湖南省長沙市育紅中學2022-2023學年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

湖南省長沙市育紅中學2022-2023學年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（

）A.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤參考答案：B【分析】銷售的利潤為，利用可得，再利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性后可得利潤的最大值.【詳解】設銷售的利潤為，由題意，得，即，當時，，解得，故，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，利潤最大，故選B.【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導且為單調增（減）函數(shù)，則．3.過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D4.將函數(shù)的圖像上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像的函數(shù)解析式是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：C5.觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），記g（x）為f（x）的導函數(shù)，則g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）參考答案：A【考點】F1：歸納推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其規(guī)律，我們可以歸納推斷出，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，再結合函數(shù)奇偶性的性質，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)；（x4）'=4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)；（cosx）'=﹣sinx中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導函數(shù)為奇函數(shù)；…我們可以推斷，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又∵g（x）為f（x）的導函數(shù)，則g（x）奇函數(shù)故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故選A．6.與命題“若則”的等價的命題是

（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則參考答案：D略7.某學校高中部組織赴美游學活動，其中高一240人，高二260人，高三300人，現(xiàn)需按年級抽樣分配參加名額40人，高二參加人數(shù)為A.12

B.13

C.14

D.15參考答案：B8.如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正確的是 （)．參考答案：A略9.“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充而分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】本題考查的知識點是充要條件的定義，及橢圓的定義，我們分別判斷“m＞n＞0”?“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到結論．【解答】解：當“m＞n＞0”時”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”成立，即“m＞n＞0”?”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”為真命題，當“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”時“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”?“m＞n＞0”也為真命題，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件，故選：C．【點評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．10.直線的斜率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.14．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡.給出下列三個結論：①曲線C過坐標原點；②曲線C關于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則的面積不大于.其中所有正確的結論的序號是

.參考答案：②③12.設離散型隨機變量的概率分布如下：則的值為

.X1234P參考答案：13.從,這七個數(shù)字中任取三個不同數(shù)字作為二次函數(shù)的系數(shù)則可組成不同的函數(shù)_______個,其中以軸作為該函數(shù)的圖像的對稱軸的函數(shù)有______個參考答案：

解析：

，；14.函數(shù)的導數(shù)為_________________參考答案：略15.已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長為

__；參考答案：416.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：有如下運算和結論：①a24＝；②數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數(shù)列；③數(shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項和為；④若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝.其中正確的結論有________．(將你認為正確的結論序號都填上)參考答案：①③④17.設F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝2∶1，則△PF1F2的面積等于

．

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）當x＞0時，f（x）＞，求正實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）令分母xex+1=g（x），利用導數(shù)研究其單調性可得：x=﹣1時函數(shù)g（x）取得極小值，g（﹣1）＞0．可得函數(shù)f（x）的定義域為R．f′（x）=，利用導數(shù)研究其單調性可得：x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值．（2）當x＞0時，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．h′（x）=ax（x﹣）ex．對a分類討論利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可得出．【解答】解：（1）令分母xex+1=g（x），可得：g′（x）=ex（1+x），可得x=﹣1時函數(shù)g（x）取得極小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函數(shù)f（x）的定義域為R．f′（x）=，可得x＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增；x＞0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減．∴x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，f（0）=1．（2）當x＞0時，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．則h′（x）=ax（x﹣）ex．①a≥時，h′（x）=ax2ex＞0，函數(shù)h（x）在x＞0時單調遞增，∴h（x）＞h（0）=0，滿足條件．②0＜a＜時，函數(shù)h（x）在x=處取得極小值即最小值，x∈時單調遞減，∴h（x）＜h（0）=0，不滿足條件，舍去．綜上可得：正實數(shù)a的取值范圍是．19.已知正方形的中心為直線x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交點，一條邊所在的直線方程是x+3y﹣5=0，求其他三邊所在直線的方程．參考答案：【考點】待定系數(shù)法求直線方程．【專題】計算題；待定系數(shù)法；直線與圓．【分析】根據(jù)兩條直線相交求出正方形的中心C的坐標，根據(jù)正方形的一條邊所在的方程設出其它三邊的直線方程，再由C到正方形四條邊的距離相等列出方程，求出直線方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得，所以正方形中心C的坐標為（﹣1，0）．點C到直線x+3y﹣5=0的距離d==．設與x+3y﹣5=0平行的一邊所在直線的方程是x+3y+m=0（m≠﹣5），則點C到直線x+3y+m=0的距離d==，解得m=﹣5（舍去）或m=7，所以與x+3y﹣5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0．設與x+3y﹣5=0垂直的邊所在直線的方程是3x﹣y+n=0，則點C到直線3x﹣y+n=0的距離d==，解得n=﹣3或n=9，所以與x+3y﹣5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x﹣y﹣3=0和3x﹣y+9=0．【點評】本題考查了兩條直線平行與垂直故選的應用問題，也考查了點到直線的距離的應用問題，是綜合性題目．20.設數(shù)列滿足．（Ⅰ）求；（II）由（I）猜想的一個通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論；參考答案：解：（1）由，得……………2分由，得，……………4分由，得……………………6分（2）由（1）猜想…………………7分下面用數(shù)學歸納法證明①當時，，猜想成立；………………8分②假設時，猜想成立，即，…9分那么當時，所以當時，猜想也成立………12分由①②知，對于任意都有猜想成立…………13分

略21.（本小題12分）數(shù)列是等差數(shù)列、數(shù)列是等比數(shù)列。已知，點在直線上。滿足。（1）求通項公式、；（2）若，求的值。參考答案：解：（1）