第二十七章薛定諤方程課件

薛定諤方程第二十七章薛定諤方程第二十七章1薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程概述1.一維定態(tài)薛定諤方程2.定態(tài)波函數(shù)3.粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)及能量、動(dòng)量及波長(zhǎng)4.勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程概述1.一維定態(tài)薛定諤方2§27.1薛定諤方程一波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋微觀(guān)粒子具有波粒二象性，其位置與動(dòng)量不能同時(shí)確定，無(wú)法用經(jīng)典物理方法描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；量子力學(xué)用波函數(shù)來(lái)描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)1.波函數(shù)經(jīng)典波的波函數(shù):電磁波機(jī)械波經(jīng)典波為實(shí)函數(shù)§27.1薛定諤方程一波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋微觀(guān)粒子3微觀(guān)粒子的波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）自由粒子平面波函數(shù):

E和p分別為自由粒子的能量和動(dòng)量(E=p2/2m)；自由粒子的能量和動(dòng)量是確定的，頻率和波長(zhǎng)不變（=E/h，=h/p），可認(rèn)為是一平面單色波自由粒子：不受外力場(chǎng)的作用，其動(dòng)量和能量都不變的粒子波函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：根據(jù)德布羅意公式有—自由粒子波函數(shù)微觀(guān)粒子的波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）自由粒子平面波函數(shù):E和p42.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義—正實(shí)數(shù)粒子某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)體積元dV中的概率:概率密度:某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率波函數(shù)是粒子在各處被發(fā)現(xiàn)的概率，量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)3.波函數(shù)的歸一化條件即某一時(shí)刻整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總概率為14.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)必須是單值、連續(xù)、有限的函數(shù)2.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義—正實(shí)數(shù)粒子某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)體積元dV5二薛定諤方程自由粒子（質(zhì)量為m）在勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中的一維薛定諤方程稱(chēng)為含時(shí)一維薛定諤方程1.一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程（對(duì)自由粒子的波函數(shù)取x的二階偏導(dǎo)數(shù)和t的一階偏導(dǎo)數(shù)可得）一維（設(shè)沿x向運(yùn)動(dòng)）自由粒子的薛定諤方程：當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中運(yùn)動(dòng)，則有自由粒子在勢(shì)場(chǎng)中的能量為二薛定諤方程自由粒子（質(zhì)量為m）在勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中的一維62.一維定態(tài)薛定諤方程若勢(shì)場(chǎng)只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，即U=U(x)，為恒定勢(shì)場(chǎng)，則波函數(shù)為

將代入含時(shí)一維薛定諤方程，可得

的空間部分=(x)滿(mǎn)足方程—定態(tài)薛定諤方程1）=(x)稱(chēng)為粒子的定態(tài)波函數(shù)，所描述的粒子的狀態(tài)稱(chēng)定態(tài)—粒子的能量E不隨時(shí)間變化的狀態(tài)（粒子具有確定的能量值），粒子在空間的概率分布不隨時(shí)間改變；定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：粒子能量E不隨時(shí)間變化，概率密度||2不隨時(shí)間變化注意：2.一維定態(tài)薛定諤方程若勢(shì)場(chǎng)只是坐標(biāo)的函數(shù)，73）做為上式的解與均滿(mǎn)足疊加原理，即或它們的線(xiàn)性組合態(tài)也是一種可能的狀態(tài)；

4）對(duì)于任何能量值E定態(tài)薛定諤方程都有解，需滿(mǎn)足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限、連續(xù)3.三維定態(tài)薛定諤方程—直角坐標(biāo)系—球坐標(biāo)系3）做為上式的解與均滿(mǎn)足疊加原理，即或它們的線(xiàn)性組合態(tài)8勢(shì)能曲線(xiàn)呈無(wú)限深的井，稱(chēng)為（一維）無(wú)限深方勢(shì)阱—簡(jiǎn)單的理論模型(固體物理金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型)；勢(shì)阱內(nèi)，勢(shì)能為常量，粒子不受力做自由運(yùn)動(dòng)；在x=0和x=a的邊界處，勢(shì)能為無(wú)限大，粒子會(huì)受到無(wú)限大的指向阱內(nèi)的力作用；所以粒子的位置限定在勢(shì)阱內(nèi)，粒子的這種狀態(tài)稱(chēng)為束縛態(tài)§27.2無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子一無(wú)限深方勢(shì)阱粒子在簡(jiǎn)單外力場(chǎng)中做一維運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為勢(shì)能曲線(xiàn)1.無(wú)限深方勢(shì)阱勢(shì)能曲線(xiàn)呈無(wú)限深的井，稱(chēng)為（一維）§27.2無(wú)限深方92.無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程勢(shì)阱外：x<0，x>a區(qū)域(邊界條件)，U=∞，不會(huì)有粒子存在，則勢(shì)阱內(nèi)：0≤x≤a區(qū)域，U=0，則有方程令2.無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程勢(shì)阱外：x10與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程比較，解為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù)，則波函數(shù)在x=0，x=a處連續(xù)，即與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程比11歸一化條件確定振幅A：可得粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)為n表示對(duì)應(yīng)整數(shù)n，粒子的相應(yīng)定態(tài)波函數(shù)歸一化條件確定振幅A：可得粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)為12二粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量可得粒子的能量為上式表明，粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量是量子化的,只能取分立值；每一能量值對(duì)應(yīng)一個(gè)能級(jí)，稱(chēng)為能量本征值，n稱(chēng)為量子數(shù)粒子的全部波函數(shù)為稱(chēng)為能量本征波函數(shù)，每個(gè)本征波函數(shù)所描述的粒子的狀態(tài)稱(chēng)為粒子的能量本征態(tài)二粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量可得粒子的能量為上式表明，13基態(tài)能量激發(fā)態(tài)能量三波函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系概率密度16E19E14E1E1基態(tài)2.粒子在勢(shì)阱中各處出現(xiàn)的概率不同（n～x-藍(lán)色實(shí)線(xiàn)）1.粒子在勢(shì)阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同(|n|2～x-紅色虛線(xiàn))n=1時(shí)，粒子在x=a/2處出現(xiàn)的概率最大基態(tài)能量激發(fā)態(tài)能量三波函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系概率密度1614結(jié)論：當(dāng)n很大時(shí)，能量趨于連續(xù)，即經(jīng)典物理的圖像3.粒子在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量16E19E14E1E1基態(tài)根據(jù)典理論，粒子在勢(shì)阱內(nèi)來(lái)回的周期性自由運(yùn)動(dòng)，在各處概率密度應(yīng)完全相同，且與粒子的能量無(wú)關(guān)結(jié)論：當(dāng)n很大時(shí)，能量趨于連續(xù)，即經(jīng)典物理的圖像3.粒子在15粒子的德布羅意波長(zhǎng)波長(zhǎng)也是量子化的，為勢(shì)阱寬度2倍的整數(shù)分之一

n與兩端固定弦的駐波波長(zhǎng)形式相同（見(jiàn)P158式n=2L/n）16E19E14E1E1基態(tài)弦線(xiàn)振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式粒子的德布羅意波長(zhǎng)波長(zhǎng)也是量子化的，為勢(shì)阱寬度2倍的整數(shù)分之16無(wú)限深方阱壁粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波；

波函數(shù)為駐波形式，阱壁處為波節(jié)，波腹的個(gè)數(shù)與量子數(shù)

n相等16E19E14E1E1基態(tài)無(wú)限深方阱壁粒子的16E19E14E1E1基17例27.2核內(nèi)的質(zhì)子和中子可認(rèn)為處于無(wú)限深勢(shì)阱中不能逸出，在核中是自由運(yùn)動(dòng)；估算質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)（n=2）到基態(tài)（n=1）轉(zhuǎn)變時(shí)放出多少M(fèi)eV的能量。核的線(xiàn)度為1.0×10-14m。

解：勢(shì)阱寬度a即核的線(xiàn)度，則質(zhì)子基態(tài)能量第一激發(fā)態(tài)能量作業(yè)：4,8

例27.2核內(nèi)的質(zhì)子和中子可認(rèn)為處于無(wú)限深勢(shì)阱中不能逸出，在18§27.3勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)一半無(wú)限深方勢(shì)阱勢(shì)能函數(shù)為在x<0區(qū)域，U=∞，粒子的波函數(shù)=0在0≤x≤a區(qū)域的勢(shì)阱內(nèi)，粒子的能量E<U0，波函數(shù)滿(mǎn)足定態(tài)薛定諤方程其解仍為勢(shì)能曲線(xiàn)§27.3勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)一半無(wú)限深方勢(shì)阱勢(shì)能函19在x>a的區(qū)域，薛定諤方程為方程的解為波函數(shù)有限，即應(yīng)滿(mǎn)足x→∞時(shí)有限，則有D=0在x>a的區(qū)域，薛定諤方程為方程的解為波函數(shù)有限，即應(yīng)滿(mǎn)足x20波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足在x=a處連續(xù)，則有還有，d/dt在x=a處也應(yīng)連續(xù)，又有波函數(shù)的連續(xù)性條件在邊界連續(xù)上兩式結(jié)果表明：束縛在勢(shì)阱內(nèi)的粒子（E<U0）的能量仍是量子化的（能量本征值與前面不同，計(jì)算復(fù)雜略）波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足在x=a處連續(xù)，則有還有，d/dt在x=a21根據(jù)經(jīng)典理論，當(dāng)粒子能量E<U0

時(shí)，粒子只能在

0≤x≤a的勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)不可能進(jìn)入x>a區(qū)域，因?yàn)榱Ｗ釉谶@一區(qū)域的動(dòng)能會(huì)出現(xiàn)負(fù)值（Ek=E-U0

<

0）；量子力學(xué)的結(jié)論：在勢(shì)能大于粒子能量（U0

>

E）的區(qū)域內(nèi)，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以進(jìn)入這一區(qū)域，只不過(guò)概率密度隨著進(jìn)入的深度很快減小在x>a的勢(shì)能有限的區(qū)域，粒子出現(xiàn)的概率不為零，即粒子的運(yùn)動(dòng)可能進(jìn)入這一區(qū)域，但概率隨x增大按指數(shù)規(guī)律衰減（）E2E1E3根據(jù)經(jīng)典理論，當(dāng)粒子能量E<U022量子力學(xué)對(duì)粒子動(dòng)能出現(xiàn)負(fù)值的解釋—不確定關(guān)系：粒子在E<U0區(qū)域（x>a

）的概率密度為

當(dāng)x=1/2k’時(shí)，此處粒子的概率已降為1/e，可視為粒子進(jìn)入該區(qū)域的深度，則認(rèn)為在該區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置不確定度x為粒子在x距離內(nèi)的動(dòng)量不確定度為粒子進(jìn)入該區(qū)域的速度為量子力學(xué)對(duì)粒子動(dòng)能出現(xiàn)負(fù)值的解釋—不確定關(guān)系：粒23則粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為根據(jù)能量-時(shí)間的不確定關(guān)系，粒子能量的不確定度為粒子總能量為E+E，則粒子動(dòng)能的不確定度為粒子動(dòng)能的不確定度大于名義上的負(fù)動(dòng)能的值←負(fù)動(dòng)能被不確定關(guān)系掩蓋，負(fù)動(dòng)能只是觀(guān)察不到的“虛”動(dòng)能則粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為根據(jù)能量-時(shí)間的不確定關(guān)系，粒子能24二勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)0

>E的區(qū)域，若這一高勢(shì)能區(qū)域是有限的，即粒子在運(yùn)動(dòng)時(shí)被一勢(shì)壘阻礙，粒子有可能穿過(guò)勢(shì)壘到達(dá)勢(shì)壘的另一側(cè)，這一量子力學(xué)現(xiàn)象稱(chēng)為勢(shì)壘穿透或隧道效應(yīng)ⅡⅢⅠⅢ區(qū)：各區(qū)域波函數(shù)：Ⅰ區(qū)：Ⅱ區(qū)：粒子在勢(shì)壘右側(cè)出現(xiàn)的概率密度：

粒子在勢(shì)壘左側(cè)出現(xiàn)的概率密度：結(jié)論：粒子在勢(shì)壘內(nèi)部和外部都有出現(xiàn)的可能二勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)025當(dāng)粒子能量E<U0時(shí)，經(jīng)典理論認(rèn)為粒子不可能穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入x>a的區(qū)域；量子力學(xué)分析，粒子有一定概率穿透勢(shì)壘，事實(shí)表明，量子力學(xué)正確粒子的能量雖不足以超越勢(shì)壘，但在勢(shì)壘中似乎有一個(gè)隧道,能使少量粒子穿過(guò)而進(jìn)入x>a

的區(qū)域，形象的稱(chēng)為隧道效應(yīng)應(yīng)用：掃描隧穿（道）顯微鏡（STM）1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡(STM)，可觀(guān)測(cè)固體表面原子排列的狀況當(dāng)粒子能量E<U0時(shí)，經(jīng)典理論認(rèn)為26掃描隧道顯微鏡探針樣品表面掃描隧道顯微鏡探針樣品表面27§27.4諧振子一維簡(jiǎn)諧振子微觀(guān)領(lǐng)域中原子和分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)等，都可以近似地用簡(jiǎn)諧振子模型來(lái)描述；一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)能函數(shù)為一維簡(jiǎn)諧振子的經(jīng)典模型討論粒子在略復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)中做一維運(yùn)動(dòng)，即一維諧振子的運(yùn)動(dòng)一維簡(jiǎn)諧振子的薛定諤方程為為變系數(shù)二階偏微分方程§27.4諧振子一維簡(jiǎn)諧振子微觀(guān)領(lǐng)域28基態(tài)波函數(shù)解：各激發(fā)態(tài)波函數(shù)均包含因子：波函數(shù)需滿(mǎn)足單值、連續(xù)和有限的標(biāo)準(zhǔn)條件，則諧振子能量只能為諧振子的能量也是量子化（n為量子數(shù)）的，而且能級(jí)等間距基態(tài)能量（n=0）：—零點(diǎn)能這一能量表明微觀(guān)粒子不可能完全靜止，是波粒二象性的表現(xiàn)，滿(mǎn)足不確定關(guān)系的要求基態(tài)波函數(shù)解：各激發(fā)態(tài)波函數(shù)均包含因子：波函數(shù)需滿(mǎn)足單29激發(fā)態(tài)能量相鄰能級(jí)的間距一維諧振子勢(shì)能曲線(xiàn)和概率密度分布由圖可見(jiàn)，在勢(shì)能曲線(xiàn)外，概率密度不為零；表明微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：在運(yùn)動(dòng)中有可能進(jìn)入勢(shì)能大于總能量的區(qū)域激發(fā)態(tài)能量相鄰能級(jí)的間距一維諧振子勢(shì)能曲線(xiàn)和概率密度分布30例27.4一質(zhì)量為m=1g的小珠子懸掛在一輕小彈簧下面，做振幅A=1m的諧振動(dòng)，彈簧勁度系數(shù)k=0.1N/m；按量子理論計(jì)算，彈簧振子的能級(jí)間隔多大；其現(xiàn)有振動(dòng)能量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)n為多少。解：彈簧振子的角頻率為能級(jí)間隔現(xiàn)有振動(dòng)能量結(jié)果表明，宏觀(guān)諧振子處于能量非常高的狀態(tài)，相鄰能級(jí)間隔完全可以忽略，能量隨振幅變化而連續(xù)變化—經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論例27.4一質(zhì)量為m=1g的小珠子懸掛在一輕小彈簧下面，做振31本章總結(jié)一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義3.粒子某一時(shí)刻在某點(diǎn)體積元dV中的概率:1.波函數(shù)單值、連續(xù)、有限概率密度；波函數(shù)是粒子在各處被發(fā)現(xiàn)的概率，波函數(shù)用以描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)4.波函數(shù)的歸一化條件2.概率密度:某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率本章總結(jié)一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義3.粒子某一時(shí)刻在某點(diǎn)體積32二一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：能量E不隨時(shí)間變化，概率密度||2不隨時(shí)間變化三無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子1.粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)n為對(duì)應(yīng)整數(shù)n，粒子相應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)二一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：能量E不隨時(shí)間變化332.粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量是量子化的3.粒子在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量4.粒子的德布羅意波長(zhǎng)波長(zhǎng)是量子化的n與兩端固定弦的駐波波長(zhǎng)形式相同2.粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中的能量是34四勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)0

>E的區(qū)域，即粒子有可能穿過(guò)勢(shì)壘到達(dá)勢(shì)壘的另一側(cè)四勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)035例27.1一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點(diǎn)做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，求粒子的波函數(shù)并確定其能量和角動(dòng)量的可能值。解：將定點(diǎn)作為原點(diǎn)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的平面為xy平面；則r為常量，=/2，只是方位角的函數(shù)，即=（）粒子不在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，即U=0，粒子的薛定諤方程為即與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程d2x/dt2+kx=0形式同，其解為式中例27.1一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點(diǎn)做半徑為r的圓周36（）有限連續(xù)，且為的單值函數(shù)，則有即上式表明ml必須為整數(shù)，即ml=±1，±2，…由歸一化條件，，可得（）有限連續(xù)，且為的單值函