定積分的概念

定積分的概念一、曲邊梯形的面積S曲邊梯形由連續(xù)曲線(xiàn)曲邊梯形面積近似等于矩形面積。abxyo曲邊梯形的面積觀(guān)察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。播放顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）為了得到近似程度高一些的近似值，用多個(gè)矩形面積的和作曲邊梯形面積的近似值。abxyoxyoab(1)分割在區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)：a=x0<x1<x2<···<xi-1<xi<···<xn-1<xn=b，

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間：[x0,x1]，[x1,x2]，·

·

·，[xi-1,xi

]，·

·

·，[xn-1,xn].這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為xi

=xi

–

xi-1(i=1,2,···,n).過(guò)每一分點(diǎn)作平行于y軸的直線(xiàn)，它們把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形.根據(jù)以上分析，可按下面四步計(jì)算曲邊梯形面積.a=x0x1xi-1xn=

bOy=f(x)yBAxxiOyBAx(2)近似代替在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,·

·

·,n)上取一點(diǎn)xi(xi-1≤xi≤

xi),以

f(xi)為高，xi為底作小矩形，用小矩形面積f

(xi)xi

近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形面積Ai，即Aif

(xi)xi(i=1,2,·

·

·,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=

bxi(4)取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)n無(wú)限增加，即(3)求和把n個(gè)小矩形面積加起來(lái)，它就是曲邊梯形面積的近似值，即且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值(即=max{xi})趨近于0時(shí)，上述和式的極限就是曲邊梯形面積的精確值，二、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的距離把整段時(shí)間分割成若干小段，小段上速度看作不變的，求出各小段上移動(dòng)的距離相加，便得到距離的近似值，然后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分求得距離的精確值。設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度，求物體在這段是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且時(shí)間內(nèi)所移動(dòng)的距離。思路：2.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程(1)分割在時(shí)間間隔[T1,T2]內(nèi)任意插入n

-1

個(gè)分點(diǎn)：T1

=t0<t1<t2<·

·

·<ti-1<ti<·

·

·<tn-1<tn=T2，

把[T1,T2]分成n

個(gè)小區(qū)間：[t0,t1]，[t1,t2]，·

·

·，[ti-1,ti

]，·

·

·，[tn-1,tn].這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別為：ti

=ti

–

ti–1(i=1,2,·

·

·,n).相應(yīng)的路程s被分為n段小路程：si

(i=1,2,·

·

·,n).(2)近似代替在每個(gè)小區(qū)間上任意取一點(diǎn)xi

(ti-1≤

xi

≤

ti),用xi

點(diǎn)的速度v

(xi)近似代替物體在小區(qū)間上的速度，用乘積v

(xi)ti

近似代替物體在小區(qū)間[ti-1,

ti

]上所經(jīng)過(guò)的路程si，即siv(xi)ti(i=1,2,·

·

·,n).(3)求和(4)取極限要點(diǎn)：(2)積分值僅與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用那個(gè)字母表示無(wú)關(guān)(1)當(dāng)積分上下限取為確定的常數(shù)時(shí)，定積分是一個(gè)常數(shù)。(3)上述定義中分割是從下限點(diǎn)至上限點(diǎn)的，假若a<

b，于是對(duì)于積分特別地有曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的負(fù)值定積分的幾何意義一般地，xaby四、小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分取極限將和式極限表示成定積分解將和式極限表示成定積分其中練習(xí)題六（1）4、據(jù)定積分的幾何意義答案練習(xí)題六（1）答案觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀(guān)察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。定積分的基本性質(zhì)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，由定義已知有基本性質(zhì)另外還有證：k為常數(shù)常因數(shù)可提出積分號(hào)外證：此性質(zhì)可以推廣到有限項(xiàng)代數(shù)和的情況（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則（3）（定積分的可加性）

證：則有則有（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則（6）（定積分比較定理）

證：則有證性質(zhì)4性質(zhì)5解令于是性質(zhì)5的推論：證（1）證說(shuō)明：

可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大