高等代數(shù)(北大第三版)第一章多項式-11數(shù)域課件

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項式§11對稱多項式§3整除的概念§2一元多項式§1數(shù)域§7多項式函數(shù)§9有理系數(shù)多項式§8復(fù)、實系數(shù)多項式的因式分解第一章多項式§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元1一、數(shù)域二、數(shù)域性質(zhì)定理§1.1數(shù)域一、數(shù)域二、數(shù)域性質(zhì)定理§1.1數(shù)域2一、數(shù)域設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為0）仍是P中的數(shù)，則稱P為一個數(shù)域．0與1，如果P中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除常見數(shù)域：復(fù)數(shù)域C；實數(shù)域R；有理數(shù)域Q；（注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域．）定義一、數(shù)域設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為0）仍是P3說明：1）若數(shù)集P中任意兩個數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P中，則說數(shù)集P對這個運(yùn)算是封閉的．2）數(shù)域的等價定義：如果一個包含0，1在內(nèi)的數(shù)集P對于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0）是封閉的，則稱集P為一個數(shù)域．說明：1）若數(shù)集P中任意兩個數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P中，則說4是一個數(shù)域．例1．證明：數(shù)集證：又對設(shè)則有設(shè)于是也不為0．是一個數(shù)域．例1．證明：數(shù)集證：又對設(shè)則有設(shè)于是也不5或矛盾）（否則，若則于是有為數(shù)域．是數(shù)域.類似可證Gauss數(shù)域或矛盾）（否則，若則于是有為數(shù)域．是數(shù)域.類似可證Ga6例2．設(shè)P是至少含兩個數(shù)的數(shù)集，證明：若P中任意兩個數(shù)的差與商（除數(shù)≠0）仍屬于P，則P為一一個數(shù)域．有證：由題設(shè)任取所以，P是一個數(shù)域．時,時,例2．設(shè)P是至少含兩個數(shù)的數(shù)集，證明：若P中任意兩個數(shù)的差與7二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域P都包括有理數(shù)域Q．即，有理數(shù)域為最小數(shù)域．證明：設(shè)P為任意一個數(shù)域．由定義可知，于是有二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域P都包括有理數(shù)域Q．即，有理數(shù)域為8進(jìn)而有而任意一個有理數(shù)可表成兩個整數(shù)的商，進(jìn)而有而任意一個有理數(shù)可表成兩個整數(shù)的商，9設(shè)P為非空數(shù)集，若則稱P為一個數(shù)環(huán)．附:例如，整數(shù)集Z就作成一個數(shù)環(huán)．?dāng)?shù)環(huán)設(shè)P為非空數(shù)集，若則稱P為一個數(shù)環(huán)．附:例如，整數(shù)集Z就作10練習(xí)判斷數(shù)集是否為數(shù)域？為什么?練習(xí)判斷數(shù)集是否為數(shù)域？為什么?11作業(yè)S是數(shù)域嗎？２．證明：集合是一個數(shù)環(huán)．