模型11手拉手模型

模型介紹模型介紹共頂點模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉模型的步驟如下：R（1）尋找公共的頂點R（2）列出兩組相等的邊或者對應成比例的邊R（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結論：連接BD、AE交于點F，連接CF，則有以下結論：【專題說明】兩個具有公共頂點的相似多邊形，在繞著公共頂點旋轉的過程中，產(chǎn)生伴隨的全等或相似三角形，這樣的圖形稱作共點旋轉模型；為了更加直觀，我們形象的稱其為“手拉手”模型。【知識總結】【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等圖1圖2圖3圖4二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關系）且BD=AE（數(shù)量關系）；③FC平分∠BFE；圖1圖2圖3圖4手拉手模型的定義：兩個頂角相等且有共頂點的等腰三角形形成的圖形。手拉手模型特點：“兩等腰，共頂點”模型探究：例題例題精講考點一：等邊三角形中的手拉手模型【例1】．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．有下列結論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ為正三角形．其中正確的結論有_____________.解：∵△ABC和△DCE是正三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴①正確；∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°＝∠ACB，在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，∴②正確；PC＝QC，∴△CPQ為正三角形∴⑤正確∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝60°＝∠CAD+∠ADC，∴∠CAD+∠BEC＝60°，∴∠AOB＝∠CAD+∠BEC＝60°，∴③正確；∵△DCE是正三角形，∴DE＝DC，∵∠AOB＝60°，∠DCP＝60°，∠DPC＞∠AOB，∴∠DPC＞∠DCP，∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④錯誤；所以正確的有①②③⑤變式訓練【變式1-1】．如圖，，都是等邊三角形，則的度數(shù)是A． B． C． D．解：，都是等邊三角形，，，，，，，，，，的度數(shù)是故選：．【變式1-2】．如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正確的有（）A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④解：∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正確由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正確假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN為等邊三角形，∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假設不成立，③錯誤；∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正確，∴正確答案①②④故選：C．【變式1-3】．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC上，DE與AC交于點F，若AB＝5，BD＝3，則＝．解：連接CE，過點F作FM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥CE于點N，∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，∵AB＝BC＝5，∴DC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，F(xiàn)M⊥BC，F(xiàn)N⊥CE，∴FM＝FN，∵S△DFC＝DC?FM，S△FCE＝CE?FN，∴，∴，故答案為：．考點二：等腰直角三角形中的手拉手模型【例2】．如圖，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點，若，，則的長為__________解：和都是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，．變式訓練【變式2-1】．如圖，，，連結，分別以、為直角邊作等腰和等腰，連結、，當最長時，的長為A． B．3 C． D．解：，，即，在和中，，，，，，，，當點在上時，最大，最大值為，如圖，過作于，由等腰三角形“三線合一”得，，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，．故選：．【變式2-2】．如圖，在中，，點為中點，點在邊上，連接，過點作的垂線，交于點．下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論是（填序號）．解：，，點為中點，，，，，，，，，，，故①正確；當、分別為、中點時，，故②不一定正確；，，，，故③正確；，，，故④正確；故答案為：①③④．【變式2-3】．如圖，△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，E在△ABC內，∠CAE+∠CBE＝90°，連接BF．（1）求證：△CAE∽△CBF．（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的長．（1）證明：∵△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，∴＝＝，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；（2）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，又∵＝＝，AE＝2∴＝，∴BF＝，又∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2+BF2＝12+（）2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝．考點三：任意等腰三角形中的手拉手模型【例3】．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結論是_____．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正確；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正確；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四點共圓，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四點共圓，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正確；假設MO平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，在△AMO與△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③錯誤；變式訓練【變式3-1】．如圖，等腰中，，，點為直線上一動點，以線段為腰在右側作等腰，且，連接，則的最小值為A． B．4 C．6 D．8解：連接并延長交延長線于，，，，，，，，，，為定直線，為定值，當在直線上運動時，也在定直線上運動，當時，最小，，，當與重合時，最小，在中，，，，，的最小值為，故選：．【變式3-2】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側作∠ACM＝∠ACB，點D為邊BC（不含端點）上的任意一點，在射線CM上截取CE＝BD，連接AD，DE，AE．設AC與DE交于點F，則線段CF的最大值為．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF?AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴當AD最短時，AF最短、CF最長．∵當AD⊥BC時，AF最短、CF最長，此時AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最長＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案為：．【變式3-3】.【問題背景】（1）如圖1，等腰中，，，于點，則；【知識應用】（2）如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點在同一條直線上，連接．求證：．（3）請寫出線段，，之間的等量關系，并說明理由．（1）解：，，，，，，由勾股定理得：，，，故答案為：；（2）證明：，，即，在和中，，；（3）解：，理由如下：由（1）可知：，，，．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1.風箏為中國人發(fā)明，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年有成，是人類最早的風箏起源．如圖，小飛在設計的“風箏”圖案中，已知，，，那么與相等．小飛直接證明，他的證明依據(jù)是A． B． C． D．證明：，，，，，，，故選：．2．如圖，，都是等邊三角形，則的度數(shù)是A． B． C． D．解：，都是等邊三角形，，，，，，，，，，的度數(shù)是，故選：．3．如圖，點是軸上一個定點，點從原點出發(fā)沿軸的正方向移動，以線段為邊在軸右側作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點的移動，下列說法錯誤的是A． B． C．直線與軸所夾的銳角恒為 D．隨點的移動，線段的值逐漸增大解：．和都是等邊三角形，，，，，，，故不符合題意；．，，，故不符合題意；．延長交軸于點，，，，，，，直線與軸所夾的銳角恒為，故不符合題意；．，，點是軸上一個定點，的值是一個定值，隨點的移動，線段的值不變，故符合題意；故選：．4．如圖，，，連結，分別以、為直角邊作等腰和等腰，連結、，當最長時，的長為A． B．3 C． D．解：，，即，在和中，，，，，，，，當點在上時，最大，最大值為，如圖，過作于，由等腰三角形“三線合一”得，，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，．故選：．5．如圖，線段繞點旋轉，線段的位置保持不變，在的上方作等邊，若，，則在線段旋轉過程中，線段的最大值是A． B．4 C． D．5解：如圖，以為邊，在的左側作等邊，連接，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，在中，，當點在的延長線上時，的最大值，的最大值為4，故選：．6．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，則∠AOB＝150°．解：連接OO′，如圖，∵線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中，∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，故答案為：150°．7．如圖，△ABC與△ADE均是等腰直角三角形，點B，C，D在同一直線上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，則CD＝﹣．解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴BC＝AB＝2，DE＝AE＝3，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝∠ECD＝90°，∴DE2＝EC2+CD2，∴18＝（2+CD）2+CD2，解得：CD＝﹣，CD＝﹣﹣（不合題意舍去），故答案為：﹣．8．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，連接CD、BE，點F、G分別為DE、BE的中點，連接FG．在△ADE旋轉的過程中，當D、E、C三點共線時，若AB＝3，AD＝2，則線段FG的長為．解：連接BD，∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE．又AD＝AE，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，∴DE＝2，BC＝3．設BD＝x，則DC＝2+x，在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，所以x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．∵點F、G分別為DE、BE的中點，∴FG＝BD＝．故答案為．9．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于點F，BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關系，并說明理由．解：猜測AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE與△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故線段AE和BD的數(shù)量相等，位置是垂直關系．10．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．11．已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在射線BF上，連接CE．（1）如圖1，BD與CE是否相等？請說明理由；（2）如圖1，求∠BCE的度數(shù)；（3）如圖2，當D在BC延長線上時，連接BE，△ABE、△CDE與△ADE的面積有怎樣的關系？并說明理由．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC和△ADE是都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°；（3）S△ABE+S△CDE＝S△ADE，理由如下：∵△ABC和△ADE是都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴S△ABD＝S△ACE，∠ABC＝∠ACE＝60°，∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CE，∴S△ABE＝S△ABC，∵S△ACE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABC+S△ACD+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ADE．12．如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為腰向外側作等腰Rt△ADB與等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，連接DC、EB相交于點O．（1）求證：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如圖1，G、F分別是DB、EC中點，求的值．②如圖2，連接OA，若OA＝2，求△DOE的面積．（1）證明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠BAD＝90°，∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；（2）解：①取DE的中點H，連接GH、FH，∵點G是BD的中點，∴GH∥BE，GH＝BE，同理，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H＝CD，∵BE＝CD．BE⊥DC，∴GH＝FH，GH⊥FH，∴△HGF為等腰直角三角形，∴GF＝GH，∵GH＝BE，∴GF＝BE，∵BE＝BC，∴＝；②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，在△BAE和△BAC中，，∴△BAE≌△BAC（SSS），∴∠BAE＝∠BAC＝135°，∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，∵△BAE≌△DAC，∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，∴OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA＝45°，∴∠DOA＝∠EOA＝135°，∴∠ODA+∠OAD＝45°，∴∠OAE＝∠ODA，∴△ODA∽△OAE，∴＝，即OD?OE＝OA2＝4，∴△DOE的面積＝×OD?OE＝2．13．如圖（1），在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊在AD的右側作等腰直角△ADF，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE，解答下列問題：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖（2），線段CE、BD之間的數(shù)量關系為CE＝BD；位置關系為CE⊥BD；（不用證明）②當點D在線段BC的延長線上時，如圖（3），①中的結論是否仍然成立，請寫出結論并說明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C、E重合除外）？請寫出條件，并借助圖（4）簡述CE⊥BD成立的理由．解：（1）①CE與BD位置關系是CE⊥BD，數(shù)量關系是CE＝BD．理由：如圖（2），∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案為：CE＝BD；CE⊥BD．②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立．如圖（3），∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，且∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）如圖（4）所示，當∠BCA＝45°時，CE⊥BD．理由：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC＝AG，∠AGC＝45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．14．（注意：本題中的說理過程中的每一步必須注明理由，否則不得分）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°；①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為CF⊥BD，線段CF、BD的數(shù)量關系為CF＝BD；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立？并說明理由；（2）如圖4，如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．故答案為：CF⊥BD，CF＝BD；②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．理由如下：由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；（2）當∠ACB＝45°時，CF⊥BD．理由如下：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠AC