數(shù)列求和專(zhuān)題研究

專(zhuān)題研究：數(shù)列求和教學(xué)目標(biāo)1．掌握數(shù)列求和的幾種常用方法，能熟練運(yùn)用這些方法解決問(wèn)題。2.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，歸納總結(jié)能力，聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、化歸的能力。3.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是普遍聯(lián)系，發(fā)展變化的。重難點(diǎn)重點(diǎn)：非等差、等比數(shù)列的求和；難點(diǎn)：非等差,等比數(shù)列的求和如何化歸為等差,等比數(shù)列的求和。三、教學(xué)過(guò)程1：情景引入提出問(wèn)題：我們已經(jīng)總結(jié)了求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法，還學(xué)習(xí)了兩個(gè)特殊的數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，那么對(duì)于不是等差和等比的數(shù)列的和如何去求呢？2：新課講授題型一倒序相加法回憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程：如果一個(gè)數(shù)列{an}，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。例1：若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.【解析】fan＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)2an倒敘相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法．題型二錯(cuò)位相減法回憶等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程：如果一個(gè)數(shù)列{an}，可以看成一個(gè)等差與等比的乘積，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法法，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。例2已知an＝eq\f(n＋1,2n＋1)，求{an}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)，①eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋eq\f(4,25)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋2)，②①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,25)＋…＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\f(1,23)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)，所以Tn＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(n＋3,2n＋1).錯(cuò)位相減法：(1)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法．(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，一般和式比較復(fù)雜，運(yùn)算量較大，易會(huì)不易對(duì)，應(yīng)特別細(xì)心，解題時(shí)若含參數(shù)，要注意分類(lèi)討論．題型三通項(xiàng)分解法例3（1）數(shù)列1，eq\f(1,2)，2，eq\f(1,4)，4，eq\f(1,8)，…的前2n項(xiàng)和S2n＝________．【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n))＝2n－1＋1－eq\f(1,2n)＝2n－eq\f(1,2n).(2)(2021·滄州七校聯(lián)考)數(shù)列1，6，5，20，…，2n＋(－1)nn，…的前2n項(xiàng)和T2n＝___________．【解析】T2n＝1＋6＋5＋20＋…＋[22n＋(－1)2n×2n]＝[21＋(－1)1×1]＋[22＋(－1)2×2]＋[23＋(－1)3×3]＋…＋[22n＋(－1)2n×2n]＝(21＋22＋23＋…＋22n)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n×2n]＝eq\f(2（1－22n）,1－2)＋n＝22n＋1＋n－2.通項(xiàng)分解法：將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，然后重新分組，將一般數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題，我們將這種方法稱(chēng)為通項(xiàng)分解法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是通項(xiàng)變形．題型四裂項(xiàng)相消法例4求和：(1)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）).(2)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋2）)；(3)Sn＝1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋…＋n)；【解析】(1)∵an＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Sn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).(2)∵an＝eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）).(3)∵an＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))]＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).裂項(xiàng)相消法：在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變．在解題中，要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解的目的．常見(jiàn)的裂項(xiàng)類(lèi)型有：(1)eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))