立體幾何習題課(分割法、補形法求體積等舉例)課件

立體幾何習題課立體幾何習題課1例1、已知三棱錐的兩個側面都是邊長為的等邊三角形，另一個側面是等腰直角三角形。求此三棱錐的體積。ABCSEF提示：設三棱錐S-ABC，側面SAC、SBC為等邊三角形，邊長為，SASB。取SA中點E，AB中點F，連接AE、BE、EF。可證得：SC平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱錐體積。注意：分割法求體積。（KEY：）例1、已知三棱錐的兩個側面都是邊長為的等邊三角ABC2ABCSD例1、已知三棱錐的兩個側面都是邊長為的等邊三角形，另一個側面是等腰直角三角形。求此三棱錐的體積。法二：取AB中點D，連接SD，CD。易得△ABC為等腰直角三角形，ACB=90o。則有SD⊥AB，CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影為底面的外心，即點D，∴SD⊥平面ABC?！嘤蒝S-ABC=S△ABC?SD得三棱錐體積。（解法2）ABCSD例1、已知三棱錐的兩個側面都是邊長為的等邊3例2、在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距離。ABCDA1B1C1D1提示：利用=求解。注意：等體積法求點面距離。KEY：例2、在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，ABC4例3、在各棱長均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，（1）BC1與側面ABB1A1所成的角為__________；（2）如果M為CC1的中點，則截面AB1M與底面所成的角的大小為__________。ABCA1B1C1DB1ABCA1C1MN注：（1）中利用面面垂直的性質找線面成角。（2）中射影面積公式的應用：S△AB1M?cosα=S△ABC.45o例3、在各棱長均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC5例4、三棱錐V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o，VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中點。（1）求證：V，A，B，C四點在以M為球心的球面上；（2）求VC與AB所成的角的大小。AVBCMEFG例4、三棱錐V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o6例5、已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=，PC=AB=，求三棱錐的體積。提示：分別以三組對棱作為一長方體的相對面的對角線，將原三棱錐補成一個長方體，如圖，則VP-ABC=V長方體-4V。設長方體長寬高分別為a、b、c，則有：所以三棱錐P-ABC的體積為20（立方單位）。PABCPABCP`A`B`C`例5、已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=7例6、三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此棱錐沿三條側棱剪開，其展開圖是一個直角梯形P1P2P3A。（1）求證：側棱PB⊥AC；（2）求側面PAC與底面ABC所成的角的余弦值。ABCPDBP1P2P3ADCE?

22mmmnn（甲）（乙）例6、三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此棱錐沿三8BP1P2P3ADCE22mmmnnABCPD?

解:(1)（略）(2)甲圖中，作PD⊥AC于D，連接BD，可得PDB即為面PAC與面ABC所成二面角的平面角。乙圖中，作AE⊥CP3于E點，則AE=P1P2=4。∵PA=AC，即P3A=AC，∴E為CP3的中點。設AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得：m-n=2nm=3n……①又在△ACP3中有：AE?CP3=AC?DP3……②，而AE=4……③，由①②③得：DP3=8/3，即PD=8/3。∴甲圖Rt△BPD里，BD=10/3，∴cosPDB=4/5,為所求。（甲）（乙）2BP1P2P3ADCE22mmmnnABCPD?解:(1)9如圖，有一軸截面為正三角形的圓錐形容器，內部盛水高度為h，放入一個小球后，水面恰好與球相切，求球的半徑。R2RhV1V2V2