情況假如a(x)

的逆不唯一，則函數(shù)的p.d.f.應(yīng)將dS中對應(yīng)于da

的所有dx

的區(qū)間包括進(jìn)來2023-07-3118函數(shù)的逆不唯一情況假如a(x)的182023-07-3119多維隨機(jī)變量的函數(shù)考慮隨機(jī)矢量與函數(shù)，對應(yīng)的p.d.f.如果兩個(gè)獨(dú)立變量x

與y，分別按g(x)與h(y)分布，那么函數(shù)z=xy

應(yīng)具有何種形式？2023-07-3119多維隨機(jī)變量的函數(shù)考慮隨機(jī)矢量19多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)一)2023-07-3120記作g與h的Mellin卷積如果函數(shù)為z=x+y

，則應(yīng)具有何種形式？記作g與h的傅立葉卷積注意：通常將兩者皆稱為g與h的卷積，已相同記號表示。多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)一)2023-07-3120記作g20多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)二)多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)二)212023-07-3122期待值考慮具有p.d.f.的隨機(jī)變量，定義期待(平均)值為注意:它不是的函數(shù)，而是的一個(gè)參數(shù)。通常記為：對離散型變量，有對具有p.d.f.的函數(shù)，有方差定義為通常記為：標(biāo)準(zhǔn)偏差：2023-07-3122期待值考慮具有p.d.f.222023-07-3123協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義協(xié)方差(也可用矩陣表示)為相關(guān)系數(shù)定義為如果x，y

獨(dú)立，即則2023-07-3123協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義協(xié)方差232023-07-3124舉例：樣本平均值假設(shè)實(shí)驗(yàn)上研究一核素衰變壽命，在探測效率為100%的情況下，每次探測到的壽命為ti，一共測量了n

次，求平均壽命（也就是壽命的期待值）。根據(jù)離散型期待值的定義問題的關(guān)鍵是ti

的概率密度函數(shù)是什么？根據(jù)概率的相對頻率定義，在n次測量中出現(xiàn)ti

頻率為一次因此，期待值（或平均壽命）為思考：如果頻率為mi

次，結(jié)果會不同嗎？2023-07-3124舉例：樣本平均值假設(shè)實(shí)驗(yàn)上研究一核素242023-07-3125誤差傳遞假設(shè)服從某一聯(lián)合p.d.f.，我們也許并不全部知道該函數(shù)形式，但假設(shè)我們有協(xié)方差和平均值現(xiàn)考慮一函數(shù)，方差是什么？將在附近按泰勒展開到第一級然后，計(jì)算與…2023-07-3125誤差傳遞假設(shè)252023-07-3126誤差傳遞(續(xù)一)由于所以利用泰勒展開式可求2023-07-3126誤差傳遞(續(xù)一)由于所以利用泰勒展開262023-07-3127誤差傳遞(續(xù)二)兩項(xiàng)合起來給出的方差如果之間是無關(guān)的，則，那么上式變?yōu)轭愃频?，對于組函數(shù)2023-07-3127誤差傳遞(續(xù)二)兩項(xiàng)合起來給出272023-07-3128誤差傳遞(續(xù)三)或者記為矩陣形式注意：上式只對為線性時(shí)是精確的，近似程度在函數(shù)非線性區(qū)變化比要大時(shí)遭到很大的破壞。另外，上式并不需要知道的p.d.f.具體形式，例如，它可以不是高斯的。2023-07-3128誤差傳遞(續(xù)三)或者記為矩陣形式注意282023-07-3129誤差傳遞的一些特殊情況注意在相關(guān)的情況下，最終的誤差會有很大的改變，例如當(dāng)這種特征有時(shí)候是有益的：將公共的或難以估計(jì)的誤差，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理將它們消掉，達(dá)到減小誤差的目的。2023-07-3129誤差傳遞的一些特殊情況注意在相關(guān)的情292023-07-3130坐標(biāo)變換下的誤差矩陣實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常通過測量粒子在探測器中各點(diǎn)的擊中坐標(biāo)（x,y）來擬合在極坐標(biāo)下的徑跡（r,）。通常情況下，（x,y）的測量是不關(guān)聯(lián)的。由于因此，坐標(biāo)變換后的誤差矩陣為2023-07-3130坐標(biāo)變換下的誤差矩陣實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常通過測302023-07-3131大亞灣反應(yīng)堆中微子實(shí)驗(yàn)2023-07-3131大亞灣反應(yīng)堆中微子實(shí)驗(yàn)312023-07-3132反應(yīng)堆中微子反應(yīng)堆能產(chǎn)生大量反電子型中微子3GW

熱功率反應(yīng)堆中微子幾乎無損穿透物質(zhì)假設(shè)產(chǎn)生的中微子以球面波傳播，那么在任一地方任一給定面元的中微子流強(qiáng)為2023-07-3132反應(yīng)堆中微子反應(yīng)堆能產(chǎn)生大量反電子型322023-07-3133大亞灣中微子振蕩中微子振蕩中微子在運(yùn)動過程中自己不斷改變形態(tài)測量中微子形態(tài)隨運(yùn)動距離的改變中微子形態(tài)隨運(yùn)動距離的改變理論預(yù)言2023-07-3133大亞灣中微子振蕩中微子振蕩中微子在運(yùn)332023-07-3134如何保證1%精度？測量中微子振蕩的影響那一種方案更易實(shí)現(xiàn)1%精度的測量？為什么？2023-07-3134如何保證1%精度？測量中微子振蕩的影342023-07-3135不同坐標(biāo)系下相關(guān)性的變化通過轉(zhuǎn)動坐標(biāo)，隨機(jī)變量的相關(guān)性會發(fā)生改變。顯然，通過將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動450，上面的相關(guān)性在新坐標(biāo)系下消失。2023-07-3135不同坐標(biāo)系下相關(guān)性的變化通過轉(zhuǎn)動坐標(biāo)35隨機(jī)變量作正則變換去除相關(guān)性2023-07-3136對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為非線性情況假設(shè)有n個(gè)隨機(jī)變量x1,…,xn

以及協(xié)方差矩陣Vij=cov[xi,xj]，可以證明有可能通過線性變換重新定義n個(gè)新的變量y1,…,yn

使得對應(yīng)的協(xié)方差矩陣Uij=cov[yi,yj]非對角元為零。令隨機(jī)變量作正則變換去除相關(guān)性2023-07-3136對應(yīng)的協(xié)362023-07-3137變換后的變量協(xié)方差矩陣對角化為了使協(xié)方差矩陣U對角化可先確定協(xié)方差矩陣V

的本征列矢量

，i=1,…,n。解方程變換矩陣