第一題已知三角形所在的平面與直角梯形垂直∥,且

11第一題：已知正三角形PAD所在的平面與直角梯形ABCD垂直，AB丄AD,AB〃CD,且AD=DC=2,AB=4.求證：AB丄PD求點(diǎn)C到平面PAD的距離在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得AM〃平面PBC面PAD丄面ABCD面PAD面PAD丄面ABCD面PADI面ABCD=AD證明：(1)ABu面ABCDAB丄AD=AB丄面FAD.ab丄PDPDu面PAD丨(2)由VC-PAB即1h-S3二VP-ABC=1PE-SAPAB3AABCh=(或過D作PA的垂線，求垂線段的長)(3)假設(shè)PD上存在點(diǎn)M，使得AM〃平面PBC.在平面PDC內(nèi)過點(diǎn)M作MN在平面PDC內(nèi)過點(diǎn)M作MN〃DC交PC于N,連接BN,面AMNBI面PBC=NB、則AM//面PBCAM//NBAM工面PBC““〃CD匚MN//ABCD//ABJ所以平面AMNB是平行四邊形所以MN二AB這與MN<CD<AB矛盾，所以假設(shè)不成立，即在線段PD上不存在一點(diǎn)M，使得AM〃平面PBC.2x第二題：已知P(x,y)，P(x,y)2x第二題：已知P(x,y)，P(x,y)是函數(shù)f(x)=圖象上的兩點(diǎn)，且---2222x+41uuuruuuruuur點(diǎn)P、A、B共線，且CP=xCA+xCB12111uuur1uuuruuurOP=_(OP+OP)，212(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)(2)若S=迥f()2011i=12011)求S20113)若S3)若S-)，記T為數(shù)列nnni=1(S+?)(S+Qj前n項(xiàng)的和'nn+1若T<a(S+p2)時(shí)，對一切neN*都成立，試求a的取值范圍。nn+1uuuruuuruuur解(1)QP.A.B共線且CP=xCA+xCB,x+x=11212又Qf(又Qf(x)+f(1-x)=2x21-x2x+21-x+72「+J=12x+、［22x+、：22x2)S2011i=1f(2)S2011i=1f(2011)=1201122011)+L+f(型f(竺)20112011nnnni=1nnnn-1?S=f(1)+f(—)+Lf(-)+f(丄)nnnn?S=n+1?-邁n2令b=n(S+142n?T—<2)(S+2)(n+1)(n+2)?.丄nn+2nn+12nn+24n4n4(3)S=》f(i)=f(丄)+f(2)+Lf(匕!)+f(1)???S2011=f(―)+f(―)+L???S2011=f(2011201120112011?2S=2010nS=100520112011TOC\o"1-5"\h\z<ana>==—n+22(n+2)2n2+4n+44'’n+—+4n1a>—2第三題：如圖，已知矩形ORTM內(nèi)有5個(gè)全等的小正方形，其中頂點(diǎn)A、B、C、D在矩形ORTM的四條邊上.uuuruuuruuur若BD=xAE+yAF，求x+y的值；若矩形ORTM的邊長OR=7若矩形ORTM的邊長OR=7,OM=8，試求小正方形的邊長；現(xiàn)向矩形ORTM內(nèi)任意投出一個(gè)點(diǎn)P,求點(diǎn)P落入五個(gè)小正方形內(nèi)的概率.uuuruuuruuuruuuruuur解析：(1)由平面向量的加減運(yùn)算可知BD=AD-AB，而AD=2AE,uuuruuuruuuruuuruuur解析：(1)由平面向量的加減運(yùn)算可知BD=AD-AB，而AD=2AE,uuuruuuruuuruuuruuurAB=AH+HB=2AF-AE,uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur故BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.注意到uuuruuuruuuruuuruuurAE、AF不共線，根據(jù)平面向量基本定理，比較BD二xAE+yAF與uuuruuuruuurBD=3AE—2AF可知x二3，y=-2，x+y=1.MCRABuuuruuur(2)因?yàn)锳E丄AF以射線AI、AD的方向分別為x軸、y軸的正向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小正方形的邊長為a得A(0，0)、B(2a,-a)、C(3a,a)、D(0,2a).設(shè)直線MDT的斜率為k,則MDTy=kx+2a(k>0)，OBR:y=kx-a(2k+1)，MAO:y=-—x，k13a、亠a(2k+3)nTCR:y=-—x+a+.由此可得直線MDT、OBR之間的距離是=8，直線kk^k2+1MAO、TCR之間的距離是a(3+1)k由此可解得k=2，,a=，即小正方形的邊長為J5.解法二：設(shè)銳角ZMAD=0，設(shè)小正方形的邊長為a，則由右圖可得消去0解得邊長為a==a-sin0+3a-cos0,/(1=a消去0解得邊長為a==a-cos0+2a-sin0+2a-cos0.I2=a-cos0.(3)設(shè)“向矩形ORTM內(nèi)任意投出一個(gè)點(diǎn)P,點(diǎn)P落入五個(gè)小正方形內(nèi)”為事件E，…、5S5(75)225由幾何概型可知，點(diǎn)P落入五個(gè)小正方形內(nèi)的概率P(E)=w==.S7x856X第四題：設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x-10的導(dǎo)函數(shù)f'(x)，數(shù)列｝的各項(xiàng)均為正數(shù)且na=6，f(a)=a[f'(a)+7]1nn-1n求證：數(shù)列｛a+2｝是等比數(shù)列;n求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S；nn(3)若數(shù)列｛b｝滿足b二f()>-，求n的最大值.nna900n解析：(1)證明：Tf(x)=x2+3x-10=2x+3設(shè)c=a+2，則a=c—2,nnnn?/f(a)二a[f'(a)+7],TOC\o"1-5"\h\znn-1n???f(c—2)二(c—2)[f(c—2)+7]nn-1n???(c—2)2+3(c—2)—10二(c—2)[2(c—2)+3+7]nnn—1n?:c2+3c—2cc—6c=0nnnn—1n—1(c—2c)(c+3)二0nn—1n?/a>0，.:c=a+2>0，.:c+3>0,c=2cnnnnnn—1c=a+2=6+2=8，所以數(shù)列｛c｝是首項(xiàng)為8,公比為2的等比數(shù)列,11n即數(shù)列是等比數(shù)列.證畢.另證：Tf(x)=x2+3x—10，.:f'(x)=2x+3*.*f(a)=a2+3a—10=(a+5)(a—2),nnnnnf(a)+7=2a+3+7=2(a+5),nnn又f(a)=a[f(a)+7].TOC\o"1-5"\h\znn—1n?(a+5)(a—2)=2a(a+5)nnn—1n?/a>0，.:a+5>0，.:a—2=2annnn—1?:a+2=2(a+2)nn—1a+2=8，所以數(shù)列是首項(xiàng)為8,公比為2的等比數(shù)列?證畢.1(2)*.*c=c-2n-1=8x2n-1=2n+2=a+2，.:a=2n+2—2,ngN*n1nnS=a+a+L+a=23+24+L+2n+2—2n=2n+3—2n—8n12n(3)Tx>0時(shí)，f(x)=2x+3>0f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

8909~900=-91-10=上90-10=(丄)8909~900=-91-10=上90-10=(丄)2+3X—-10=f(丄)90090030303018909111由b—f()>—f()，得—>—,na90030a30nn即a<30=an3???a>0且遞增，???n<3,n的最大值是3.n另解：*?*b—f()—()2+3()—10——aaa8909900nn11119119111???(一)2+3()—二(+)(—)—0.aa900ann30a30n191a>0，.:—+—>0,na30n11——0,??.a<30a30n*.*a=2n+2—2<30，.:a=2n+2<32=2s,nnn+2<5n<3,n的最大值是3.第五題：閱讀下列算法，指出當(dāng)輸入的四個(gè)數(shù)為1，1，0，0時(shí)，最終輸出的結(jié)果是什么？輸入a,b,c,nn—n+1a~2ab-b+2c~c+abS6若cW2011，則轉(zhuǎn)S2，否則執(zhí)行S7S7輸出n,c解析：從數(shù)列角度看該算法，S3可以看作a=2a(neN),，同樣，S4可以看作n+1nb=b+2(neN),S5可以看作c=c+ab(neN)，當(dāng)輸入的四個(gè)數(shù)為1,1,0,0,n+1nn+1nn+1n+1即表示a=1,b=1,c=0。000此時(shí)a=2n,b=2n+1,c=ab+ab+A+ab=3-2+5?22+A+(2n+1)?2n(1)nnn1122nn2c=3-22+5-23+A+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+i(2)n