兩個平面的位置關(guān)系

**三．兩個平面的位置關(guān)系知識提要空間兩個平面有相交(有一條公共直線)和平行(無公共點)兩種位置關(guān)系．精品文檔放心下載(1)定義如果兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面互相平行．精品文檔放心下載(2)判定如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面精品文檔放心下載平行．(3)性質(zhì)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．謝謝閱讀(1)定義如果兩個平面相交，所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直．精品文檔放心下載(2)判定 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．謝謝閱讀(3)性質(zhì)(1)如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，垂直于另一個平面．精品文檔放心下載(2)如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于另一個平面的直線，也垂直于交線．感謝閱讀二面角平面內(nèi)一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫做半平感謝閱讀面．一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．精品文檔放心下載二面角的平面角以二面角棱上的任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900時稱直二面角。精品文檔放心下載作二面角的平面角有：定義法，三垂線(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相關(guān)謝謝閱讀三角形中求解．課前練習(xí)1．α、β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m感謝閱讀⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，感謝閱讀寫出你認(rèn)為正確的一個命題，并證明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）謝謝閱讀證明如下：過不在α、β內(nèi)的任一點P，作PM∥m，PN∥n，謝謝閱讀PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．精品文檔放心下載**mPMPMMQ，PM//m同理PN⊥NQ．因此∠MPN＋∠MQN=180°，故∠MQN=90°∠MPN=90°m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n2．自二面角內(nèi)一點分別向這個二面角的兩個面引垂線，求證：它們所成的角與這個二面角謝謝閱讀的平面角互補(bǔ)．證明：如圖PQ⊥ ，PQ⊥AB，PR⊥，PR⊥AB，AB⊥面PQR．PQR的平面交、于SR、SQ，那么AB⊥SR，AB⊥SQ．∠QSR就是二面角的平面角．因四邊形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，因此∠P＋∠QSR＝180°．**3．在60°的二面角M－a－N內(nèi)有一點P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，精品文檔放心下載求P點到直線a的距離．解析：本題涉及點到平面的距離，點到直線的距離，二面角的平面角等概念，圖中都沒有表感謝閱讀示，按怎樣的順序先后作出相應(yīng)的圖形是解決本題的關(guān)鍵．可以有不同的作法，下面僅以一精品文檔放心下載個作法為例，說明這些概念的特點，分別作PA⊥M，A是垂足，PB⊥N，B是垂足，先作精品文檔放心下載了兩條垂線，找出P點到兩個平面的距離，其余概念要通過推理得出：于是PA、PB確定感謝閱讀平面α，設(shè)α∩M=AC，α∩N=BC，C∈a．由于PA⊥M，則PA⊥a，同理PB⊥a，因此a精品文檔放心下載⊥平面α，得a⊥PC．這樣，∠ACB是二面角的平面角，PC是P點到直線a的距離，下面感謝閱讀只要在四邊形ACBP內(nèi)，利用平面幾何的知識在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦精品文檔放心下載定理求外接圓直徑2R＝221，即為P點到直線a的距離，為221．感謝閱讀3 34．判定下列命題的真假（1）兩個平面垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作與它們的交線垂直的直線，必垂直于另一個精品文檔放心下載平面；（2）兩個平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；精品文檔放心下載（3）兩平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)的兩直線互相垂直。感謝閱讀解析：（1）若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的，精品文檔放心下載D1 C1A1 B1D CA B**如圖，正方體AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，精品文檔放心下載在AD上取點A，連結(jié)AB1，則AB1⊥AD，即過棱上一點A的直線AB1與棱垂直，但感謝閱讀AB1與平面ABCD不垂直，其錯誤的原因是AB1沒有保證在平面ADD1A1內(nèi)，可以看謝謝閱讀出：線在面內(nèi)這一條件的重要性；（2）該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖，在正方謝謝閱讀體AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且AB⊥感謝閱讀AD1，即AB與AD1相互垂直，但AD1與平面ABCD不垂直；精品文檔放心下載（3）如圖,正方體AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平精品文檔放心下載面ABCD，AD1與AC所成的角為600，即AD1與AC不垂直謝謝閱讀D1 C1 解：由上面的分析知，命題⑴、⑵、⑶都是假命題。謝謝閱讀A1 B1D C 點評:在利用兩個平面垂直的性質(zhì)定理時，要注意下列的三個條件精品文檔放心下載A B缺一不可：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個面內(nèi)；③直謝謝閱讀線必須垂直它們的交線。5．設(shè)S為ABC平面外的一點，SA=SB=SC，ASB2,BSC2,ASC2，謝謝閱讀sin2sin2sin2，求證：平面ASC平面ABC。謝謝閱讀解析：（1）把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（2）利用棱錐的性質(zhì)（三棱錐的側(cè)棱相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心）精品文檔放心下載**證明：設(shè)D為AB的中點SASBASDsinADABSA2SA同理sinBC,sinAC2SB2SCSASBSC且sin2sin2sin2謝謝閱讀AB2BC2AC2ABC為RtABC且S在平面上的射影O為ABC的外心感謝閱讀O在斜邊AC的中點。SO平面ABCSO平面SAC平面ASC平面ABC教學(xué)過程一．平面與平面的平行1已知平面、，如果直線a⊥,a⊥,求證：平面∥平面。精品文檔放心下載證明：設(shè)aO，過O1作a,b兩相交直線，設(shè)a與a確定的平面為γ，a，11112從而aa,aaa//aa//。12121同理b//。1所以//。**2已知平面∥平面，（1）若直線a∥平面，判斷直線a與平面的位置關(guān)系。（2）若直線a⊥平面，判斷直線a與平面的位置關(guān)系。（3）給出的三個平面（與謝謝閱讀、不重合），試判斷平面、、之間的位置關(guān)系。解：（1）a//或a。感謝閱讀（2）a。（3）////或,,都相交。謝謝閱讀3在正方體ABCDABCD中，M、N分別為棱AB、AD的中點，E、F分別為棱謝謝閱讀1 1 1 1 1 1 1 1BC、CD的中點。（1）求證：E、F、B、D共面；（2）證明：平面AMN∥平面精品文檔放心下載1 1 1 1EFDB。D1FC1NA1B1EMDCA B證明：（1）EF//B1D1，B1D1//BD，∴EF//BD，∴E、F、B、D共面。感謝閱讀（2）NE//A1B1，A1B1//AB，∴NE//AB，且NE=AB，∴ABEN是平行四邊形。感謝閱讀**∴AN//平面BEFD。同理：AM//平面BEFD。∴平面AMN∥平面EFDB。二．平面與平面的垂直4已知平面∥平面，平面⊥，求證：⊥。謝謝閱讀證明：設(shè)a,在γ內(nèi)作cacc。//c5在三棱錐SABC中，∠ASC∠ASB60，∠BSC90，SASBSCa，求證：平面SAB⊥平面SAC。感謝閱讀證明：作BD⊥SA于D，DE⊥SC于E，連接BE，設(shè)SD=x,則SB=2x，謝謝閱讀BD3x,DE3x,SEx，22又BSE,BE2SB2SE24x2x217x2，244**BD2DE23x23x217x2，精品文檔放心下載44所以BD2DE2BE2，所以BD⊥DE，又BD⊥AS，從而BD⊥面SAC。精品文檔放心下載所以平面SAB⊥平面SAC。SEB D CFA三．二面角6在三棱錐SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、感謝閱讀SC于D、E，又SAAB,SBBC，求以BD為棱，以BDE、BDC為面的二面角感謝閱讀的大小。SEA D CGB解：E為SC的中點，SB=BC，∴BE⊥SC，又DE⊥SC，感謝閱讀∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC，又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，∴∠EDG為二面角E-BD-C的平面角。設(shè)SA=AB=1，則SB=BC=2，∴SC=2，∴∠SCA=300，∴∠EDC=600，精品文檔放心下載**所以二面角E-BD-C的的大小為600。7在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是謝謝閱讀PC中點．AC，BD交于O點．（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大?。海á颍┣蠖娼荁－QD－C的大?。馕觯海á瘢┙猓哼BQO，則QO∥PA且QO＝1PA謝謝閱讀21AB2PA⊥面ABCDQO⊥面ABCD面QBD過QO，∴面QBD⊥面ABCDQHBOD故二面角Q－BD－C等于90°．C（Ⅱ）解：過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BD，∴CO⊥面QBD，謝謝閱讀∴CH在面QBD內(nèi)的射影是OH。OH⊥QD，∴CH⊥QD，于是∠OHC是二面角的平面角．精品文檔放心下載**設(shè)正方形ABCD邊長2，則OQ＝1，OD＝ 2，QD＝ 3．OH·QD＝OQ·OD，∴OH＝2．3又OC＝ 2，在Rt△COH中：tan∠OHC＝OC＝ 2· 2＝3謝謝閱讀OH 3∠OHC＝60°，故二面角B－QD－C等于60°．感謝閱讀8河堤斜面與水平面所成角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤腳的水平線AB的夾角為30°，沿著這條直道從堤腳上行走到10米時，人升高了多少（精確到0.1米）？謝謝閱讀解析： 已知 所求河堤斜面與水平面所成角為60° E到地面的距離利用E或G構(gòu)造棱上一點F 以EG為邊構(gòu)造三角形謝謝閱讀解：取CD上一點E，設(shè)CE＝10m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，精品文檔放心下載則線段EG的長就是所求的高度．在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB．垂足為F，連接FG，由三垂線定理的逆定理，知FG⊥AB．因精品文檔放心下載此，∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．感謝閱讀**由此得：EG＝EFsin60°＝CEsin30°sin60°＝10×1× 3≈4.3（m）2 2答：沿著直道向上行走到10米時，人升高了約4.3米．精品文檔放心下載9四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB垂直面ABCD，證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°．精品文檔放心下載解析：：注意到題目中所給的二面角，面PAD與面PCD的棱為PD，圍繞PD而考慮問題解決途徑．感謝閱讀證法一：利用定義法經(jīng)A在PDA平面內(nèi)作AE⊥PD于E，連CE．感謝閱讀因底是正方形，故CD＝DA．△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，謝謝閱讀則CE⊥PD．故∠CEA是面PAD與面PCD所成二面角的平面角．謝謝閱讀設(shè)AC與BD交于O，